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中图分类号：J523 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2013）11-0096-01
【案例背景】
新课程标准下，强调学生在获得数学知识和能力的过程中，更要注重对知识的深刻感悟，并能在教师的指导下，把生活中的实际问题构建成数学模型，最终达到对知识的深刻理解和应用，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展和社会进步的需要。在数学教学过程中加强数学应用和联系实际有利于提高学生学习数学的兴趣，增强学生的应用意识和创新意识。
等比數列的前n 项和公式是在学生学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式，等差数列的前n项和公式的基础上进行的，是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄，分期付款的有关计算等等，而公式的推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养，能让学生真真切切感受到“原来数学是很美的”。
【案例描述】
片段一：问题引入
上课了，我给学生讲了一个故事：有个贪婪的地主，总是想剥削他的佃农。有一天，农夫终于想到了一个办法来对付这个地主。春天到来时，地主对农夫说：“一年之计在于春，又到春播时节了，你到我田里干一个月（30天）的活，咱们先来谈谈你的工钱。哎，最近官吏征收繁多，我家也没有多余粮食啊”。农夫说：“这样吧，工钱就不要了，我每天给你一袋米（40斤），你第一天给我一粒大米，第二天给我两粒大米，第三天四粒，第四天八粒……以后每天给我的大米粒数是前一天的2倍，你看如何？”地主心想：“第一天一粒大米，第二天两粒大米，第三天四粒，第四天八粒……居然有这么笨的农夫，我一把米可以换他那么多袋大米啊，哈哈哈哈，我赚大发了。”地主就马上同农夫进行了签字画押。
请同学们帮老师算一下，地主需要准备多少米粒才能满足农夫的需求？他到底是赚大发了，还是中计了？
（学生一听，颇感兴趣，觉得简单马上有些学生举手回答）
生1：“老师，地主付出的麦粒论颗计，而得到的论斤计，肯定赚大发了。”
生2：“一斤麦粒有很多颗组成，想当然肯定农夫赔了。”
许多学生开始积极思考、辩论、猜测、跃跃欲试……
此种情况下，我很快鼓励学生说：“同学们，你们很聪明，都敢于发表自己独特的见解，但是数学问题需要有严格的理论证明来支持，你们能试着从熟悉的问题入手，给出严格的推理证明吗？大家试试看。”
生3：“老师，每日所给的麦粒数可以组成一个等比数列：1，2，22，23，24……229此种问题是我们将要学习的等比数列的前n项和公式，我预习过的我来试试……”
评析：学生更愿意以主人的心态对待问题，这不正是我们在新课改中所提倡的，学生是主体，课堂是学生的舞台，求知欲是学生探索奥妙世界的灵魂吗？只要激发了他们的求知欲，学习就是快乐的。
【片段二】问题探究
许多学生都快速地举起了手：“老师我来计算……”，我趁势话锋一转：“用什么方法吧它们加起来，能说说看吗？”
生4：“借助方程，类比等差数列求和方法求解”
点出了今天研究的问题，引导着学生主动看书，主动预习、主动学习、主动解决问题，从而再分析问题，故而，教师的作用是组织引导，激发求知欲。
我趁机打开一张幻灯片：“已知数列{an}为等比数列，请推导其前n项和公式Sn=a1+a1q+……+a1qn-1①，观察求和式子，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？类比等差数列求和方法，需要构造另一个式子②，而要达到消项的目的，就须使两个式子具有相同的项，如何做到这些呢？”
（学生叽喳一片讨论的声音）
生5：“将①式两边同乘以q，构造②式。”
评析：这一问题的关键是在于教师的正确引导与点拨，从复杂的生活背景中抽取基本的激发学生思维的数学关系是引领学生进入思考大门的一把智慧的钥匙。
【片段三】解决问题
生6：“老师，你看我的解法可以吗？”
（答案打在了投影屏幕上）
∴”（激发了学生的求异思维，发散思维）。与此同时，各小组也纷纷拿出了地主是否中计的解决方案。
