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摘要：儿童是天生的哲学家。小学数学教学也应培养学生的哲学思考，引发他们追问“从哪里来”“怎样去找”“有何特征”“到哪里去”。《因数与倍数》一课教学，让学生明白因数与倍数从整除运算和乘法运算中来，尝试找出一个数的因数和倍数并发现其特征，最后，从生活和数学本身出发，思考因数与倍数的用途。
关键词：数学教学哲学思考因数与倍数
儿童是天生的哲学家。周国平说：“哲学不具备简单意义的实用性，它是无形、无限与无定。如果把科学比作一片广袤的大地，那么，哲学就是一片无限的天空。”如何培养小学生的哲学思考，引发他们追问“从哪里来”“怎样去找”“有何特征”“到哪里去”？数学教学应该有自己的回答。苏教版小学数学五年级下册《因数与倍数》一课教学，笔者就上出了一点哲学味。
一、“因数与倍数”从哪里来
【片段1】 整除运算
师数学要研究“数”。一年级开始，我们就学习了自然数，那么自然数有哪些？
生 0，1，2，3，4，…。
师今天我们研究的数，是除0以外的自然数，叫非零自然数。
师老师用不同的两个非零自然数做了几道除法算式。
（依次出示：12÷2=6， 8÷3=2……2，36÷9=4，19÷7=2……5，15÷15=1，1÷2=0.5。）
师仔细观察、思考，谁来把这些算式分类？
（学生尝试分类——第一类：12÷2=6，36÷9=4，15÷15=1；第二类：8÷3=2……2，19÷7=2……5；第三类：1÷2=0.5。）
师你是怎样想的？
生第一类算式中的每一个数都是自然数，第二类算式中都有余数，第三类算式的结果是小数。
师我们来研究第一类算式，像这样，被除数、除数和商都是自然数，没有余数。比如，12÷2=6，我们就可以说12是2的倍数，2是12的因数；也可以说，12是6的倍数，6是12的因数。
师谁来说一说36÷9=4和15÷15=1这两道算式中因数与倍数的关系。
生36是9的倍数，9是36的因数；36是4的倍数，4是36的因数。
生15是15的倍数，15是15的因数；15是1的倍数，1是15的因数。
师谁愿意出一道除法算式，让其他同学说一说？
……
从学生熟悉的自然数出发，用两个非零自然数做除法运算，寻找整除的算式，并聚焦这一类算式，被除数、除数和商都是自然数，没有余数，进而发现两个数之间因数与倍数的关系——因数与倍数是相互依存的辩证关系，有因数就有倍数，有倍数就有因数，中间用“与”连接。因数与倍数从哪里来？从整除运算中来。
【片段2】 乘法运算
师（出示图1）用小正方形拼长方形，一排摆6个，摆2排，一共用了多少个小正方形，怎么算？
生6×2=12。
师这道乘法算式里有因数与倍数关系吗？
生6和2都是12的因数，12是6和2的倍数。
师（出示图2）这幅图中，怎么算长方形围出的点数？
生12×1=12。
师谁来说一说：这道乘法算式中有因数与倍数关系吗？
生12和1都是12的因数，12是12和1的倍数。
师（出示图3）这是一幅线段图，怎样求乙？
生4×3=12。
师谁来说一说：这道乘法算式中有因数与倍数关系吗？
生4和3都是12的因数，12是4和3的倍数。
师这些图形中的数可以选0嗎？
生不能，因为选0就不能构成图形了。
师这也说明了因数与倍数研究的是非零自然数。
因数与倍数是从哪里来的？从乘法运算中来。因数与倍数是一种依存关系，通过整除运算学生理解得还不完整，借助图形表示，在乘法运算中同样存在因数与倍数的关系。这里，跳出除法算式，建构乘法意义的因数与倍数。
二、“因数与倍数”怎样去找
【片段3】 找12的因数
师这里有几份同学们的研究单，（出示图4）一起来分享一下。
生（朱国浩）通过除法来寻找12的所有因数，从1开始除，12÷1=12，12÷2=6，12÷3=4，12的因数有：1，2，3，4，6，12。
师朱国浩同学找得非常好，掌声鼓励！他用了什么好方法？
生按顺序找。
生按自然数从小到大的顺序。
（教师出示图5。）
生（蒋若菡）我是用乘法算式来找的，1×12=12，2×6=12，3×4=12，12的因数有：1，12，2，6，3，4。
师蒋若菡同学找得也非常好，但她写的因数没有按自然数顺序排列。
