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摘 要：在小学阶段，运算能力的形成主要表现在“理解算理”、“构造算法”以及“解决问题”三个层面，然而学生常常出现算理、算法失衡的状况，会算法，不明算理，因而处理好算理与算法的关系显得格外重要.笔者以苏教版教学内容为抓手，梳理了不同学段的算理呈现方式，提出以下策略：多角度挖掘素材，厘清算理与算法联系;多元表征方式，加强算理与算法沟通;关注多向联系，内化算理与算法沟通.
关键词：算理;算法;运算能力
中图分类号：G622 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）23-0064-02
收稿日期：2021-05-15
作者简介：刘涛（1990.2-），女，江苏省徐州人，硕士，中小学一级教师，从事小学数学教学研究.
课标把“运算能力”定位于义务教育阶段学生数学发展的核心概念，其是数学学科独有的能力，运算能力的形成对小学生数学能力的培养与提升起到了基石性的作用.在小学阶段，运算能力的形成主要表现在“理解算理”、“构造算法”以及“解决问题”三个层面，然而，学生对于计算的掌握，常常出现算理和算法失衡的状况.认知科学理论认为，只是按照指定的法则进行机械的操作是无意义的，可见处理好算理与算法的关系是非常重要的.
苏教版小学数学教材中计算主要涉及的内容是整数、分数、小数的加、减、乘、除运算以及四则混合运算，笔者将各学段的算理呈现方式如下表所示.
学段算理呈现方式低年级主要借助实物图、情境图、数学工具（小棒、计数器等）、生活经验以及简单的数学活动经验，经历操作活动，直观理解算理.中年级侧重在学生原有的计算经验基础上，借助概念、定律等，通过“优化”“再构”等初步数学认识，理解算理.高年级
更加侧重数、形的结合，以数量关系为突破口，引导学生进行简单的抽象与归纳.
一、多角度挖掘素材，厘清算理与算法联系
教材可以理解为算理的表达方式，这些内容是以特定的文字、图表、符号呈现出来，然而这种呈现方式是隐蔽的或是抽象的，它们只能有意地指向知识本身，学生无法直接读出其深层含义，这就需要教师多角度挖掘教材，引导学生主动地深入建构.
一年级的学习内容以整数加、减法计算为主，教师需要引导学生将生活化经验逐步提炼成数学化的表达与应用，帮助学生建立“加、减法意义”、“位值制”原则.如教学“9+几”时的教材中主题图：猴子面前是10个空格的盒子，里面放了9个红苹果，盒子外有4个绿苹果，思考“一共有多少个苹果？”如果教学时仅让学生列出算式，讲解“凑十法”计算结果是不够的，学生学习是不深刻的，对知识的理解也是肤浅的.通过解读主题图以及借助“加法意义”理解，学生能明白求“一共有多少个”，就是将两种苹果合起来，用加法计算，即算式为9+4.部分学生在课前是可以算出结果的，那么教师如何挖深教材，让学生不仅会算法，也可以深刻理解算理呢？教师可引导学生说一说9+4的计算方法，有的学生是从第一个苹果开始数起，依次数完，得到13，这种方法是从加法的基数意义出发;有的学生是在9的基础上，接着数完盒子外的绿苹果，这是从加法的序数意义入手.数一数的方法与加法意义相融合，此时教师可以揭示这就是“9+4”的算理，学生对知识的理解就变得丰富起来.随后，教师引导学生思考，“有更快速的方法吗？”这样学生不得不思考如何优化计算方法，教师可适时引导学生观察盒子，盒子里一共有10个格子，再放1个苹果正好放满，即10个，加上剩下的3个，一共是13个苹果.借助对“合并”理解，学生能体会具体数数中“凑十法”的意义，最后结合“满十进一”的计数原则，进一步加深对“凑十法”的理解.
二、多元表征方式，加强算理与算法沟通
根据学生的年龄特点以及各个学段的知识特征，教材中算理的呈现方式不同，那么算理与算法的沟通方式就有所区别，倘若教师采用单一的活动，在搭建沟通的桥梁时学生就会出现各种困难.因此，教师要立足整体，采取多种形式，螺旋交互式开展，帮助学生构建计算模型.
