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【摘要】高等数学的学习对于非数学专业的学生（特别是独立三本院校的学生）而言，一直都贴着一个“难”，其学习现状不容乐观.本文尝试着从学生的学习现状和学习困境的分析入手来探究高等数学的有效的教学方法，并以具体的教学内容——“常数项级数的概念”的教学设计来展示教学思路.
【关键词】高等数学；学习困境；教学对策
【基金项目】河南省教育厅重点科研项目（15A110027）
一、学习现状及困境分析
现如今，“高等数学”已经是各个大学几乎各个专业的公共必修课，而“高等数学”的学习也是大部分学生一直面临的一个难题.现以独立三本院校生为例来窥探一下“高等数学”的学习现状和学习困境.
通过问卷及谈话了解到本校大部分学生感觉数学难学，对数学的学习积极性随着年级的增长而递减.造成这种现象的原因虽然有很多，但突出因素主要有两点.
（一）基础差、底子薄
独立三本院校的学生入校时成绩就低于一本、二本（特别是文科专业），数学基础弱，学习习惯和方法不得当，在心理上对学数学没有优越感，没有自信心.
下面是在开学初对经济类专业大一两个班做的一次问卷调查，其问卷（多选题）结果如下.
1.你认为数学在现实生活中有用吗？
A.非常有用（80%）
B.有用（20%）
C.无（0%）
2.你认为数学能提高自身的素质吗？
A.能（90%）
B.很少（10%）
C.不能（0%）
3.你认为数学对专业学习有影响吗？
A.有（90%）
B.很少（10%）
C.没有（0%）
4.你的数学基础如何？
A.好（10%）B.一般（40%）
C.差（50%）
5.你对数学感兴趣吗？
A.有（10%）
B.一般（50%）
C.无（40%）
6.你每周给数学多少时间？
A.除上课外多练习（50%）
B.除上课外少练习（40%）
C.仅上课和做作业（10%）
7.你认为学好数学与哪些有关？
A.兴趣（80%）
B.基础和方法（80%）
C.教师讲授（50%）
D.勤奋和态度（50%）
8.你期待的教学方式是什么？
A.幽默风趣（90%）
B.有多媒体（30%）
C.多讲习题（30%）
D.无关（30%）
问卷（百分比表示学生赞成的比例）结果反映出：大部分学生还是看到了学习数学的重要性和必要性，只是很多人“心有余而力不足”，无奈乎基础差，从心理上就畏惧甚至抵触数学；很多学生对于课堂教学方式还是有所期待的，生动有趣的讲课方式对于学生的学习积极性会是一种促进.
（二）认识不清，意志力、自学能力差
进入大学后学生失去了高中时的严格管束，并且活动也增多，使得自制力本身就不高的他们淡化了学习，把精力更多地用在了课外活动上或自身的其他兴趣上，在他们心里普遍认为大学是锻炼能力的地方，学习倒成了次要的了.这是态度问题，也是认识问题，从高等教育发展的综合性和终身性趋势来讲，“高等数学”不仅是学生掌握数学工具学习其他相关课程的基础，是培养学生理性思维的重要载体，更是学生终身接受学习的一个基础，“高等数学”的重要性是不言而喻的，无疑应排在各基础学科的最前列.因此，大学生“高等数学”学习困难的问题已成为实际教学中亟须解决的问题.
学好数学的因素有很多，但是主要取决于教师的教学和学生的学习，而关于学生的因素到大学阶段，学生的内因已经基本定型，因此，对大学数学教学来说，最应关注的应该是外因，也就是如何通过教学让尽可能多的学生在尽可能短的时间产生“顿悟”.所以，在起始课中教师必须要让学生认识到数学学习的重要性及必要性.当然，对学生的引导不能仅仅是强制性的，教学过程中的教学方法和学生的学习效果也会起到一定作用.只有学得会，才会感兴趣，才会继续学.
二、教学对策
对于数学教学的改革，在教学领域内一直是大家所关注的話题，也曾有过探究式学习、问题式教学、数学史引入等等，这些都可以称之为教学策略，都可以为教师所用.那么统观整个教学过程，教师可以尝试从以下几个环节来实施.
