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【摘 要】“理解”是学生数学学习的基石。在数学课堂教学中，教师可采用多元表征的方式，如言语表征、图形表征、操作表征等，帮助学生修正“前理解”，重组语言表达系统，加深对数学本质的理解，提升问题解决的能力，架构属于自己的认知结构。
【关键词】小学数学;多元;表征;数学理解
在数学课堂教学中，教师可采用多元表征的方式，帮助学生加深对数学本质的理解，提升问题解决的能力，架构属于自己的认知结构。“多元表征”是认知心理学的一个重要概念，指同一学习对象用叙述性表征和描绘性表征的多种形式表现出来。数学教学中的多元表征是指教师引导学生从不同的角度、不同的视角对数学概念、规律以及解决问题的策略等内容进行视觉化或体验化的阐述，如用实物、模型、图像、口语、文字、符号等多种方式进行表征，从而促使数学理解自然发生，可视可感。现以苏教版四年级下册“三角形的认识”教学为例，谈谈多元表征的运用。
1 在言语表征中修正“前理解”，重组表达系统
学生走进课堂，对即将学习的知识并不是一无所知的，而是带着个人的“前理解”。如对三角形的认识，学生在生活中经常见到三角形，并且在一年级时已经初步认识了三角形，因此在头脑中已经建立了三角形的表象。到了四年级，再次认识三角形，学生对于三角形已经有了“前理解”。在课前调查中，筆者发现学生能够正确地画出三角形，主要有三种画法：一是沿着三角尺的边来画;二是依次画出三条边;三是先画三个点，再依次将三个点连接起来。这三种画法体现了三种不同的认知水平，第一种水平最低，是低年级的印画水平;第三种水平最高，与三角形的定义吻合。但是用这两种画法的学生都较少，绝大部分学生都采用第二种画法，属于中等水平。关于“你认为三角形是一个怎样的图形”这个问题，学生的回答则花样百出。学生只能提到三角形有三条边、三个角、三个顶点，也就是说学生只能初步感知三角形的一些特征，无法体会三角形的本质属性。这说明，学生对三角形的“前理解”是参差不齐的，是不完整的，这就是四年级再教“三角形认识”的切入点。
在教学中，教师可以引导学生充分观察、比较、表达，在辨析中逐步完善三角形的概念。让学生画三角形，说画法;再抓住学生的画法，提出质疑，呈现两个变式图形，一个图形三条边是弯的，另一个图形三条边是分开的，不连接在一起，让学生在辨析中逐步体会到三角形的三条边应是三条线段，且三条线段需首尾相接。教师引导学生形成对三角形的初步认识，将三条边、三个点，融入到三角形的本质属性中去，形成三角形概念的规范表述。这既有效修正了学生对三角形的“前理解”，又将学生的原有认知与三角形概念建立了联系，完善了学生的认知系统。
2 在图形表征中突破难点，深化概念理解
图形表征是一种视觉化的表征形式，它可以使抽象的数学具体形象化，有效突破难点，深化学生对概念的理解。三角形的高，是学生理解的难点。学生生活中所认识的“高”、头脑中所理解的“高”、和三角形的“高”的意义并不相同。为了避免生活经验对建构新概念的负迁移，教师可以不选用书本“人字梁”的教学素材，直接借助几何画板的动态演示，引导学生由感性认知到理性概括。
判断：图中哪些画出的是三角形底边上的高？
