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摘要： 培养学生的解题能力是数学教学的实质。数学思维过程是学生通过解题过程中发展成熟的。本文就解题能力的培养与数学思维过程的建立之间的关系谈谈几点认识。
关键词： 数学思维 解题能力
数学的思维的本质是掌握数学概念，应用数学方法，解决数学实际问题。解决数学问题的能力实质是学生数学思维能力的体现。下面就在教学实际中应该通过哪些途径有效地进行解题能力的培养来提高学生的思维能力谈谈几点认识。
1.例题讲解注重方法与分析能力
高中数学的一个重要的教学过程是讲解例题，例题是数学教学中传授知识、展示数学思想方法、培养学生能力的重要载体。学生解题往往依赖教师讲解例题的解题模式、思路和步骤，力图实现解题的类化，学生的思维往往是通过模仿教师的思维逐渐形成的。由于数学知识信息的错综复杂，怎样才能揭示知识之间的联系和规律，寓思维方法的培养于解题教学之中，是数学教师的一个重要任务。学生在课堂上最关心的是教师如何进行分析探索的，解题思维是如何展开的，解题方法是如何确定的，思维障碍是如何突破的。这就是要求教师在解题时充分暴露自己的思维过程，展示数学思维过程中的每一个层次的环节，使学生不仅清楚怎么做，而且明白为什么这样做，否则教师的分析非常透彻，学生总觉得神秘莫测；教师以为易如反掌，学生却难于登天；教师津津乐道，而学生如入云雾，不利于学生的数学思维发展，也起不到应有的数学教学效果。
例1：二次函数f（x）=x +ax+3在区间［-1，1］上的最小值为-3，求实数a的值。这是二次函数在给定的区间上的最小值问题，基本思路是判定二次函数图像的开口方向，对称轴与给定区间的相对位置值，求出参数的值。题目涉及二次函数的图像、性质，以及分类思想、数形结合思想、化归思想，本题的关键是通过已知和结论的分解转化，将最值问题转化为区间端点或图像顶点的函数问题，即f（-1）=-3，或f（-a/2）=-3或f（1）=-3。难点是分类的标准，即-a/2＜-1，-1≤-a/2≤1，-a/2＞1是怎么确定的，教师在探讨时要紧紧围绕上述步骤进行分析。二次函数的图像是一条开口向上的抛物线，其对称轴x=-a/2虽然不定，但与给定的区间［-1，1］有且仅有3种位置关系：当对称轴x=-a/2在区间［-1，1］的左侧，即-a/2＜-1，亦即a＞2时，二次函数的最小值只能在区间的左端点处取得，从而有f（-1）=4-a=-3，得a=7；当对称轴x=-a/2在区间［-1，1］上，即-1≤-a/2≤1，亦即-2≤a≤2时，二次函数的最小值只能在其顶点处取得，从而有f（-a/2）=（12-a ）/4=-3，得a=±2 ，与-2≤ａ≤2矛盾，此时无解；当对称轴ｘ=-ａ/2在区间［-1，1］的右侧，即-a/2＞1，亦即ａ＜-2时，二次函数的最小值只能在区间的右端点处取得，从而有f（1）=4+a=-3得a=-7，综上可得a=±7。这样的分析学生对解题的整个思路过程才能有一个清晰的认识，对知识点的掌握才能更加透彻、牢固。
2.解题过程中的数学思维能力的培养
高中数学的解题能力主要突出在数学的思维能力上，所以学生解题能力的培养必须与数学知识教学以及一般解题方法的教学紧密结合起来。因此在教学实际中，应该采用以下方法。
首先，注重“三基”教学，即基本理论、基本技能和基本方法的教学，对数学中的概念、定理、公式、法则等的教学，要求学生做到理解、熟练。要求学生弄清概念的内涵和外延，弄清概念与概念之间的区别与联系，准确、透彻地理解概念，能用正确的数学语言来叙述这些概念，也能用自己的通俗语言来解释这些概念，重要的定义、定理要背熟，熟练运用概念。概念教学中的解题能力的培养，必须让学生明确学习这部分知识的目的和作用，调动学生的求和欲望和学习积极性；让学生有充分的时间去阅读课本，在阅读过程中发现问题，养成独立钻研的习惯；教师要有意识地给学生指出解决问题应观察的重点和思维中心，便于学生思考；围绕这一观察重点与思维中心，让学生提出问题，教师要善于归纳，启发学生的思路，引导得出正确的结论的途径。
