【摘要】所谓整体思想,即为分析问题时不局限在问题的局部上,而是有意义地从大处着眼,由整体入手,把一些形似独立、实为联系紧密的量作为一个整体来处理。利用这种思想,不仅可化繁为简、变易为难,而且更能培养我们思维的灵活性、敏捷性。
　　【关键词】整体思想;授人以渔
　　
　　整体思想是一种重要的解题策略。所谓整体思想,即为分析问题时不局限在问题的局部上,而是有意义地从大处着眼,由整体入手,把一些形似独立、实为联系紧密的量作为一个整体来处理。利用这种思想,不仅可化繁为简、变易为难,而且更能培养我们思维的灵活性、敏捷性。俗语说“授人以鱼,只供一饭之需;授人以渔,则一生受用无穷”解答某些数学题,若能结合题意,采用整体思想的方法进行求解,往往能起到出奇制胜的效果。下面与大家一起来分析几个例子。
　　一、用整体思想求代数式的值
　　例1 已知x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15,则x+y+z=________.
　　分析两个方程,三个未知数,没法求出x、y、z的值。细观察易知,两个方程相加后x、y、z的系数相同。
　　解(x+2y+3z)+ (4x+3y+2z)
　　=10+15
　　即5(x+y+z)=25.
　　∴x+y+z=5.
　　例2 已知 x 2+5x+1=0,求x2+的值。
　　分析欲求x2+,按常规,最容易想到先求x的值。因而要先求一元二次方程x 2+5x+1=0的解。这样,立即产生了两个问题,其一,我们现在还没学过一般的一元二次方程的解法;其二,即使求出了x的值,代入x2+的计算也十分冗繁。不过,欲从整体上改变,将x2+化为(x+)2= 2,再由已知条件,设法求x+的值,问题便可以解决。
　　解∵x 2+5x+1=0
　　∴x≠0,两边同时除以x
　　∴ x+=5
　　∴x2+=(-5)2 - 2 = 23
　　例3 当代数式x 2+3x+5的值为7时,代数式3x 2+9x -2的值是 分析 对比观察已知式中的x 2+3 x和未知式的3x 2+9x,可把x 2+3x看成整体
　　解∵x 2+3x+5=7,
　　∴x 2+3x=2
　　∴3x 2+9x -2=3(x 2+3x)-2=4
　　二、用整体思想解不等式
　　例4解不等式+>-1
　　分析 本题可以用常规的方法来解,但观察每一个式子,能发现每一个式子中都有因式“3x-2”,可以把“3x-2”看成一个整体,这样求解更简便。
　　原式可变形为+>-1
　　去分母、移項、合并,得3x-2>-1。解得x>
　　三、用整体思想解应用题
　　例5 甲、乙两人分别从A、B两地同时相向出发,在离B地6千米处相遇后又继续前进,甲到B地,乙到A地后,都立即返回,又在离A地8千米处相遇,求A、B两地间的距离。
　　分析用常规的方法解决本题具有一定的难度,若把两个运动过程一起处理,便可使问题迎刃而解。
　　解第一次相遇,甲、乙两人合走一个全程,对应乙走6千米;第二次相遇,甲、乙两人合走了三个全程,故乙共走了18千米,设A、B两地间的距离为x千米,第二次相遇时乙共走了(x+8)千米,所以x+8=18,x=10
　　“整体思想”是数学思想中的精华,以上的题例充分显示它的功能,灵活运用它对培养学生的思维能力和解题能力大有裨益。