以三年级《乘法和加减法的混合运算》为例，利用主题图引导学生思考“小军买3本笔记本和1个书包，一共用去多少元”，如何在理解算理的基础上掌握算法呢？
1.文字语言转换为符号语言，初步沟通算理与算法联系
文字语言是能准确表示语义、信息和概念含义，经过加工、改造和精确化的数学语言.符号语言是一种具有确切含义的数学语言，包括象形符号、缩写符号和约定符号等.根据主题图让学生获得数学信息，并从已有的知识经验出发，阐述题目中数量关系：一共用去的钱=3本笔记本的钱+1个书包的钱，这是解决本题依据的文字语言.有了依据学生呈现多样的学习资源，即分步算式和综合算式，这些算式就是符号语言.教师先让列分步列式的学生讲解思考过程，3×5=15（元）求出的是3个笔记本的钱数，15+20=35（元）是3个笔记本与书包的总钱数;再让列综合算式的学生讲解思考过程，3×5+20前面的3×5是3个笔记本的钱数，再加1个书包的钱数就是一共花的钱.教师揭示这分别是“分步算式”与“综合算式”，同时启发学生分步算式和综合算式在计算时有什么相同地方？由此学生领悟它们形异而质同的内在联系.在呈现符号语言前，以文字语言为抓手，为学生理解分步算式与综合算式的联系奠定伏笔，并搭建起综合算式中算理、算法的桥梁.
2.符号语言转换为图表语言，深刻理解算理与算法联系
图表语言是各种包含数学信息的图形，如情境图、实物图、几何图、统计图和集合图等，直观、具体地为学生提供一种看得见、摸得着的媒介.郑毓信教授认为：数学教学必须“去情境”，仅仅让学生在情境中理解乘法和加、减法的混合运算显然是不够的，脱离情境很多孩子会计算结果，却说不清为什么这样计算，或者只能停留在乘法和加、减法混合要先算乘，再算加、减的层次.为了让学生深刻理解算理，教师可以在教学中加入情境展示的环节，如出示12+3×5，引导学生观察12加的不是3而是3个5.“你可以画图表示它们吗？”教师的提问引导孩子用图表语言解释符号语言.学生通过画图（图1），可以意识到12+3×5其实就是12+5+5+5，在这个还原过程中，教师适时提问，先算3×5是因为运算符号是“×”吗？学生的思考进一步深入，3×5不是因为乘法是高级运算，而是因为5+5+5是同类事物，可以先算出结果.脱离具体情境，学生在符号语言向图表语言的转换中，对运算的本质有了整体的理解，对算法产生、发展、应用的综合认识才真正发生.
三、关注多向联系，内化算理与算法沟通
提升学生的运算能力，算理、算法之间要进行多向联系，促进图式与口算的联系，图式与笔算的联系，口算与笔算的联系等，学生才能更好地内化其沟通.
以三下《笔算两位数乘两位数（不进位）》为例，12箱迷你南瓜，每箱24个，一共有多少个？本节内容重点解决十位上的数与两位数相乘的方法以及书写格式.根据主题图示学生可列出算式24×12.教师鼓励学生独立计算结果，学生展示个性化理解过程，方法一：6个2箱是12箱，再算6份共有多少个，即24×2×6;方法二：先算10箱有多少个，即24×10=240，再算2箱有多少個，即24×2=48，最后合起来就是所有的个数（240+48）.很明显方法二利于学生理解竖式计算的算理，如果此时教师直接呈现竖式计算，算法和算理的衔接不大恰当，知识的转换有些过快，部分学生不能完全理解.教师可以引导学生在点子图中圈出每一步计算的相应部分，并在交流中让学生体会到方法二较为简便.与此同时，在图2中学生能体会到图式与口算的沟通，在图3中学生能体会到图式与笔算的联系.这时教师再引导学生仔细观察情境图，地上放着10箱南瓜，每箱写着24个，搬运师傅手里搬着2箱，让学生理解教材中图示的用意，逐步聚焦算法，并延伸到笔算.
运算能力的提升不是一蹴而就的，教师要根据各个学段内容特点，有的放矢地引导学生在理解算理的基础上，建构算法，帮助学生更好地理解数学活动，进而理解数学本质，提升数学思维能力.