（一）问题引入，引起兴趣
这是几乎所有概念教学的步骤，由于“高等数学”中的概念比较抽象，所以用具体的实例来理解抽象的概念在教学中尤为重要.例子的选择尤为重要，不要太难，也不要过于简单，要符合最近发展区的教学理论.
如，“常数项级数的概念”的引入可以选择“芝诺悖论”和“龟兔赛跑”问题，从而引出无穷多个数相加的表达式，通过对无穷多个数相加的问题的分析引出级数的学习的必要性及重要性.
（二）问题探究，凸显概念
在问题的解决过程中，教师可以提出一个个递进性的问题，让学生独立思考，引导学生在对一个个问题的分析中总结出级数定义及其敛散性定义.
如，对于“常数项级数的概念”的教学可采用以下几个递进式问题.
问题1：无穷多个数相加，“和”存在吗？例如，12 14 … 12n ….
分析：通过“一尺之棰，日取其半，万世不竭”来猜测这个表达式的和存在且是1.
问题2：但是诗句毕竟是猜测，能否找到一个一般性的并且可以操作的方法呢？
引导学生观察：
S1=12，S2=12 14，S3=12 14 18，…，Sn=12 14 … 12n=1-12n. 当n→∞时可否用Sn的极限代表12 14 … 12n …的和？似乎也很合理，而且也有 limn→∞Sn=1，这正好验证了我们的推测.
问题3：那么无穷多个数相加，“和”一定存在吗？又如，1-1 1-… （-1）n-1 ….
分析：通过级数通项特点，对其加括号，得到如下不同的结论：
（1）（1-1） （1-1）… （1-1） …=0？
（2）1 （-1 1） （-1 1）… （-1 1） …=1？
再分析S1=1，S2=1-1=0，S3=1-1 1=1，…，Sn=1，n为奇数；0，n为偶数.
在分歧和困惑下引导学生总结：无穷多个数相加“和”不一定存在.接下来引出级数定义和级数的敛散性的定义并强调概念中的关键点.
此后向学生揭示，前面遇到的问题其实就是级数求“和”的问题.
12 14 … 12n …，1-1 1-… （-1）n-1 …是两个常数项无穷级数，而级数的“和”是否存在的问题就是级数的敛散性的问题，通过级数的敛散性的定义可知这个问题的解决可以通过部分和的极限存在与否来解决.
引导学生用级数的敛散性定义对以上两个例子进行解决，从而巩固学习本节的核心知识点.
（三）注重应用，联系实际
问题和实例的使用不能仅仅限于课堂概念引入，在应用中也要注重通过实例的分析提炼出数学思想方法，让学生体会到数学知识和数学思想存在于我们的生活中.
如，对常数项级数的定义及敛散性的定义学习之后，教师可以找一道应用题目，让学生体会到级数在生活中的应用.
（四）提炼数学思想，感受数学魅力
通过级数概念的学习及实际问题的解决，我们会感受到有限和无限的相互转化，这在实际生活中似乎不可能的问题，级数帮我们实现了.级数求和其实是把无限转化为了有限，即∑∞n=1un=limn→∞Sn=s，而反过来s=∑∞n=1un恰恰又是一个有限数进行一个无限表达.而这个双向转化正是级数在生活中的应用.
在这里我们会感受到数学的强大，而且也会感觉到数学其实就在我们的生活中，与我们天天打交道.它虽然是用符号和数字表达，但如果读懂了它，也会让我们明白很多生活的道理，帮助我们更好地生活和工作.
著名数学家华罗庚先生曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学.”数学即生活.
让学生经常用数学的眼光看身边的事物，让他们对自然和社会现象的好奇心、求知欲不断旺盛成长，使学生对数学有一个较为全面、客观的认识，从而愿意亲近数学、了解數学、谈论数学.