生10：“麦粒的总数为：S30=1+2+22+……+229=230-1粒。但是，230-1究竟是多大的量呢？”
我补充：230-1=1.07*109粒≈85600斤。
结论：这个故事中，地主中计了。
伴随着铃声，我心情舒畅地走出了教室。
评析：每一位学生的心里，都有一双心灵的翅膀，给他们自由的空间，他们才能翱翔天空，学生很快利用公式来处理数据，把我的困惑解决了。我相信，当学生的困惑解决了，学习数学就有意思了……，数学来源于生活，又服务于生活，只是许多时候我们却把一种真实的应用美忽略了，才让我们误认为只有枯燥单调的数学公式才叫数学，这是我的真实感受。
【教学反思】
生活中实际问题的背景往往比较复杂，需要结合定义抽象出数学模型（利用等比数列的定义），然后根据数学知识解决问题，从而根据所得数据去解释问题。从头至尾，学生本节课深刻感受了数学建模的过程，从而让学生感受到学习数学的兴趣和取得成功的快乐体验。教师在教学过程中只是引导者，组织者，学生能说的，老师绝对不说，学生能做的，教师绝不包办代替，教师引导学生体会数学在生活中的内在美、自然美，在潜移默化中培养学生的创造力。“带着学生走向知识”而不是“带着知识走向学生”。鼓励每一位学生动手、动口、动脑，积极参与，使学生在活动中不断“收获”，不断“成才”，这不正是我们教书育人的初衷和新课改的要求吗？
总之，本节课力求体现“以学生发展为本”的课改理念，突出公式推导过程中的“类比”及“分类讨论”思想和“错位相减”的数学方法，积极倡导学生“自主探究”的学习方法，让学生在民主和谐的课堂氛围中学习，培养学生用于探究，不断创新的的思维品质。本节课涉及多种数学方法，是数学教学走向本质的一大尝试，也是在实际教学中需要不断思考的课题。
当然，本节课也有不足之处，缺乏一个数字和生活的链接学生较难理解230-1到底是多大的数，在这方面缺少一个动态演示，失去了课堂应有的生动性，直观性，同时在教学过程中，我也深深的体会到以下几方面也是非常重要的：
1. 学生持续高涨的学习热情，需要教师花大力气精心设计问题来不断地强化和巩固，以使达到最佳效果。
2. 学生的动手操作能力较弱，需不断地创设情境加以巩固提高。
3. 教师热情洋溢的肯定性评价，对维系学生的创新能力起着至关重要作用。
【案例背景】
新课程标准下，强调学生在获得数学知识和能力的过程中，更要注重对知识的深刻感悟，并能在教师的指导下，把生活中的实际问题构建成数学模型，最终达到对知识的深刻理解和应用，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展和社会进步的需要。在数学教学过程中加强数学应用和联系实际有利于提高学生学习数学的兴趣，增强学生的应用意识和创新意识。
等比數列的前n 项和公式是在学生学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式，等差数列的前n项和公式的基础上进行的，是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄，分期付款的有关计算等等，而公式的推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养，能让学生真真切切感受到“原来数学是很美的”。
【案例描述】
片段一：问题引入
上课了，我给学生讲了一个故事：有个贪婪的地主，总是想剥削他的佃农。有一天，农夫终于想到了一个办法来对付这个地主。春天到来时，地主对农夫说：“一年之计在于春，又到春播时节了，你到我田里干一个月（30天）的活，咱们先来谈谈你的工钱。哎，最近官吏征收繁多，我家也没有多余粮食啊”。农夫说：“这样吧，工钱就不要了，我每天给你一袋米（40斤），你第一天给我一粒大米，第二天给我两粒大米，第三天四粒，第四天八粒……以后每天给我的大米粒数是前一天的2倍，你看如何？”地主心想：“第一天一粒大米，第二天两粒大米，第三天四粒，第四天八粒……居然有这么笨的农夫，我一把米可以换他那么多袋大米啊，哈哈哈哈，我赚大发了。”地主就马上同农夫进行了签字画押。
请同学们帮老师算一下，地主需要准备多少米粒才能满足农夫的需求？他到底是赚大发了，还是中计了？
（学生一听，颇感兴趣，觉得简单马上有些学生举手回答）
