近年来的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，函数的零点问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到基本初等函数的图象，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都与初等函数图像变换、导数知识密不可分。
　　根据函数零点的定义：对于函数y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的实数x叫做函数y=f（x）（x∈D）的零点。即：方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图象与x轴有交点的横坐标函数y=f（x）有零点。围绕三者之间的关系，在高考数学中函数零点的题型主要①函数的零点的分布；②函数的零点的个数问题；③利用导数结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题。下面我就以这几个月的福建省各地市质检试题为例加以剖析：
　　类型一：函数零点的个数
　　题1：（2014年一月厦门市高中毕业班质量检测理科数学试卷第6题：）
　　6.设函数则函数y=f（x）-（x2+1）的零点个数为（）
　　A.1 B.2 C.3 D.4
　　本题答案B。
　　题2：（2014年一月泉州市高中毕业班质量检测理科数学试卷第10题：）
　　10.设函数则函数y=f [f （x）]-1的零点个数为（）
　　A.1 B.2 C.3 D.4
　　本题答案B。
　　根据函数的零点与方程的根、函数图像三者之间的关系：方程f（x）=0的实数根函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标函数y=f（x）的零点。我们可将函数的零点转换成两个函数的图像的交点个数问题。通常会结合函数性质如周期对称轴等考一些图像的平移，对称等变换，或是函数的嵌套，常规题目学生解起来并不太困难，如题1与题2；但遇到题3，学生就非常吃力了，最后基本都求不出正确解答.为什么题1题2会，而题3不会呢？请看题3的分析：
　　题3：（2014年福州市高中毕业班质量检测理科数学试卷第9题：）
　　9.若定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（2-x）= f（x），且当x∈[0，1]时，其图像是四分之一圆（如图所示）则函数H（x）=|xex|-f（x）在区间[-3，1]上的零点个数为（）
　　A.5 B.4 C.3 D.2
　　本题应将函数零点问题转化为y=|xex|与y=f（x）
　　两函数图像交点问题。学生在画y=f（x）的图像时
　　基本能利用偶函数的性质得到x∈[-1，0]时的图像，
　　再利用f（2-x）=f（x）得到函数周期为2，或函数对称轴方程为x=1；
　　进而得出x∈[-3，-1]时的图像（如下图）
　　但学生在画y=|xex|的图像时也遇到上题中判断函数极限的问题。
　　对于函数y=xex，g（x）=y=xex，则g′（x）=（1+x）ex；
　　当x<-1时，g′（x）<0；当x>-1时，g′（x）>0；
　　当x∈（-∞，-1）时，g（x）单调递减；当x∈（-1，+∞）时，g（x）单调递增；
　　但它的图像不是二次型的左减右增，而是x→-∞时，因为ex>0，x<0于是g（x）=xex<0；g（x）→0；
　　而对于函数y=|xex|，将函数y=xex的图像x轴下方的部分沿着x轴翻折到x轴上方，其大致图像如右上图，再把两个图像放到同一坐标系中，如右图，即可得出本题答案B.
　　但g（x）→0是为什么学生依然不理解，主要是因为这里遇到了0乘∞的极限的问题。
　　若没注意x→-∞时，g（x）=xex<0；而只考虑单调性把函数图像错画成x→-∞时，g（x）→+∞的类型，或没注意x=-1时，|g（-1）|=e-1<1；则本题就会错选为别的答案。
　　类型三：方程的根与函数零点的分布综合问题
　　题1：：（2014年1月厦门市高中毕业班质量检测理科数学试卷第14题：）
　　14.已知函数f（x）=ex-x2的导函数为f′（x），y=f（x）与y=f′（x）在同一直角坐标系下的部分图像如图所示，若方程f′（x）-f（a）=0在x∈（-∞，a|上有两解，则实数a的取值范围是______.