其次，从学生的思维能力出发，有针对性地进行解题教学。学生解题，仍较依赖例题的解题模式、思路和步骤，力图实现解题的类化。因此，例题教学要突出其目的性、启发性、示范性、延伸性、规律性，使学生从中学会分析问题和解决问题的方法，提高思维决策能力。解决好例题的教学，为学生思维品质和解题能力的提高起积极的促进作用。教师在教学中，应让学生通过发现法学习，理解前人是如何看待问题，又是如何找出解决问题的办法。这一思维进程能给学生以亲身体验，帮助他们认识和理解知识发生和发展的必然的因果关系，从中领悟到分析、思考和解决问题的思想方法和步骤，培养和提高学生的解题能力。学生在解题过程中难免会碰到难题，教师必须要帮助他们分析障碍原因，矫正他们原有认识上的偏差，充实、完善他们对问题分析、发现和创造的过程，引导他们解决问题。因此，教师在解决问题时，要注重学生原有思路的分析，设身处地地了解学生面临的困难，抓住疑难的本质，积极寻找解决问题的契机，拓展学生解决问题的方法。
第三，让学生把握解题方法，探究数学思维。数学的解题过程中，存在着共同的客观规律，而数学的解题思维起步必须遵循着一般的活动规律。教学中应突出数学思维过程，要求学生学会在解题过程中的数学思维能力。解题思路的发现，归根到底是数学解题方法的发现。教学中要注意基本思想方法的分析和评述，使学生掌握综合法、分析法、比较法、反证法、穷举法、数学归纳法、待定系数法等，在解特殊方程时，要掌握换元法、图像法、数学模型法等。在运用这些基本方法时，还有许多基本的规律。例如，立体几何中，证明直线与平面的位置关系，一般思路为：（1）证线面平行，先证线线平行；（2）证面面平行，先证线面平行；（3）证线面垂直，先证线线垂直；（4）证面面垂直，先证线面垂直等。合理的教学方法是培养学生的解题思维能力的主要途径。
总之，培养学生解题能力是一个长期系统的工程，是数学教师的整个教学体系完整的内容。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词： 数学思维 解题能力
数学的思维的本质是掌握数学概念，应用数学方法，解决数学实际问题。解决数学问题的能力实质是学生数学思维能力的体现。下面就在教学实际中应该通过哪些途径有效地进行解题能力的培养来提高学生的思维能力谈谈几点认识。
1.例题讲解注重方法与分析能力
高中数学的一个重要的教学过程是讲解例题，例题是数学教学中传授知识、展示数学思想方法、培养学生能力的重要载体。学生解题往往依赖教师讲解例题的解题模式、思路和步骤，力图实现解题的类化，学生的思维往往是通过模仿教师的思维逐渐形成的。由于数学知识信息的错综复杂，怎样才能揭示知识之间的联系和规律，寓思维方法的培养于解题教学之中，是数学教师的一个重要任务。学生在课堂上最关心的是教师如何进行分析探索的，解题思维是如何展开的，解题方法是如何确定的，思维障碍是如何突破的。这就是要求教师在解题时充分暴露自己的思维过程，展示数学思维过程中的每一个层次的环节，使学生不仅清楚怎么做，而且明白为什么这样做，否则教师的分析非常透彻，学生总觉得神秘莫测；教师以为易如反掌，学生却难于登天；教师津津乐道，而学生如入云雾，不利于学生的数学思维发展，也起不到应有的数学教学效果。
例1：二次函数f（x）=x +ax+3在区间［-1，1］上的最小值为-3，求实数a的值。这是二次函数在给定的区间上的最小值问题，基本思路是判定二次函数图像的开口方向，对称轴与给定区间的相对位置值，求出参数的值。题目涉及二次函数的图像、性质，以及分类思想、数形结合思想、化归思想，本题的关键是通过已知和结论的分解转化，将最值问题转化为区间端点或图像顶点的函数问题，即f（-1）=-3，或f（-a/2）=-3或f（1）=-3。难点是分类的标准，即-a/2＜-1，-1≤-a/2≤1，-a/2＞1是怎么确定的，教师在探讨时要紧紧围绕上述步骤进行分析。