当然，以上主要是对教学环节的一些努力，对于三本的学生，由于他们自身知识基础的原因，还有主观的学习态度和意志力的因素，所以，要想使学习效果更好的话，与学生的交流和对学生的辅导也是不可少的.通过辅导和交流更好地了解他们的学习困境以便于找到更好的对策.
【关键词】高等数学；学习困境；教学对策
【基金项目】河南省教育厅重点科研项目（15A110027）
一、学习现状及困境分析
现如今，“高等数学”已经是各个大学几乎各个专业的公共必修课，而“高等数学”的学习也是大部分学生一直面临的一个难题.现以独立三本院校生为例来窥探一下“高等数学”的学习现状和学习困境.
通过问卷及谈话了解到本校大部分学生感觉数学难学，对数学的学习积极性随着年级的增长而递减.造成这种现象的原因虽然有很多，但突出因素主要有两点.
（一）基础差、底子薄
独立三本院校的学生入校时成绩就低于一本、二本（特别是文科专业），数学基础弱，学习习惯和方法不得当，在心理上对学数学没有优越感，没有自信心.
下面是在开学初对经济类专业大一两个班做的一次问卷调查，其问卷（多选题）结果如下.
1.你认为数学在现实生活中有用吗？
A.非常有用（80%）
B.有用（20%）
C.无（0%）
2.你认为数学能提高自身的素质吗？
A.能（90%）
B.很少（10%）
C.不能（0%）
3.你认为数学对专业学习有影响吗？
A.有（90%）
B.很少（10%）
C.没有（0%）
4.你的数学基础如何？
A.好（10%）B.一般（40%）
C.差（50%）
5.你对数学感兴趣吗？
A.有（10%）
B.一般（50%）
C.无（40%）
6.你每周给数学多少时间？
A.除上课外多练习（50%）
B.除上课外少练习（40%）
C.仅上课和做作业（10%）
7.你认为学好数学与哪些有关？
A.兴趣（80%）
B.基础和方法（80%）
C.教师讲授（50%）
D.勤奋和态度（50%）
8.你期待的教学方式是什么？
A.幽默风趣（90%）
B.有多媒体（30%）
C.多讲习题（30%）
D.无关（30%）
问卷（百分比表示学生赞成的比例）结果反映出：大部分学生还是看到了学习数学的重要性和必要性，只是很多人“心有余而力不足”，无奈乎基础差，从心理上就畏惧甚至抵触数学；很多学生对于课堂教学方式还是有所期待的，生动有趣的讲课方式对于学生的学习积极性会是一种促进.
（二）认识不清，意志力、自学能力差
进入大学后学生失去了高中时的严格管束，并且活动也增多，使得自制力本身就不高的他们淡化了学习，把精力更多地用在了课外活动上或自身的其他兴趣上，在他们心里普遍认为大学是锻炼能力的地方，学习倒成了次要的了.这是态度问题，也是认识问题，从高等教育发展的综合性和终身性趋势来讲，“高等数学”不仅是学生掌握数学工具学习其他相关课程的基础，是培养学生理性思维的重要载体，更是学生终身接受学习的一个基础，“高等数学”的重要性是不言而喻的，无疑应排在各基础学科的最前列.因此，大学生“高等数学”学习困难的问题已成为实际教学中亟须解决的问题.
学好数学的因素有很多，但是主要取决于教师的教学和学生的学习，而关于学生的因素到大学阶段，学生的内因已经基本定型，因此，对大学数学教学来说，最应关注的应该是外因，也就是如何通过教学让尽可能多的学生在尽可能短的时间产生“顿悟”.所以，在起始课中教师必须要让学生认识到数学学习的重要性及必要性.当然，对学生的引导不能仅仅是强制性的，教学过程中的教学方法和学生的学习效果也会起到一定作用.只有学得会，才会感兴趣，才会继续学.
二、教学对策
对于数学教学的改革，在教学领域内一直是大家所关注的話题，也曾有过探究式学习、问题式教学、数学史引入等等，这些都可以称之为教学策略，都可以为教师所用.那么统观整个教学过程，教师可以尝试从以下几个环节来实施.