生1：“老师，地主付出的麦粒论颗计，而得到的论斤计，肯定赚大发了。”
生2：“一斤麦粒有很多颗组成，想当然肯定农夫赔了。”
许多学生开始积极思考、辩论、猜测、跃跃欲试……
此种情况下，我很快鼓励学生说：“同学们，你们很聪明，都敢于发表自己独特的见解，但是数学问题需要有严格的理论证明来支持，你们能试着从熟悉的问题入手，给出严格的推理证明吗？大家试试看。”
生3：“老师，每日所给的麦粒数可以组成一个等比数列：1，2，22，23，24……229此种问题是我们将要学习的等比数列的前n项和公式，我预习过的我来试试……”
评析：学生更愿意以主人的心态对待问题，这不正是我们在新课改中所提倡的，学生是主体，课堂是学生的舞台，求知欲是学生探索奥妙世界的灵魂吗？只要激发了他们的求知欲，学习就是快乐的。
【片段二】问题探究
许多学生都快速地举起了手：“老师我来计算……”，我趁势话锋一转：“用什么方法吧它们加起来，能说说看吗？”
生4：“借助方程，类比等差数列求和方法求解”
点出了今天研究的问题，引导着学生主动看书，主动预习、主动学习、主动解决问题，从而再分析问题，故而，教师的作用是组织引导，激发求知欲。
我趁机打开一张幻灯片：“已知数列{an}为等比数列，请推导其前n项和公式Sn=a1+a1q+……+a1qn-1①，观察求和式子，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？类比等差数列求和方法，需要构造另一个式子②，而要达到消项的目的，就须使两个式子具有相同的项，如何做到这些呢？”
（学生叽喳一片讨论的声音）
生5：“将①式两边同乘以q，构造②式。”
评析：这一问题的关键是在于教师的正确引导与点拨，从复杂的生活背景中抽取基本的激发学生思维的数学关系是引领学生进入思考大门的一把智慧的钥匙。
【片段三】解决问题
生6：“老师，你看我的解法可以吗？”
（答案打在了投影屏幕上）
∴”（激发了学生的求异思维，发散思维）。与此同时，各小组也纷纷拿出了地主是否中计的解决方案。
生10：“麦粒的总数为：S30=1+2+22+……+229=230-1粒。但是，230-1究竟是多大的量呢？”
我补充：230-1=1.07*109粒≈85600斤。
结论：这个故事中，地主中计了。
伴随着铃声，我心情舒畅地走出了教室。
评析：每一位学生的心里，都有一双心灵的翅膀，给他们自由的空间，他们才能翱翔天空，学生很快利用公式来处理数据，把我的困惑解决了。我相信，当学生的困惑解决了，学习数学就有意思了……，数学来源于生活，又服务于生活，只是许多时候我们却把一种真实的应用美忽略了，才让我们误认为只有枯燥单调的数学公式才叫数学，这是我的真实感受。
【教学反思】
生活中实际问题的背景往往比较复杂，需要结合定义抽象出数学模型（利用等比数列的定义），然后根据数学知识解决问题，从而根据所得数据去解释问题。从头至尾，学生本节课深刻感受了数学建模的过程，从而让学生感受到学习数学的兴趣和取得成功的快乐体验。教师在教学过程中只是引导者，组织者，学生能说的，老师绝对不说，学生能做的，教师绝不包办代替，教师引导学生体会数学在生活中的内在美、自然美，在潜移默化中培养学生的创造力。“带着学生走向知识”而不是“带着知识走向学生”。鼓励每一位学生动手、动口、动脑，积极参与，使学生在活动中不断“收获”，不断“成才”，这不正是我们教书育人的初衷和新课改的要求吗？
总之，本节课力求体现“以学生发展为本”的课改理念，突出公式推导过程中的“类比”及“分类讨论”思想和“错位相减”的数学方法，积极倡导学生“自主探究”的学习方法，让学生在民主和谐的课堂氛围中学习，培养学生用于探究，不断创新的的思维品质。本节课涉及多种数学方法，是数学教学走向本质的一大尝试，也是在实际教学中需要不断思考的课题。
当然，本节课也有不足之处，缺乏一个数字和生活的链接学生较难理解230-1到底是多大的数，在这方面缺少一个动态演示，失去了课堂应有的生动性，直观性，同时在教学过程中，我也深深的体会到以下几方面也是非常重要的：
1. 学生持续高涨的学习热情，需要教师花大力气精心设计问题来不断地强化和巩固，以使达到最佳效果。
2. 学生的动手操作能力较弱，需不断地创设情境加以巩固提高。
3. 教师热情洋溢的肯定性评价，对维系学生的创新能力起着至关重要作用。