参考文献：
[1]潘小福.学科关键能力的厘定、评价及培养——以小学数学为例[J].上海教育科研，2015（11）：57-59.
[2]卢清荣.转换数学语言 培养表达能力[J].小学教师，2017（10）：8-9.
[责任编辑：李 璟]
关键词：算理;算法;运算能力
中图分类号：G622 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）23-0064-02
收稿日期：2021-05-15
作者简介：刘涛（1990.2-），女，江苏省徐州人，硕士，中小学一级教师，从事小学数学教学研究.
课标把“运算能力”定位于义务教育阶段学生数学发展的核心概念，其是数学学科独有的能力，运算能力的形成对小学生数学能力的培养与提升起到了基石性的作用.在小学阶段，运算能力的形成主要表现在“理解算理”、“构造算法”以及“解决问题”三个层面，然而，学生对于计算的掌握，常常出现算理和算法失衡的状况.认知科学理论认为，只是按照指定的法则进行机械的操作是无意义的，可见处理好算理与算法的关系是非常重要的.
苏教版小学数学教材中计算主要涉及的内容是整数、分数、小数的加、减、乘、除运算以及四则混合运算，笔者将各学段的算理呈现方式如下表所示.
学段算理呈现方式低年级主要借助实物图、情境图、数学工具（小棒、计数器等）、生活经验以及简单的数学活动经验，经历操作活动，直观理解算理.中年级侧重在学生原有的计算经验基础上，借助概念、定律等，通过“优化”“再构”等初步数学认识，理解算理.高年级
更加侧重数、形的结合，以数量关系为突破口，引导学生进行简单的抽象与归纳.
一、多角度挖掘素材，厘清算理与算法联系
教材可以理解为算理的表达方式，这些内容是以特定的文字、图表、符号呈现出来，然而这种呈现方式是隐蔽的或是抽象的，它们只能有意地指向知识本身，学生无法直接读出其深层含义，这就需要教师多角度挖掘教材，引导学生主动地深入建构.
一年级的学习内容以整数加、减法计算为主，教师需要引导学生将生活化经验逐步提炼成数学化的表达与应用，帮助学生建立“加、减法意义”、“位值制”原则.如教学“9+几”时的教材中主题图：猴子面前是10个空格的盒子，里面放了9个红苹果，盒子外有4个绿苹果，思考“一共有多少个苹果？”如果教学时仅让学生列出算式，讲解“凑十法”计算结果是不够的，学生学习是不深刻的，对知识的理解也是肤浅的.通过解读主题图以及借助“加法意义”理解，学生能明白求“一共有多少个”，就是将两种苹果合起来，用加法计算，即算式为9+4.部分学生在课前是可以算出结果的，那么教师如何挖深教材，让学生不仅会算法，也可以深刻理解算理呢？教师可引导学生说一说9+4的计算方法，有的学生是从第一个苹果开始数起，依次数完，得到13，这种方法是从加法的基数意义出发;有的学生是在9的基础上，接着数完盒子外的绿苹果，这是从加法的序数意义入手.数一数的方法与加法意义相融合，此时教师可以揭示这就是“9+4”的算理，学生对知识的理解就变得丰富起来.随后，教师引导学生思考，“有更快速的方法吗？”这样学生不得不思考如何优化计算方法，教师可适时引导学生观察盒子，盒子里一共有10个格子，再放1个苹果正好放满，即10个，加上剩下的3个，一共是13个苹果.借助对“合并”理解，学生能体会具体数数中“凑十法”的意义，最后结合“满十进一”的计数原则，进一步加深对“凑十法”的理解.
二、多元表征方式，加强算理与算法沟通
根据学生的年龄特点以及各个学段的知识特征，教材中算理的呈现方式不同，那么算理与算法的沟通方式就有所区别，倘若教师采用单一的活动，在搭建沟通的桥梁时学生就会出现各种困难.因此，教师要立足整体，采取多种形式，螺旋交互式开展，帮助学生构建计算模型.