师（课件演示，见图6）第一步：怎么找？用乘法或除法找。第二步：怎么算？乘法算1×12=12，2×6=12，3×4=12；除法算12÷1=12，12÷2=6，12÷3=4。不论乘法还是除法，都需要有序一一列举。第三步：怎么写？先写1和12，一前一后，再写2和6，一前一后，最后写3和4，这样成对写，又快又有序。
让学生接受挑战，尝试找出12的所有因数。受之前学习的影响，部分学生用除法运算去找，也有学生用乘法算式有序地找到了12的所有因数。在具体写出12的所有因数时，教师要提醒学生注意一前一后成对、有序地写，让他们感受到数学思考的理性与思辨。
【片段4】 分组找15，36，16的所有因数
师第一组找15的所有因数，第二组找36的所有因数，第三组找16的所有因数。先独立完成，再与同学交流。
（教师出示三位学生的完成情况，见图7～图9。） 生（曲珩樟）用乘法找，1×15=15，3×5=15，15的因数有1，3，5，15。
生（何禹岑）用乘法找，1×36=36，2×18=36，3×12=36，4×9=36，6×6=36，36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。这里的6有两个，为了不重复，写一个就行了。
生（潘一辉）用乘法找，1×16=16，2×8=16，4×4=16，16的因数有1，2，4，4，8，16。这里的4也有两个，我多写了一个，应该去掉一个4。
师这三位同学都用乘法有序地找到了一个数的所有因数。
在找12的所有因数基础上，教师让学生分组探索一个数的所有因数，全班分三个小组，每组完成一个数，强化寻找的过程；并按自然数顺序一一列举，强调相同因数只要写一个，借助数形结合，把每个数的因数成对地在数直线上表示出来，与写因数的过程一一对应。
【片段5】 分组找2，3，5的倍数
师参照找一个数因数的方法，试着找一个数的倍数。第一组找2的倍数，第二组找3的倍数，第三组找5的倍数。
师有什么问题吗？
生一个数的倍数有无数个，怎么写？
师一般写出前6个，加上省略号。
（学生分组找2，3，5的倍数。全班交流反馈。教师出示三位学生的研究单，见图10～图12。）
生（朱磊宇）我是用乘法算式一一列举，1×2=2，2×2=4，3×2=6，等等，2的倍数有：2，4，6，8，10，12，…。
生（孙祎涵）用乘法算式一一列举，1×3=3，2×3=6，3×3=9，等等，3的倍数有：3，6，9，12，15，18，…。
生（李振鑫）用乘法算式一一列举，1×5=5，2×5=10，3×5=15，等等，5的倍数有：5，10，15，20，25，30，…。
师怎样去找一个数的倍数呢？
生用自然数1，2，3，…与这个数相乘，就能找到它的倍数。
对学生来说，找一个数的倍数很容易，以找一个数的因数为基础，用乘法计算，从自然数1开始，依次与这个数相乘，口算、思考都很简单。这里主要解决写多少、怎么写的问题。学生开始就有疑惑，一个数的倍数有无数个，怎么办呢？按规定写出6个，加上省略号，表示无限多。
三、“因数与倍数”有何特征
【片段6】 寻找因数与倍数的特征
师（出示图13）仔细观察每一个数的因数，有何特征？
生一个数的因数中最小的是1。
生一个数的因数中最大的是它本身。
师15有几个因数？36和16呢？
生4个、9个和5个。
师一个数的因数的个数是有限的还是无限的？
生有限的。
师（出示图14）再一起回顾找一个数的倍数的过程。仔细观察一个数的倍数，有何特征？
生一个数的倍数中最小的是它本身。
生一个数的倍数没有最大的，因为一个数的倍数有无数个。
师思考一下：找一个数的因数和倍数有什么相同点和不同点？
生相同之处是因数和倍数都是从乘法、除法的角度去寻找，有序地找；因数、倍数中都有本身。
生不同之处，一个是从本身开始向内找，有有限个；一个是从本身开始向外找，有无限个。
师（出示图15）我们研究了因数与倍数，一是“从哪里来”，整数乘法、除法运算中都可以找到因数与倍数。二是“怎样去找”，用乘法或除法去找，有序地找，成对地找。三是“有何特征”，一个数的因数个数是有限的，在1到它本身之间；一个数的倍数是无限的，从它本身开始，没有最大。还有一个问题需要思考，就是“到哪里去”。