（一）问题引入，引起兴趣
这是几乎所有概念教学的步骤，由于“高等数学”中的概念比较抽象，所以用具体的实例来理解抽象的概念在教学中尤为重要.例子的选择尤为重要，不要太难，也不要过于简单，要符合最近发展区的教学理论.
如，“常数项级数的概念”的引入可以选择“芝诺悖论”和“龟兔赛跑”问题，从而引出无穷多个数相加的表达式，通过对无穷多个数相加的问题的分析引出级数的学习的必要性及重要性.
（二）问题探究，凸显概念
在问题的解决过程中，教师可以提出一个个递进性的问题，让学生独立思考，引导学生在对一个个问题的分析中总结出级数定义及其敛散性定义.
如，对于“常数项级数的概念”的教学可采用以下几个递进式问题.
问题1：无穷多个数相加，“和”存在吗？例如，12 14 … 12n ….
分析：通过“一尺之棰，日取其半，万世不竭”来猜测这个表达式的和存在且是1.
问题2：但是诗句毕竟是猜测，能否找到一个一般性的并且可以操作的方法呢？
引导学生观察：
S1=12，S2=12 14，S3=12 14 18，…，Sn=12 14 … 12n=1-12n. 当n→∞时可否用Sn的极限代表12 14 … 12n …的和？似乎也很合理，而且也有 limn→∞Sn=1，这正好验证了我们的推测.
问题3：那么无穷多个数相加，“和”一定存在吗？又如，1-1 1-… （-1）n-1 ….
分析：通过级数通项特点，对其加括号，得到如下不同的结论：
（1）（1-1） （1-1）… （1-1） …=0？
（2）1 （-1 1） （-1 1）… （-1 1） …=1？
再分析S1=1，S2=1-1=0，S3=1-1 1=1，…，Sn=1，n为奇数；0，n为偶数.
在分歧和困惑下引导学生总结：无穷多个数相加“和”不一定存在.接下来引出级数定义和级数的敛散性的定义并强调概念中的关键点.
此后向学生揭示，前面遇到的问题其实就是级数求“和”的问题.
12 14 … 12n …，1-1 1-… （-1）n-1 …是两个常数项无穷级数，而级数的“和”是否存在的问题就是级数的敛散性的问题，通过级数的敛散性的定义可知这个问题的解决可以通过部分和的极限存在与否来解决.
引导学生用级数的敛散性定义对以上两个例子进行解决，从而巩固学习本节的核心知识点.
（三）注重应用，联系实际
问题和实例的使用不能仅仅限于课堂概念引入，在应用中也要注重通过实例的分析提炼出数学思想方法，让学生体会到数学知识和数学思想存在于我们的生活中.
如，对常数项级数的定义及敛散性的定义学习之后，教师可以找一道应用题目，让学生体会到级数在生活中的应用.
（四）提炼数学思想，感受数学魅力
通过级数概念的学习及实际问题的解决，我们会感受到有限和无限的相互转化，这在实际生活中似乎不可能的问题，级数帮我们实现了.级数求和其实是把无限转化为了有限，即∑∞n=1un=limn→∞Sn=s，而反过来s=∑∞n=1un恰恰又是一个有限数进行一个无限表达.而这个双向转化正是级数在生活中的应用.
在这里我们会感受到数学的强大，而且也会感觉到数学其实就在我们的生活中，与我们天天打交道.它虽然是用符号和数字表达，但如果读懂了它，也会让我们明白很多生活的道理，帮助我们更好地生活和工作.
著名数学家华罗庚先生曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学.”数学即生活.
让学生经常用数学的眼光看身边的事物，让他们对自然和社会现象的好奇心、求知欲不断旺盛成长，使学生对数学有一个较为全面、客观的认识，从而愿意亲近数学、了解數学、谈论数学.
当然，以上主要是对教学环节的一些努力，对于三本的学生，由于他们自身知识基础的原因，还有主观的学习态度和意志力的因素，所以，要想使学习效果更好的话，与学生的交流和对学生的辅导也是不可少的.通过辅导和交流更好地了解他们的学习困境以便于找到更好的对策.