论文部分内容阅读
摘要：数量关系的原生态表征与精细化表征；数量关系原生态表征与精细化表征的价值叩问；数量关系原生态表征与精细化表征的价值叩问。
关键词：数量关系；原生态；精细化；思考
中图分类号：012
文献标识码：A
文章编号：1009-0118(2011)-04-0941-01
数量关系是数量之间客观存在的内在联系，运用数学语言准确表达数量关系是数学活动的重要环节。这种数量关系的存在性状对数学教学实践产生了深刻的影响。学生“原生态”的数量关系表征是否具有其独特的内在价值?是否具有其特有的实践意蕴?两中表征之间是否是一种纯粹的“主辅关系”?笔者以长方形周长和长方体、圆柱体表面积计算公式为例，对上述两种关系表征进行价值叩问，并尝试对两种表征之间的关系认识与实践把握展开初步的探讨。
一、数量关系的原生态表征与精细化表征
“原生态”表征和“精细化”表征。所谓数量关系“原生态”表征是指学生在理解相关概念意义的基础上，独立探索、发现并表征的数量关系，它对应于学生的“现有发现区”。如学生在理解长方形周长概念和长方体、圆柱体表面积概念的基础上，通过观察、思考，自主发现并表征的数量关系：长方形周长=长x2+宽x2；圆柱体表面积一侧面积+底面积x2；长方体表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2。相对于“原生态”表征而言，数量关系“精细化”表征通常是指学生在教师的启发和引导下，通过主动探索和深入思考而获得的比较简约的、概括的数量关系，它对应于学生的“最近发现区”。如学生在教师的启发和引导下，依据概念意义重新构建并表征的数量关系：长方形周长=(长+宽)×2；长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2；圆柱体表面积=底面周长×(半径+高)。
数量关系原生态表征和精细化表征的“共存”现象是数学实践中客观存在的，而且两者都正确地揭示了数量之间的内在联系。但两者之间也存在着一定的差异：1、从形式的先后顺序来看，数量关系的原生态表征常常先于精细化表征，表现为时间上的初始性和性质上的原创性；2、从构建的条件来看，数量关系的原生态表征是学生基于其数学现实的自主性构建，具有完全的独立性，而后者常常是学生在教师的引导与帮助下实现的，表现出一定的依赖性；3、从概括程度来看，数量关系的精细化表征常常高于原生态表征；4、从发展层次来看，数量关系原生态表征真实、自然地反映了学生的“实际发展水平”，是可能性发展向现实性发展转化的结果。
二、数量关系原生态表征与精细化表征的价值叩问
(一)内在价值的发现与认识
数量关系表征是数学活动过程与结果的结合体，从结果上看，无论是数量关系的原生态表征，还是精细化表征，都正确揭示和反映了数量之间的本质联系，因此两者都可称之为“完善的经验”。从过程上看，两者表征则呈现出不尽相同的形成路径。就长方形周长的原生态表征和精细化表征而言，前者是学生在理解长方形周长概念意义的基础上，通过观察、思考几何图形，将围成长方形的四条边进行分类：一类是长，有两条；另一类是宽，也有两条，由此得出，长方形周长=长x2+宽x2。而后者则是学生在教师的启发和引导下，主动转换思维视角，对围成长方形的四条边进行分类组：一条长和一条宽为一组，一共分为两组，由此得出：长方形周长=(长+宽)×2。从两种表征的形成过程中可以看出：数量关系的两种表征都具有其特定的思维视角，各自从不同的角度揭示和反映数量之间的本质联系。结果的完善性与过程的独特性表明了这样一个基本事实：数量关系的原生态和精细化表征都具有的内在价值。而“内在的价值是无价之宝，无价之宝之间是不能比较的”。
从教学实际来看，数量关系的精细化表征既可以从具体情境中生成(直接构建)，也可以以已有的原生态表征为依托，通过引入一些数学元素加以间接构建。在笔者看来，这事实上既反映了两种表征之间具有一定的内在联系，同时也是对原生态表征内在价值的充分肯定。那种视原生态表征为“未完成品”，而精细化表征为“成品”的观念是错误的，错误的根源在于用比较而不是内在的观点看问题。
(二)工具价值的显现与比较
数量關系原生态表征与精细化表征的内在价值是不能比较的，但在特定的问题情境中，出于成功解决问题的需要，就必须对两者的价值(工具价值、实践价值或应用价值)进行理性的比较、判断与选择。