学生通过探索学会了找一个数的因数与倍数，回顾反思，列举15，36，16的所有因数，发现一个数的因数最小的是1，最大的是它本身，个数是有限的，还相机呈现图示的表示方法、数直线的表示方法，多元表征形象理解。再回顾寻找2，3，5倍数的过程，发现一个数的倍数最小是它本身，最大的不存在，个数是无限的。辩证思考理解，找一个数的因数是由本身向内寻找，而找一个数的倍数是由本身向外寻找。
四、“因数与倍数”到哪里去
【片段7】 到生活中去
师生活中有哪些关于求一个数的因数或倍数的问题？
师（出示问题1：乘坐小船，每人应付4元，填写表1）怎么填？
生12，16，20，24，…。
师这是求一个数的倍数还是因数？
生求一个数的倍数。
师（出示问题2：24个同学表演团体操，填写表2）怎么填？
生8，6，4，3，2，1。
师这是求——
生一个数的因数。
【片段8】 到数学中去
师数学中关于因数还有更多奇妙的研究。老师想给大家介绍一个特别的数——6。6的因数有哪些？
生1，2，3，6。
师除去6本身，把剩下的因数相加，你发现了什么？
生结果还是6。
师这样的数很特别，数学家们将具有这一特点的数称为完美数。6就是第一个完美數。想知道第二个完美数是多少吗？
生想！
师透露一下，比25大，比30小。组内分工合作，看看哪个小组最先找出第二个完美数。
（学生很快找出了第二个完美数28。）
师人们对于完美数的探索是永无止境的，（出示图16）找到了第二个完美数，人们就开始寻找第三个、第四个，看——
师想一下，要找出这些完美数来，有什么感想？
生我觉得太了不起了！
生这需要付出多大的艰辛呀！
师究竟是什么力量，吸引着一代又一代数学家为此付出毕生的心血呢？
生是完美数本身。
生是他们对于数学的热爱。
生对于数的好奇心。
师数学王子高斯曾经说过：“数学是自然科学的皇后，数论则是数学的皇冠。”今天时间有限，我们只看到了皇冠上一粒小小的珠子，但只要我们沿着这条路走下去，一定会收获很多……
学生学完因数与倍数后，心中会有疑惑，因数与倍数有什么用？这里从两个方面进行延伸，一是从生活中的问题入手，坐船付钱问题是求一个数的倍数，团体操表演问题是求一个数的因数；二是从数学本身出发，即完美数。
本课教学通过具有哲学味的层层追问，让学生整体理解因数与倍数的相互依存关系——这是一个新颖的思路，一次有益的探索。
关键词：数学教学哲学思考因数与倍数
儿童是天生的哲学家。周国平说：“哲学不具备简单意义的实用性，它是无形、无限与无定。如果把科学比作一片广袤的大地，那么，哲学就是一片无限的天空。”如何培养小学生的哲学思考，引发他们追问“从哪里来”“怎样去找”“有何特征”“到哪里去”？数学教学应该有自己的回答。苏教版小学数学五年级下册《因数与倍数》一课教学，笔者就上出了一点哲学味。
一、“因数与倍数”从哪里来
【片段1】 整除运算
师数学要研究“数”。一年级开始，我们就学习了自然数，那么自然数有哪些？
生 0，1，2，3，4，…。
师今天我们研究的数，是除0以外的自然数，叫非零自然数。
师老师用不同的两个非零自然数做了几道除法算式。
（依次出示：12÷2=6， 8÷3=2……2，36÷9=4，19÷7=2……5，15÷15=1，1÷2=0.5。）
师仔细观察、思考，谁来把这些算式分类？
（学生尝试分类——第一类：12÷2=6，36÷9=4，15÷15=1；第二类：8÷3=2……2，19÷7=2……5；第三类：1÷2=0.5。）
师你是怎样想的？
生第一类算式中的每一个数都是自然数，第二类算式中都有余数，第三类算式的结果是小数。
师我们来研究第一类算式，像这样，被除数、除数和商都是自然数，没有余数。比如，12÷2=6，我们就可以说12是2的倍数，2是12的因数；也可以说，12是6的倍数，6是12的因数。
师谁来说一说36÷9=4和15÷15=1这两道算式中因数与倍数的关系。
生36是9的倍数，9是36的因数；36是4的倍数，4是36的因数。
生15是15的倍数，15是15的因数；15是1的倍数，1是15的因数。
师谁愿意出一道除法算式，让其他同学说一说？
……