以三年级《乘法和加减法的混合运算》为例，利用主题图引导学生思考“小军买3本笔记本和1个书包，一共用去多少元”，如何在理解算理的基础上掌握算法呢？
1.文字语言转换为符号语言，初步沟通算理与算法联系
文字语言是能准确表示语义、信息和概念含义，经过加工、改造和精确化的数学语言.符号语言是一种具有确切含义的数学语言，包括象形符号、缩写符号和约定符号等.根据主题图让学生获得数学信息，并从已有的知识经验出发，阐述题目中数量关系：一共用去的钱=3本笔记本的钱+1个书包的钱，这是解决本题依据的文字语言.有了依据学生呈现多样的学习资源，即分步算式和综合算式，这些算式就是符号语言.教师先让列分步列式的学生讲解思考过程，3×5=15（元）求出的是3个笔记本的钱数，15+20=35（元）是3个笔记本与书包的总钱数;再让列综合算式的学生讲解思考过程，3×5+20前面的3×5是3个笔记本的钱数，再加1个书包的钱数就是一共花的钱.教师揭示这分别是“分步算式”与“综合算式”，同时启发学生分步算式和综合算式在计算时有什么相同地方？由此学生领悟它们形异而质同的内在联系.在呈现符号语言前，以文字语言为抓手，为学生理解分步算式与综合算式的联系奠定伏笔，并搭建起综合算式中算理、算法的桥梁.
2.符号语言转换为图表语言，深刻理解算理与算法联系
图表语言是各种包含数学信息的图形，如情境图、实物图、几何图、统计图和集合图等，直观、具体地为学生提供一种看得见、摸得着的媒介.郑毓信教授认为：数学教学必须“去情境”，仅仅让学生在情境中理解乘法和加、减法的混合运算显然是不够的，脱离情境很多孩子会计算结果，却说不清为什么这样计算，或者只能停留在乘法和加、减法混合要先算乘，再算加、减的层次.为了让学生深刻理解算理，教师可以在教学中加入情境展示的环节，如出示12+3×5，引导学生观察12加的不是3而是3个5.“你可以画图表示它们吗？”教师的提问引导孩子用图表语言解释符号语言.学生通过画图（图1），可以意识到12+3×5其实就是12+5+5+5，在这个还原过程中，教师适时提问，先算3×5是因为运算符号是“×”吗？学生的思考进一步深入，3×5不是因为乘法是高级运算，而是因为5+5+5是同类事物，可以先算出结果.脱离具体情境，学生在符号语言向图表语言的转换中，对运算的本质有了整体的理解，对算法产生、发展、应用的综合认识才真正发生.
三、关注多向联系，内化算理与算法沟通
提升学生的运算能力，算理、算法之间要进行多向联系，促进图式与口算的联系，图式与笔算的联系，口算与笔算的联系等，学生才能更好地内化其沟通.
以三下《笔算两位数乘两位数（不进位）》为例，12箱迷你南瓜，每箱24个，一共有多少个？本节内容重点解决十位上的数与两位数相乘的方法以及书写格式.根据主题图示学生可列出算式24×12.教师鼓励学生独立计算结果，学生展示个性化理解过程，方法一：6个2箱是12箱，再算6份共有多少个，即24×2×6;方法二：先算10箱有多少个，即24×10=240，再算2箱有多少個，即24×2=48，最后合起来就是所有的个数（240+48）.很明显方法二利于学生理解竖式计算的算理，如果此时教师直接呈现竖式计算，算法和算理的衔接不大恰当，知识的转换有些过快，部分学生不能完全理解.教师可以引导学生在点子图中圈出每一步计算的相应部分，并在交流中让学生体会到方法二较为简便.与此同时，在图2中学生能体会到图式与口算的沟通，在图3中学生能体会到图式与笔算的联系.这时教师再引导学生仔细观察情境图，地上放着10箱南瓜，每箱写着24个，搬运师傅手里搬着2箱，让学生理解教材中图示的用意，逐步聚焦算法，并延伸到笔算.
运算能力的提升不是一蹴而就的，教师要根据各个学段内容特点，有的放矢地引导学生在理解算理的基础上，建构算法，帮助学生更好地理解数学活动，进而理解数学本质，提升数学思维能力.
参考文献：
[1]潘小福.学科关键能力的厘定、评价及培养——以小学数学为例[J].上海教育科研，2015（11）：57-59.
[2]卢清荣.转换数学语言 培养表达能力[J].小学教师，2017（10）：8-9.
[责任编辑：李 璟]