分析表明，数量关系的两种表征都具有独特的、无可替代的实践价值。我们不能因为原生态表征存在着一定的实践性局限而全盘否定。同样也不能因为精细化表征的普适性而推崇备至。那种视精细化表征为唯一恰当的表征式样以及实践中的“厚此薄彼”倾向无疑是错误的，其错误的根源在于忽视了数量关系表征在具体情境中的现实意义，游离于真实、具体的实践情境之外，抽象、孤立、片面地看问题。
三、原生态表征与精细化表征的互补和整合
数量关系表征从单一的精细化转向以两者并重，要求教师在教学实践中必须重视学生原生态的数量关系表征，但又不能让学生的认知发展停滞在“自发”水平，要及时引领学生由原生态表征向精细化表征提升。可以通过引导学生转换思维方式直接构建出精细化的数量关系表征(直接构建方式)，也可以引导学生运用已学过的数学定律、性质等对原生态表征进行形式化处理，从而逻辑推演出精细化的数量关系表征(间接构建方式)。就间接构建方式而言，教师必须注意的是，尽管学生经历了由原生态表征向精细化表征的逻辑推演过程，但并不意味着学生随之自然建立起与精细化表征相对应的数学方法，潜存着知识与方法“分离”的危险。这种“分离”状态不仅使精细化表征本身失去其问题解决中“最有效的利用”也是导致解决问题机械呆板的主要根源。因此，对于形式化推演出来的数量关系精细化表征，教师要及时引导学生将其与数学概念，直观图形联系起来综合考察，使学生发现、领悟和建立起与精细化表征相对应的数学思想方法，实现思维方式的转换，构建起精细化数量关系表征的完整意义。这样，在学生的脑海中，两种表征之间不再彼此互不相关，而是有机整合为同一概念心理表征的关系侧面，即“和而不同”。
从更高层面来看，坚持数量关系原生态表征与精细化表征两者并重，不仅仅是为了学生认知结构的完善，也不仅仅是为了解决某些具体问题，更重要的是为了学生智慧的生成与发展。经历这一过程，学生获得的不仅仅是问题的成功解决，而且深化了对两种数量关系表征的认识，更有价值的是增强了自主判断与选择的意识和能力，提高了思维的灵活性与创造性，只有如此，数学教学才能真正逼近其鹄的——“使人具有活跃的智慧”，数学学习才能真正成为“智慧之学”!
关键词：数量关系；原生态；精细化；思考
中图分类号：012
文献标识码：A
文章编号：1009-0118(2011)-04-0941-01
数量关系是数量之间客观存在的内在联系，运用数学语言准确表达数量关系是数学活动的重要环节。这种数量关系的存在性状对数学教学实践产生了深刻的影响。学生“原生态”的数量关系表征是否具有其独特的内在价值?是否具有其特有的实践意蕴?两中表征之间是否是一种纯粹的“主辅关系”?笔者以长方形周长和长方体、圆柱体表面积计算公式为例，对上述两种关系表征进行价值叩问，并尝试对两种表征之间的关系认识与实践把握展开初步的探讨。
一、数量关系的原生态表征与精细化表征
“原生态”表征和“精细化”表征。所谓数量关系“原生态”表征是指学生在理解相关概念意义的基础上，独立探索、发现并表征的数量关系，它对应于学生的“现有发现区”。如学生在理解长方形周长概念和长方体、圆柱体表面积概念的基础上，通过观察、思考，自主发现并表征的数量关系：长方形周长=长x2+宽x2；圆柱体表面积一侧面积+底面积x2；长方体表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2。相对于“原生态”表征而言，数量关系“精细化”表征通常是指学生在教师的启发和引导下，通过主动探索和深入思考而获得的比较简约的、概括的数量关系，它对应于学生的“最近发现区”。如学生在教师的启发和引导下，依据概念意义重新构建并表征的数量关系：长方形周长=(长+宽)×2；长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2；圆柱体表面积=底面周长×(半径+高)。
数量关系原生态表征和精细化表征的“共存”现象是数学实践中客观存在的，而且两者都正确地揭示了数量之间的内在联系。但两者之间也存在着一定的差异：1、从形式的先后顺序来看，数量关系的原生态表征常常先于精细化表征，表现为时间上的初始性和性质上的原创性；2、从构建的条件来看，数量关系的原生态表征是学生基于其数学现实的自主性构建，具有完全的独立性，而后者常常是学生在教师的引导与帮助下实现的，表现出一定的依赖性；3、从概括程度来看，数量关系的精细化表征常常高于原生态表征；4、从发展层次来看，数量关系原生态表征真实、自然地反映了学生的“实际发展水平”，是可能性发展向现实性发展转化的结果。