　　答案：a≥ 2
　　本题学生主要遇到的问题是考试时因为紧张而不会利用题中和所给的信息来判断y=f（x）与y=f′（x）的图形分别是哪个，再利用图形信息将方程的根转化为图像交点的横坐标，最后错失了解题时机。但讲评时学生还是接受得较好的。
　　题2：（2014年龙岩市高中毕业班质量检测理科数学试卷第10题：）
　　10.已知方程|log2（x-1）|-（）x=0的两个根为x1和x2（x1　　A.b≤3 B.b　　C.b=a D.b>a
　　根据函数的零点与方程的根、函数图像三者之间的关系：方程f（x）=0的实数根函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标函数y=f（x）的零点。我们可将上述方程的根转换成两个函数的图像的交点个数问题，由上述方法我们可将方程转化成log2（x-1）=（）x的解的个数，令h（x）=log2（x-1），g（x）=（）x，从而将原题转化成函数y=h（x），y=g（x）的交点个数，如图所示：解本题时，部分教师和学生会走入一些死胡同：
　　错解1：由图可知，原方程的2个解x1、x2（x12，想用不等式性质接着求出x1+x2和x1x2的范围； 　　错解2：又想到x1、x2应为f′（x）=x2-ax+b的两个根，则得到，接下来想通过这两不等式的变换得出a，b的大小。这两种方法都是不可行的，主要是因为它们都忽略了函数图像告诉我们的重要特征——单调性。
　　正解：想到x1、x2应为f′（x）=x2-ax+b的两个根，则得到x1+x2=a，x1x2=b，要比较a，b的大小，用12，这个条件是不够的。而应该从图像的单调性出发，这题将数形结合的数学思想体现到了极致，令人大呼过瘾。接着请看下一题：
　　题3：（2014年一月泉州市高中毕业班质量检测理科数学试卷第20题：）
　　20.已知函数f（x）=ex（x2+mx+1-2m），其中m∈R，
　　（1）当m=1时，求函数y=f（x）的单调递增区间；
　　（2）求证：对任意m∈R，函数y=f（x）的图像在点（0，f（0））处的切线恒过定点；
　　（3）是否存在实数m的值，使得函数y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，若存在，求出实数m的范围；若不存在，请说明理由。
　　本题主要考察导数的知识，第一二小题学生解决得很顺利，但在做第三小题时普遍束手无策，不会做。
　　现摘录部分解答如下：
　　（3）解法1：f′（x）=ex[x2+（m+2）x+（1-m]
　　令y1=x2+mx+（1-2m），
　　y2=x2+（m+2）x+（1-m）
　　Δ1=m2-4（1-2m）=m2+8m-4，
　　Δ2=（m+2）2-4（1-m）=m2+8m
　　①当Δ2≤0即-8≤m≤0时，y2=x2+（m+2）x+（1-m）≥0
　　∴y2=x2+（m+2）x+（1-m）≥0
　　∴y=f（x）在（-∞，+∞）上单调递增
　　∴y=f（x）在（-∞，+∞）上不存在最大值和最小值。
　　②当Δ2>0即m<-8或m>0时，设方程x2+（m+2）x+（1-m）=0的两根为x1，x2，当x→-∞时，f（x）>0，f（x）→0；当x→+∞时，f（x）→+∞
　　要使函数y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，只需满足f（x2）≤0即y1≤0有解，∴Δ1=m2-4（1-2m）=m2+8m-4≥0，解得m≤-4-2或m≥-4+2
　　综上可得，m≤-4-2或m≥-4+ 2
　　请注意上面解答中画横线的部分。讲评时，我们可能很容易理解“x→-∞时，f（x）>0，f（x）→0；当x→+∞时，f（x）→+∞”这句话，但因为高中阶段对极限的要求很低，课时很少，学生并不能理解这里极限部分的内容，如有部分学生就对这一部分解答提出了自己的疑虑：“老师，x→-∞时，因为ex>0，x2+（m+2）x+1-m于是f（x）>0；但f（x）→0是为什么呢？如果：x→-∞时，f（x）>0，但f（x）不趋向于0，而是趋向于某一个正数，那不是只要极小值比这个正数小就存在最小值了吗？ （如下图）”
　　这里主要还是遇到了0乘∞的极限的问题，学生并不能理解。
　　题4：：（2014年3月泉州市高中毕业班质量检测理科数学试卷第10题：）
　　10.如图，对于曲线所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得α≥∠AOB对于曲线上的任意两个不同的点A，B恒成立，则称角为曲线相对于点O的“届角”，并称其中最小的“界角”为曲线相对于点O的“确界角”。已知曲线C：（其中e =2.71828…是自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线C相对于点O的“确界角”为（）
　　A. B. C. D.
　　这个新定义题里还是有涉及切线和渐近线，学生仍然是止步于极限的问题，真正理解题意，掌握极限的思想后，本题不难得出答案A。
　　大多数学生对极限的认识都是很有限的，很难理解无限观念；他们对极限的理解只是表面的，没有抓住极限的本质；一部分原因是因为大多学生抽象思维能力欠缺，只凭主观意愿做猜测难题答案，但更重要的是他们对现实中极限的认识往往有很大的局限，根本无法理解作为稳定值存在的极限。其实就算是数学家们对极限的认识也不是一蹴而就的，而是有一个曲折的、渐进的形成过程。《课标》对微积分初步做了较大篇幅的调整。在结构编排上做了很大的变化，将以往的完整“缩编”结构（数列→数列极限→函数极限→函数连续→导数→微分→导数的应用→不定积分→定积分）变为从导数开始以直观的形式引出微积分，删除了极限的形式化定义，着重学生解决问题能力的培养。