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在上完“勾股定理”第二节课时，我班一位爱提问题的学生小徐向我提出了这么一个问题：“在平面内，直角三角形的三边满足勾股定理，那么在空间里，有没有类似的结论呢？”在感慨与欣喜之后，针对这个问题，我进行了思考，并决定改变原来的教学计划，补充了本节内容，与学生继续探讨空间里的“勾股定理”。
教学过程
如图1，已知四边形ABCD是长方形，AC为对角线，则有AB2+BC2=AC2，即AB、BC、AC满足勾股定理。
图1 图2
如图2，ABCD-A1B1C1D1是长方体，图1中的线段AB、BC、AC分别对应图2中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1。若长方体的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1的面积分别用α、β、γ表示，则是否有α2+β2=γ2仍然成立？请说明理由。
让学生就上述设问独立思考或展开讨论，笔者通过巡视，了解学生的思考状况和初步结论，发现少部分学生完成解答，笔者选择了其中一位学生谈谈他的想法。
生1：将长方体的长、宽、高分别设为a，b，c，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再把三个面的面积用字母表示出来，就可证明结论。
思路打开，很多同学都兴奋起来，纷纷在自己的练习本上尝试。
（片刻之后，投影一个学生的解题过程）
课堂观察：通过巧设字母，用字母表示未知量，再计算得出等量关系，这是数学上常用的一种方法，通过对问题的思考、探索和论证，学生获得了空间“勾股定理”的知识，并练熟常用的数学解题方法。
在上述过程中笔者发现生2始终没有发言，平时他可是积极发言的，他还不时地在纸上画些什么。于是，笔者问生2有什么想法？他说：“我发现假如AC不是对角线，过点C任作一条直线交AB于点E，刚才的结论仍成立。”虽然生2说得不是很完整，但笔者还是对他表示了赞许。其他同学似乎听懂了他的意思，纷纷拿出尺和笔在纸上不停地画起来，同小组学生展开了激烈的讨论。五分钟后，同学们都兴奋地叫起来“可以的”“证明方法与刚才是一样的”……
图3（1） 图3（2）
如图3（1），若面EBB1E1、面BCC1B1、面ECC1E1的面积分别用α、β、γ表示，则有α2+β2=γ2仍然成立，证明方法与上面类似。
趁此时机，笔者表扬了生2，同时鼓励其他同学进一步展开思考。片刻后，成绩平平、有些胆怯的生3小声地说了一句，笔者赶紧抓住机会鼓励他发言，他轻声地说：“点C要是不在顶点上，行不行？” （如图4）
图4（1） 图4（2）
笔者不失时机地表扬生3，其他同学则不约而同地表示赞同生3的观点。
如图4（1），若面EBB1E1、面BFF1B1、面EFF1E1的面积分别用α+β=γ表示，则有α2+β2=γ2仍然成立，证明方法与上面类似。
课堂观察：由图2变式到图3（1）、图4（1），即将线段由特殊位置向一般位置转化，这是数学中常用的变式技巧，在图3（1）、图4（1）中存在图2的模型，如图3（2）、图4（2），这是数学模型的一个应用，学生因此对新知识的认识有了新的发展。有时学生的直觉中隐藏着丰富的创造性“火花”，在课堂教学中我们要及时捕捉学生的直觉灵感，并给以适度的肯定与表扬。
接下来的几分钟，学生显得很沉默，感觉无法再联想下去，此时笔者再次出示问题：
如图5，四边形ABCD为长方形，直线l分别截AB、CB于点E、F，则有BE2+BF2=EF2。
如图6，ABCD-A1B1C1D1为长方体，一个平面分别截长方体的棱AB、BC、BB1于点M、N、G。
图5中的直线对应图6的平面MNG，图5中直线截长方形的两边所得的线段对应图6中平面MNG截长方形所得三个面BMN、面BMG、面BNG。若面MNG、面BMN、面BMG、面BNG的面积分别用δ，α，β，γ表示，请猜一猜α2+β2+γ2=δ2 是否成立？（不需要说明理由）
图5 图6
有的学生显得茫然，不知所措，有的学生与组内学生展开讨论，只有个别学生在动笔计算。
类比上述证明过程，可设MB=a，BG=b，BN=c，则α=[12]ac，β=[12]ab，γ=[12]bc，但δ却很难表示出来。此时，笔者建议每组同学用特殊数据代替字母进行计算验证。
为了检验学生的成果，笔者分别让两个小组代表说一说他们的结论.