二次函数的图像是一条开口向上的抛物线，其对称轴x=-a/2虽然不定，但与给定的区间［-1，1］有且仅有3种位置关系：当对称轴x=-a/2在区间［-1，1］的左侧，即-a/2＜-1，亦即a＞2时，二次函数的最小值只能在区间的左端点处取得，从而有f（-1）=4-a=-3，得a=7；当对称轴x=-a/2在区间［-1，1］上，即-1≤-a/2≤1，亦即-2≤a≤2时，二次函数的最小值只能在其顶点处取得，从而有f（-a/2）=（12-a ）/4=-3，得a=±2 ，与-2≤ａ≤2矛盾，此时无解；当对称轴ｘ=-ａ/2在区间［-1，1］的右侧，即-a/2＞1，亦即ａ＜-2时，二次函数的最小值只能在区间的右端点处取得，从而有f（1）=4+a=-3得a=-7，综上可得a=±7。这样的分析学生对解题的整个思路过程才能有一个清晰的认识，对知识点的掌握才能更加透彻、牢固。
2.解题过程中的数学思维能力的培养
高中数学的解题能力主要突出在数学的思维能力上，所以学生解题能力的培养必须与数学知识教学以及一般解题方法的教学紧密结合起来。因此在教学实际中，应该采用以下方法。
首先，注重“三基”教学，即基本理论、基本技能和基本方法的教学，对数学中的概念、定理、公式、法则等的教学，要求学生做到理解、熟练。要求学生弄清概念的内涵和外延，弄清概念与概念之间的区别与联系，准确、透彻地理解概念，能用正确的数学语言来叙述这些概念，也能用自己的通俗语言来解释这些概念，重要的定义、定理要背熟，熟练运用概念。概念教学中的解题能力的培养，必须让学生明确学习这部分知识的目的和作用，调动学生的求和欲望和学习积极性；让学生有充分的时间去阅读课本，在阅读过程中发现问题，养成独立钻研的习惯；教师要有意识地给学生指出解决问题应观察的重点和思维中心，便于学生思考；围绕这一观察重点与思维中心，让学生提出问题，教师要善于归纳，启发学生的思路，引导得出正确的结论的途径。
其次，从学生的思维能力出发，有针对性地进行解题教学。学生解题，仍较依赖例题的解题模式、思路和步骤，力图实现解题的类化。因此，例题教学要突出其目的性、启发性、示范性、延伸性、规律性，使学生从中学会分析问题和解决问题的方法，提高思维决策能力。解决好例题的教学，为学生思维品质和解题能力的提高起积极的促进作用。教师在教学中，应让学生通过发现法学习，理解前人是如何看待问题，又是如何找出解决问题的办法。这一思维进程能给学生以亲身体验，帮助他们认识和理解知识发生和发展的必然的因果关系，从中领悟到分析、思考和解决问题的思想方法和步骤，培养和提高学生的解题能力。学生在解题过程中难免会碰到难题，教师必须要帮助他们分析障碍原因，矫正他们原有认识上的偏差，充实、完善他们对问题分析、发现和创造的过程，引导他们解决问题。因此，教师在解决问题时，要注重学生原有思路的分析，设身处地地了解学生面临的困难，抓住疑难的本质，积极寻找解决问题的契机，拓展学生解决问题的方法。
第三，让学生把握解题方法，探究数学思维。数学的解题过程中，存在着共同的客观规律，而数学的解题思维起步必须遵循着一般的活动规律。教学中应突出数学思维过程，要求学生学会在解题过程中的数学思维能力。解题思路的发现，归根到底是数学解题方法的发现。教学中要注意基本思想方法的分析和评述，使学生掌握综合法、分析法、比较法、反证法、穷举法、数学归纳法、待定系数法等，在解特殊方程时，要掌握换元法、图像法、数学模型法等。在运用这些基本方法时，还有许多基本的规律。例如，立体几何中，证明直线与平面的位置关系，一般思路为：（1）证线面平行，先证线线平行；（2）证面面平行，先证线面平行；（3）证线面垂直，先证线线垂直；（4）证面面垂直，先证线面垂直等。合理的教学方法是培养学生的解题思维能力的主要途径。
总之，培养学生解题能力是一个长期系统的工程，是数学教师的整个教学体系完整的内容。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”