二、数量关系原生态表征与精细化表征的价值叩问
(一)内在价值的发现与认识
数量关系表征是数学活动过程与结果的结合体，从结果上看，无论是数量关系的原生态表征，还是精细化表征，都正确揭示和反映了数量之间的本质联系，因此两者都可称之为“完善的经验”。从过程上看，两者表征则呈现出不尽相同的形成路径。就长方形周长的原生态表征和精细化表征而言，前者是学生在理解长方形周长概念意义的基础上，通过观察、思考几何图形，将围成长方形的四条边进行分类：一类是长，有两条；另一类是宽，也有两条，由此得出，长方形周长=长x2+宽x2。而后者则是学生在教师的启发和引导下，主动转换思维视角，对围成长方形的四条边进行分类组：一条长和一条宽为一组，一共分为两组，由此得出：长方形周长=(长+宽)×2。从两种表征的形成过程中可以看出：数量关系的两种表征都具有其特定的思维视角，各自从不同的角度揭示和反映数量之间的本质联系。结果的完善性与过程的独特性表明了这样一个基本事实：数量关系的原生态和精细化表征都具有的内在价值。而“内在的价值是无价之宝，无价之宝之间是不能比较的”。
从教学实际来看，数量关系的精细化表征既可以从具体情境中生成(直接构建)，也可以以已有的原生态表征为依托，通过引入一些数学元素加以间接构建。在笔者看来，这事实上既反映了两种表征之间具有一定的内在联系，同时也是对原生态表征内在价值的充分肯定。那种视原生态表征为“未完成品”，而精细化表征为“成品”的观念是错误的，错误的根源在于用比较而不是内在的观点看问题。
(二)工具价值的显现与比较
数量關系原生态表征与精细化表征的内在价值是不能比较的，但在特定的问题情境中，出于成功解决问题的需要，就必须对两者的价值(工具价值、实践价值或应用价值)进行理性的比较、判断与选择。
分析表明，数量关系的两种表征都具有独特的、无可替代的实践价值。我们不能因为原生态表征存在着一定的实践性局限而全盘否定。同样也不能因为精细化表征的普适性而推崇备至。那种视精细化表征为唯一恰当的表征式样以及实践中的“厚此薄彼”倾向无疑是错误的，其错误的根源在于忽视了数量关系表征在具体情境中的现实意义，游离于真实、具体的实践情境之外，抽象、孤立、片面地看问题。
三、原生态表征与精细化表征的互补和整合
数量关系表征从单一的精细化转向以两者并重，要求教师在教学实践中必须重视学生原生态的数量关系表征，但又不能让学生的认知发展停滞在“自发”水平，要及时引领学生由原生态表征向精细化表征提升。可以通过引导学生转换思维方式直接构建出精细化的数量关系表征(直接构建方式)，也可以引导学生运用已学过的数学定律、性质等对原生态表征进行形式化处理，从而逻辑推演出精细化的数量关系表征(间接构建方式)。就间接构建方式而言，教师必须注意的是，尽管学生经历了由原生态表征向精细化表征的逻辑推演过程，但并不意味着学生随之自然建立起与精细化表征相对应的数学方法，潜存着知识与方法“分离”的危险。这种“分离”状态不仅使精细化表征本身失去其问题解决中“最有效的利用”也是导致解决问题机械呆板的主要根源。因此，对于形式化推演出来的数量关系精细化表征，教师要及时引导学生将其与数学概念，直观图形联系起来综合考察，使学生发现、领悟和建立起与精细化表征相对应的数学思想方法，实现思维方式的转换，构建起精细化数量关系表征的完整意义。这样，在学生的脑海中，两种表征之间不再彼此互不相关，而是有机整合为同一概念心理表征的关系侧面，即“和而不同”。
从更高层面来看，坚持数量关系原生态表征与精细化表征两者并重，不仅仅是为了学生认知结构的完善，也不仅仅是为了解决某些具体问题，更重要的是为了学生智慧的生成与发展。经历这一过程，学生获得的不仅仅是问题的成功解决，而且深化了对两种数量关系表征的认识，更有价值的是增强了自主判断与选择的意识和能力，提高了思维的灵活性与创造性，只有如此，数学教学才能真正逼近其鹄的——“使人具有活跃的智慧”，数学学习才能真正成为“智慧之学”!