在教学时，教师可以先让学生完成“从4个点中任选3个作为顶点画一个三角形”的练习，引导学生理解“3个点在同一条直线上就不能画出三角形”。然后，教师借助几何画板的动态演示功能，移动同一条直线上中间的一个点，随着该点的移动，逐步形成三角形。在此过程中，学生充分感知图形的变化，把目光聚焦到三角形中间出现的虚线——“高”。接着，引导学生观察“高”的特点，归纳出“高”的概念。但是，仅凭一句话的表述，不足以深化学生对概念的理解。教师可设计图形判断题，让学生在辨析中深化理解概念中的两大要素——“从顶点出发”“垂直线段”。同时，突破学生的思维定式，让学生体会到底边不一定是在底部，不同的边都可以作为底边。这样，通过变换“高”的非本质特征，突出“高”的本质特征，能够帮助学生把握概念的本质，促进思维的变通。
3 在操作表征中解决问题，提高应用能力
学生在学习数学的过程中，不仅有丰富生动的思维活动，也离不开动手操作实践。只有这样，学生才能把头脑中隐性的数学思考通过显性的操作展现出来。如三角形“高”的画法，就是一个复杂的操作过程，更是一个复杂的思维过程。对于画“高”，学生是有学习基础的，把四年级上册画垂线的方法迁移过来，就可以顺利地画出“高”。但是，由于多余线段的干扰、图形位置的变换，学生画“高”也不那么容易。如何巧妙地引导学生把已有经验迁移到新知识、新技能中，应当成为教师重点思考的问题。
在教学中，首先，教师要给予学生充分的时间，让学生利用已有知识基础自己去探索画法，自主发现画“高”的技巧。在交流画法的过程中，教师应当着重强调三角尺直角边的摆放方法，可以把三角尺形象地比作“火车”，底边比作“轨道”，使学生在生动的虚拟情境中学习画“高”技巧，突破画“高”难点。其次，引导学生思考能否画出不同底边上的高，再次巩固画“高”技巧，体会三角形有3组对应的底和高。然后，教师出示直角三角形，让学生找一找3组底和高，感受“高”和直角边重合。最后，利用几何画板的动态演示，让学生感受钝角三角形“高”的位置变化。借助这两组变式的呈现，进一步加深学生对“高”的理解。学生在生动形象、多样变化的操作表征中，掌握了方法，提高了解决问题的能力。
4 结语
总之，数学教学中的多元表征能够有效促进学生进行数学理解、意义建构、数学思维和实践应用，形成“内化—联系—外化”的良性学习循环，实现数学核心素养和关键能力的提升。
【关键词】小学数学;多元;表征;数学理解
在数学课堂教学中，教师可采用多元表征的方式，帮助学生加深对数学本质的理解，提升问题解决的能力，架构属于自己的认知结构。“多元表征”是认知心理学的一个重要概念，指同一学习对象用叙述性表征和描绘性表征的多种形式表现出来。数学教学中的多元表征是指教师引导学生从不同的角度、不同的视角对数学概念、规律以及解决问题的策略等内容进行视觉化或体验化的阐述，如用实物、模型、图像、口语、文字、符号等多种方式进行表征，从而促使数学理解自然发生，可视可感。现以苏教版四年级下册“三角形的认识”教学为例，谈谈多元表征的运用。
1 在言语表征中修正“前理解”，重组表达系统
学生走进课堂，对即将学习的知识并不是一无所知的，而是带着个人的“前理解”。如对三角形的认识，学生在生活中经常见到三角形，并且在一年级时已经初步认识了三角形，因此在头脑中已经建立了三角形的表象。到了四年级，再次认识三角形，学生对于三角形已经有了“前理解”。在课前调查中，筆者发现学生能够正确地画出三角形，主要有三种画法：一是沿着三角尺的边来画;二是依次画出三条边;三是先画三个点，再依次将三个点连接起来。这三种画法体现了三种不同的认知水平，第一种水平最低，是低年级的印画水平;第三种水平最高，与三角形的定义吻合。但是用这两种画法的学生都较少，绝大部分学生都采用第二种画法，属于中等水平。关于“你认为三角形是一个怎样的图形”这个问题，学生的回答则花样百出。学生只能提到三角形有三条边、三个角、三个顶点，也就是说学生只能初步感知三角形的一些特征，无法体会三角形的本质属性。这说明，学生对三角形的“前理解”是参差不齐的，是不完整的，这就是四年级再教“三角形认识”的切入点。