从学生熟悉的自然数出发，用两个非零自然数做除法运算，寻找整除的算式，并聚焦这一类算式，被除数、除数和商都是自然数，没有余数，进而发现两个数之间因数与倍数的关系——因数与倍数是相互依存的辩证关系，有因数就有倍数，有倍数就有因数，中间用“与”连接。因数与倍数从哪里来？从整除运算中来。
【片段2】 乘法运算
师（出示图1）用小正方形拼长方形，一排摆6个，摆2排，一共用了多少个小正方形，怎么算？
生6×2=12。
师这道乘法算式里有因数与倍数关系吗？
生6和2都是12的因数，12是6和2的倍数。
师（出示图2）这幅图中，怎么算长方形围出的点数？
生12×1=12。
师谁来说一说：这道乘法算式中有因数与倍数关系吗？
生12和1都是12的因数，12是12和1的倍数。
师（出示图3）这是一幅线段图，怎样求乙？
生4×3=12。
师谁来说一说：这道乘法算式中有因数与倍数关系吗？
生4和3都是12的因数，12是4和3的倍数。
师这些图形中的数可以选0嗎？
生不能，因为选0就不能构成图形了。
师这也说明了因数与倍数研究的是非零自然数。
因数与倍数是从哪里来的？从乘法运算中来。因数与倍数是一种依存关系，通过整除运算学生理解得还不完整，借助图形表示，在乘法运算中同样存在因数与倍数的关系。这里，跳出除法算式，建构乘法意义的因数与倍数。
二、“因数与倍数”怎样去找
【片段3】 找12的因数
师这里有几份同学们的研究单，（出示图4）一起来分享一下。
生（朱国浩）通过除法来寻找12的所有因数，从1开始除，12÷1=12，12÷2=6，12÷3=4，12的因数有：1，2，3，4，6，12。
师朱国浩同学找得非常好，掌声鼓励！他用了什么好方法？
生按顺序找。
生按自然数从小到大的顺序。
（教师出示图5。）
生（蒋若菡）我是用乘法算式来找的，1×12=12，2×6=12，3×4=12，12的因数有：1，12，2，6，3，4。
师蒋若菡同学找得也非常好，但她写的因数没有按自然数顺序排列。
师（课件演示，见图6）第一步：怎么找？用乘法或除法找。第二步：怎么算？乘法算1×12=12，2×6=12，3×4=12；除法算12÷1=12，12÷2=6，12÷3=4。不论乘法还是除法，都需要有序一一列举。第三步：怎么写？先写1和12，一前一后，再写2和6，一前一后，最后写3和4，这样成对写，又快又有序。
让学生接受挑战，尝试找出12的所有因数。受之前学习的影响，部分学生用除法运算去找，也有学生用乘法算式有序地找到了12的所有因数。在具体写出12的所有因数时，教师要提醒学生注意一前一后成对、有序地写，让他们感受到数学思考的理性与思辨。
【片段4】 分组找15，36，16的所有因数
师第一组找15的所有因数，第二组找36的所有因数，第三组找16的所有因数。先独立完成，再与同学交流。
（教师出示三位学生的完成情况，见图7～图9。） 生（曲珩樟）用乘法找，1×15=15，3×5=15，15的因数有1，3，5，15。
生（何禹岑）用乘法找，1×36=36，2×18=36，3×12=36，4×9=36，6×6=36，36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。这里的6有两个，为了不重复，写一个就行了。
生（潘一辉）用乘法找，1×16=16，2×8=16，4×4=16，16的因数有1，2，4，4，8，16。这里的4也有两个，我多写了一个，应该去掉一个4。
师这三位同学都用乘法有序地找到了一个数的所有因数。
在找12的所有因数基础上，教师让学生分组探索一个数的所有因数，全班分三个小组，每组完成一个数，强化寻找的过程；并按自然数顺序一一列举，强调相同因数只要写一个，借助数形结合，把每个数的因数成对地在数直线上表示出来，与写因数的过程一一对应。
【片段5】 分组找2，3，5的倍数
师参照找一个数因数的方法，试着找一个数的倍数。第一组找2的倍数，第二组找3的倍数，第三组找5的倍数。
师有什么问题吗？
生一个数的倍数有无数个，怎么写？
师一般写出前6个，加上省略号。
（学生分组找2，3，5的倍数。全班交流反馈。教师出示三位学生的研究单，见图10～图12。）
生（朱磊宇）我是用乘法算式一一列举，1×2=2，2×2=4，3×2=6，等等，2的倍数有：2，4，6，8，10，12，…。