生4：如图7，设a=3，b=4，c=2，
计算得出MN=[13]，NG=2[5]，MG=5，
图7
α=3，β=6，γ=4，
∴α2+β2+γ2=61。
求δ时设NH=x，则GH=2[5]-x，利用勾股定理列出方程：
（[13]）2-x2=52-（2[5]-x）2，得出x=[25][5]。
在Rt△MNH中，MN=[615]×[12]=[615]，
∴α2+β2+γ2=δ2 成立。
生5：设了a=1，b=2，c=3，同样方法验证了结论成立。
讨论结束，同学们似乎还意犹未尽。
课堂观察：此类变式难度大，对学生的要求高，由特殊猜想一般结论，一般结论的证明有待学生课后探究，此过程让学生体会到发现新结论的乐趣，难度越大挑战越大，学生学习数学、应用数学的热情立即被点燃。
课后反思
1.将课外知识带进课堂，尊重个性需求。
所谓数学课外知识是以课程标准和课本为基础，为了尊重、满足学生个性化的需求而设置的数学知识。在教学过程中，我们不应该受到课程标准和课本过多的束缚，上例中空间中的勾股定理虽然不在初中课本要求研究的范围内，但却把它带进了初中的数学课堂，目的是让学生学“有用”的数学，学“必需”的数学，学“不同”的数学，从而提高学生学习数学的兴趣、挖掘学生的数学发展潜能、促进学生良好的个性发展，使学生能用数学的眼睛来观察世界，用数学的头脑来思考生活问题，我觉得这是非常值得的。
2.适时引导学生提问， 激发创造性思维。
课本是数学课堂教学最重要的资源，同时也是许多问题的藏身之处。在教学过程中结合已学过的课内知识适时让学生尝试去“设计问题”，鼓励有疑问的学生提出问题，一方面有利于充分发挥学生的主体作用，提高学生听课的专注度；另一方面能促进学生养成爱提问的好习惯，激发学生学习的热情。在上面的课堂中，观察每个学生的学习状态，了解哪些学生有话可讲，及时表扬提问的学生。若能持之以恒，学生对书本知识能有更深刻的理解，学生提出问题的能力以及思维深度都能相应提高。特别是数学概念的形成过程，给学生一个想象的空间，让学生通过独立思考，亲历发现问题和解决问题的过程，学生的创造性能力就会逐步提升。
3.将课本知识推广引申，培养创新能力。
推广引申能够让学生体验数学创新的全过程。在教学中可以经常这样问学生：本题有没有多种解法？有没有变式？能否一般化？由此你还联想到什么？等等，使学生形成一般化意识和类比意识，随时随地萌发推广引申的想法。在平时的教学中应有意识地多留一些容易延伸的命题链、方法或知识点，稍加指点，留给学生创新的机会。上例中学生从平面内的勾股定理引申到空间，把线段过正方体的两个顶点引申到过一个顶点、不过顶点，从三棱柱的三个侧面的关系引申到三棱锥四个面之间的关系。经常从推广引申的视角来提出问题，生长知识，不仅可以使学生形成知识的网络结构，还能提高学生的创新能力，带给学生学习的自信心和热情，这是很有价值的一件事！
（作者为江苏省太仓市实验中学教师）
教学过程
如图1，已知四边形ABCD是长方形，AC为对角线，则有AB2+BC2=AC2，即AB、BC、AC满足勾股定理。
图1 图2
如图2，ABCD-A1B1C1D1是长方体，图1中的线段AB、BC、AC分别对应图2中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1。若长方体的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1的面积分别用α、β、γ表示，则是否有α2+β2=γ2仍然成立？请说明理由。
让学生就上述设问独立思考或展开讨论，笔者通过巡视，了解学生的思考状况和初步结论，发现少部分学生完成解答，笔者选择了其中一位学生谈谈他的想法。
生1：将长方体的长、宽、高分别设为a，b，c，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再把三个面的面积用字母表示出来，就可证明结论。
思路打开，很多同学都兴奋起来，纷纷在自己的练习本上尝试。
（片刻之后，投影一个学生的解题过程）
课堂观察：通过巧设字母，用字母表示未知量，再计算得出等量关系，这是数学上常用的一种方法，通过对问题的思考、探索和论证，学生获得了空间“勾股定理”的知识，并练熟常用的数学解题方法。
在上述过程中笔者发现生2始终没有发言，平时他可是积极发言的，他还不时地在纸上画些什么。于是，笔者问生2有什么想法？他说：“我发现假如AC不是对角线，过点C任作一条直线交AB于点E，刚才的结论仍成立。”虽然生2说得不是很完整，但笔者还是对他表示了赞许。其他同学似乎听懂了他的意思，纷纷拿出尺和笔在纸上不停地画起来，同小组学生展开了激烈的讨论。五分钟后，同学们都兴奋地叫起来“可以的”“证明方法与刚才是一样的”……
图3（1） 图3（2）
如图3（1），若面EBB1E1、面BCC1B1、面ECC1E1的面积分别用α、β、γ表示，则有α2+β2=γ2仍然成立，证明方法与上面类似。