在教学中，教师可以引导学生充分观察、比较、表达，在辨析中逐步完善三角形的概念。让学生画三角形，说画法;再抓住学生的画法，提出质疑，呈现两个变式图形，一个图形三条边是弯的，另一个图形三条边是分开的，不连接在一起，让学生在辨析中逐步体会到三角形的三条边应是三条线段，且三条线段需首尾相接。教师引导学生形成对三角形的初步认识，将三条边、三个点，融入到三角形的本质属性中去，形成三角形概念的规范表述。这既有效修正了学生对三角形的“前理解”，又将学生的原有认知与三角形概念建立了联系，完善了学生的认知系统。
2 在图形表征中突破难点，深化概念理解
图形表征是一种视觉化的表征形式，它可以使抽象的数学具体形象化，有效突破难点，深化学生对概念的理解。三角形的高，是学生理解的难点。学生生活中所认识的“高”、头脑中所理解的“高”、和三角形的“高”的意义并不相同。为了避免生活经验对建构新概念的负迁移，教师可以不选用书本“人字梁”的教学素材，直接借助几何画板的动态演示，引导学生由感性认知到理性概括。
判断：图中哪些画出的是三角形底边上的高？
在教学时，教师可以先让学生完成“从4个点中任选3个作为顶点画一个三角形”的练习，引导学生理解“3个点在同一条直线上就不能画出三角形”。然后，教师借助几何画板的动态演示功能，移动同一条直线上中间的一个点，随着该点的移动，逐步形成三角形。在此过程中，学生充分感知图形的变化，把目光聚焦到三角形中间出现的虚线——“高”。接着，引导学生观察“高”的特点，归纳出“高”的概念。但是，仅凭一句话的表述，不足以深化学生对概念的理解。教师可设计图形判断题，让学生在辨析中深化理解概念中的两大要素——“从顶点出发”“垂直线段”。同时，突破学生的思维定式，让学生体会到底边不一定是在底部，不同的边都可以作为底边。这样，通过变换“高”的非本质特征，突出“高”的本质特征，能够帮助学生把握概念的本质，促进思维的变通。
3 在操作表征中解决问题，提高应用能力
学生在学习数学的过程中，不仅有丰富生动的思维活动，也离不开动手操作实践。只有这样，学生才能把头脑中隐性的数学思考通过显性的操作展现出来。如三角形“高”的画法，就是一个复杂的操作过程，更是一个复杂的思维过程。对于画“高”，学生是有学习基础的，把四年级上册画垂线的方法迁移过来，就可以顺利地画出“高”。但是，由于多余线段的干扰、图形位置的变换，学生画“高”也不那么容易。如何巧妙地引导学生把已有经验迁移到新知识、新技能中，应当成为教师重点思考的问题。
在教学中，首先，教师要给予学生充分的时间，让学生利用已有知识基础自己去探索画法，自主发现画“高”的技巧。在交流画法的过程中，教师应当着重强调三角尺直角边的摆放方法，可以把三角尺形象地比作“火车”，底边比作“轨道”，使学生在生动的虚拟情境中学习画“高”技巧，突破画“高”难点。其次，引导学生思考能否画出不同底边上的高，再次巩固画“高”技巧，体会三角形有3组对应的底和高。然后，教师出示直角三角形，让学生找一找3组底和高，感受“高”和直角边重合。最后，利用几何画板的动态演示，让学生感受钝角三角形“高”的位置变化。借助这两组变式的呈现，进一步加深学生对“高”的理解。学生在生动形象、多样变化的操作表征中，掌握了方法，提高了解决问题的能力。
4 结语
总之，数学教学中的多元表征能够有效促进学生进行数学理解、意义建构、数学思维和实践应用，形成“内化—联系—外化”的良性学习循环，实现数学核心素养和关键能力的提升。