生（孙祎涵）用乘法算式一一列举，1×3=3，2×3=6，3×3=9，等等，3的倍数有：3，6，9，12，15，18，…。
生（李振鑫）用乘法算式一一列举，1×5=5，2×5=10，3×5=15，等等，5的倍数有：5，10，15，20，25，30，…。
师怎样去找一个数的倍数呢？
生用自然数1，2，3，…与这个数相乘，就能找到它的倍数。
对学生来说，找一个数的倍数很容易，以找一个数的因数为基础，用乘法计算，从自然数1开始，依次与这个数相乘，口算、思考都很简单。这里主要解决写多少、怎么写的问题。学生开始就有疑惑，一个数的倍数有无数个，怎么办呢？按规定写出6个，加上省略号，表示无限多。
三、“因数与倍数”有何特征
【片段6】 寻找因数与倍数的特征
师（出示图13）仔细观察每一个数的因数，有何特征？
生一个数的因数中最小的是1。
生一个数的因数中最大的是它本身。
师15有几个因数？36和16呢？
生4个、9个和5个。
师一个数的因数的个数是有限的还是无限的？
生有限的。
师（出示图14）再一起回顾找一个数的倍数的过程。仔细观察一个数的倍数，有何特征？
生一个数的倍数中最小的是它本身。
生一个数的倍数没有最大的，因为一个数的倍数有无数个。
师思考一下：找一个数的因数和倍数有什么相同点和不同点？
生相同之处是因数和倍数都是从乘法、除法的角度去寻找，有序地找；因数、倍数中都有本身。
生不同之处，一个是从本身开始向内找，有有限个；一个是从本身开始向外找，有无限个。
师（出示图15）我们研究了因数与倍数，一是“从哪里来”，整数乘法、除法运算中都可以找到因数与倍数。二是“怎样去找”，用乘法或除法去找，有序地找，成对地找。三是“有何特征”，一个数的因数个数是有限的，在1到它本身之间；一个数的倍数是无限的，从它本身开始，没有最大。还有一个问题需要思考，就是“到哪里去”。
学生通过探索学会了找一个数的因数与倍数，回顾反思，列举15，36，16的所有因数，发现一个数的因数最小的是1，最大的是它本身，个数是有限的，还相机呈现图示的表示方法、数直线的表示方法，多元表征形象理解。再回顾寻找2，3，5倍数的过程，发现一个数的倍数最小是它本身，最大的不存在，个数是无限的。辩证思考理解，找一个数的因数是由本身向内寻找，而找一个数的倍数是由本身向外寻找。
四、“因数与倍数”到哪里去
【片段7】 到生活中去
师生活中有哪些关于求一个数的因数或倍数的问题？
师（出示问题1：乘坐小船，每人应付4元，填写表1）怎么填？
生12，16，20，24，…。
师这是求一个数的倍数还是因数？
生求一个数的倍数。
师（出示问题2：24个同学表演团体操，填写表2）怎么填？
生8，6，4，3，2，1。
师这是求——
生一个数的因数。
【片段8】 到数学中去
师数学中关于因数还有更多奇妙的研究。老师想给大家介绍一个特别的数——6。6的因数有哪些？
生1，2，3，6。
师除去6本身，把剩下的因数相加，你发现了什么？
生结果还是6。
师这样的数很特别，数学家们将具有这一特点的数称为完美数。6就是第一个完美數。想知道第二个完美数是多少吗？
生想！
师透露一下，比25大，比30小。组内分工合作，看看哪个小组最先找出第二个完美数。
（学生很快找出了第二个完美数28。）
师人们对于完美数的探索是永无止境的，（出示图16）找到了第二个完美数，人们就开始寻找第三个、第四个，看——
师想一下，要找出这些完美数来，有什么感想？
生我觉得太了不起了！
生这需要付出多大的艰辛呀！
师究竟是什么力量，吸引着一代又一代数学家为此付出毕生的心血呢？
生是完美数本身。
生是他们对于数学的热爱。
生对于数的好奇心。
师数学王子高斯曾经说过：“数学是自然科学的皇后，数论则是数学的皇冠。”今天时间有限，我们只看到了皇冠上一粒小小的珠子，但只要我们沿着这条路走下去，一定会收获很多……
学生学完因数与倍数后，心中会有疑惑，因数与倍数有什么用？这里从两个方面进行延伸，一是从生活中的问题入手，坐船付钱问题是求一个数的倍数，团体操表演问题是求一个数的因数；二是从数学本身出发，即完美数。
本课教学通过具有哲学味的层层追问，让学生整体理解因数与倍数的相互依存关系——这是一个新颖的思路，一次有益的探索。