趁此时机，笔者表扬了生2，同时鼓励其他同学进一步展开思考。片刻后，成绩平平、有些胆怯的生3小声地说了一句，笔者赶紧抓住机会鼓励他发言，他轻声地说：“点C要是不在顶点上，行不行？” （如图4）
图4（1） 图4（2）
笔者不失时机地表扬生3，其他同学则不约而同地表示赞同生3的观点。
如图4（1），若面EBB1E1、面BFF1B1、面EFF1E1的面积分别用α+β=γ表示，则有α2+β2=γ2仍然成立，证明方法与上面类似。
课堂观察：由图2变式到图3（1）、图4（1），即将线段由特殊位置向一般位置转化，这是数学中常用的变式技巧，在图3（1）、图4（1）中存在图2的模型，如图3（2）、图4（2），这是数学模型的一个应用，学生因此对新知识的认识有了新的发展。有时学生的直觉中隐藏着丰富的创造性“火花”，在课堂教学中我们要及时捕捉学生的直觉灵感，并给以适度的肯定与表扬。
接下来的几分钟，学生显得很沉默，感觉无法再联想下去，此时笔者再次出示问题：
如图5，四边形ABCD为长方形，直线l分别截AB、CB于点E、F，则有BE2+BF2=EF2。
如图6，ABCD-A1B1C1D1为长方体，一个平面分别截长方体的棱AB、BC、BB1于点M、N、G。
图5中的直线对应图6的平面MNG，图5中直线截长方形的两边所得的线段对应图6中平面MNG截长方形所得三个面BMN、面BMG、面BNG。若面MNG、面BMN、面BMG、面BNG的面积分别用δ，α，β，γ表示，请猜一猜α2+β2+γ2=δ2 是否成立？（不需要说明理由）
图5 图6
有的学生显得茫然，不知所措，有的学生与组内学生展开讨论，只有个别学生在动笔计算。
类比上述证明过程，可设MB=a，BG=b，BN=c，则α=[12]ac，β=[12]ab，γ=[12]bc，但δ却很难表示出来。此时，笔者建议每组同学用特殊数据代替字母进行计算验证。
为了检验学生的成果，笔者分别让两个小组代表说一说他们的结论.
生4：如图7，设a=3，b=4，c=2，
计算得出MN=[13]，NG=2[5]，MG=5，
图7
α=3，β=6，γ=4，
∴α2+β2+γ2=61。
求δ时设NH=x，则GH=2[5]-x，利用勾股定理列出方程：
（[13]）2-x2=52-（2[5]-x）2，得出x=[25][5]。
在Rt△MNH中，MN=[615]×[12]=[615]，
∴α2+β2+γ2=δ2 成立。
生5：设了a=1，b=2，c=3，同样方法验证了结论成立。
讨论结束，同学们似乎还意犹未尽。
课堂观察：此类变式难度大，对学生的要求高，由特殊猜想一般结论，一般结论的证明有待学生课后探究，此过程让学生体会到发现新结论的乐趣，难度越大挑战越大，学生学习数学、应用数学的热情立即被点燃。
课后反思
1.将课外知识带进课堂，尊重个性需求。
所谓数学课外知识是以课程标准和课本为基础，为了尊重、满足学生个性化的需求而设置的数学知识。在教学过程中，我们不应该受到课程标准和课本过多的束缚，上例中空间中的勾股定理虽然不在初中课本要求研究的范围内，但却把它带进了初中的数学课堂，目的是让学生学“有用”的数学，学“必需”的数学，学“不同”的数学，从而提高学生学习数学的兴趣、挖掘学生的数学发展潜能、促进学生良好的个性发展，使学生能用数学的眼睛来观察世界，用数学的头脑来思考生活问题，我觉得这是非常值得的。
2.适时引导学生提问， 激发创造性思维。
课本是数学课堂教学最重要的资源，同时也是许多问题的藏身之处。在教学过程中结合已学过的课内知识适时让学生尝试去“设计问题”，鼓励有疑问的学生提出问题，一方面有利于充分发挥学生的主体作用，提高学生听课的专注度；另一方面能促进学生养成爱提问的好习惯，激发学生学习的热情。在上面的课堂中，观察每个学生的学习状态，了解哪些学生有话可讲，及时表扬提问的学生。若能持之以恒，学生对书本知识能有更深刻的理解，学生提出问题的能力以及思维深度都能相应提高。特别是数学概念的形成过程，给学生一个想象的空间，让学生通过独立思考，亲历发现问题和解决问题的过程，学生的创造性能力就会逐步提升。
3.将课本知识推广引申，培养创新能力。
推广引申能够让学生体验数学创新的全过程。在教学中可以经常这样问学生：本题有没有多种解法？有没有变式？能否一般化？由此你还联想到什么？等等，使学生形成一般化意识和类比意识，随时随地萌发推广引申的想法。在平时的教学中应有意识地多留一些容易延伸的命题链、方法或知识点，稍加指点，留给学生创新的机会。上例中学生从平面内的勾股定理引申到空间，把线段过正方体的两个顶点引申到过一个顶点、不过顶点，从三棱柱的三个侧面的关系引申到三棱锥四个面之间的关系。经常从推广引申的视角来提出问题，生长知识，不仅可以使学生形成知识的网络结构，还能提高学生的创新能力，带给学生学习的自信心和热情，这是很有价值的一件事！
（作者为江苏省太仓市实验中学教师）