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摘要：《工程数学》是几乎所有专业，本、专科甚至更高学历教育结束阶段；都要结合本专业知识应用，而掌握的一门数学收官课程。《工程数学》的教材五花八门，实际工程数学是解决所有门类专业所共性的数学问题：方程或方程组未知数的求解。《工程数学》必须在先建模的基础上，而各专业的建模其实也是有相当多的共性的。《工程数学》定义为能解决文、史、理、工、医、经、法等各门类专业的系统问题，主要工具是《矩阵学（线性代数）》和《复变与积分变换（拉普拉斯）》知识；解决多变量条件下的未知数求解问题。通过上述认识，可以规划出《工程数学》的正确教学方法和系统解决问题的思路方向。
关键词： 工程数学 教学 实用解决专业问题 方法
【中图分类号】TP311.52 文献标识码： A 文章编号：
0引言：《工程数学》课程在很多专业教材上也直接命名为《复变函数与积分变换》，其实《工程数学》与《数学物理方程》也有很多共性；但严格意义上这两门课程并不是一个专业门类。工程数学不是针对某一专业门类的，而是用来解决物理、化工、机械、电气电子，包括生物医学和历史定理推导中实际问题的；通过数学方程建立并得出方程解，从而预判设计结果的一种方法；是一种具体专业具体建模的思维方法。积分变换只是目前解决高阶微分方程的一种数学手段，复变函数是积分变换的基础，同理高等数学又是复变函数的基础。目前本、专科教育专业最后阶段的复杂方程往往是高阶微积分方程，因此容易误认为《工程数学》就是《积分变换》，这显然是不对的。
学好和有效实用《工程数学》，首先需要找出各专业建立数学模型（一般就是方程或者方程组）的共性。专业方程不在数学范畴之中；但各专业方程建立的方法确是一种数学思维问题。方程（组）建立后找到系统的解法是《工程数学》的本质任务，在解方程时会有千变万化的求解方法是可行的。然而《工程数学》只需要找到这些方法的殊途同归的本质数学途径。认清这个思路，《工程数学》就是解决专业的一项利器。
1.建立数学物理方程的主要方法分析
当规划一门课程时，首先建立数学物理方程。其实是物理在先，数学在后。这里的物理是广义的，是指各学科事物客观存在的规律。数学论认为世间万物皆有规律，规律一定可以通过数学公式表达，或者说是方程组的建立。因此方程（组）的求解是《工程数学》的根本目的，方程（组）的建立是求解的先导。方程（组）建立错误，数学解法的精确也就失去了意义。因此不相关各专业的开设的《工程数学》课程都只是前半部分不同，后半部分基本都是《复变与积分变换》解方程的方法。虽然各专业研究的对象和方法不同，但是手段一致。先建立方程然后由数学方法求解。由于各专业的对象单位不同，很容易给人以迷惑的感觉：那就是不同的研究对象之间怎么能建立出方程。其实数学物理（泛指数理化医经等）方程建立的方法在每个专业上不尽相同，但共性在于它的单位虽多样，但基础纲量一致。方程列出后，数学解法种类一致。
科学界规定不分文工理医的自然物理纲量一共有六个：质量、长度、时间、电流、物质数量和发光强度。也就是不管专业门类的研究对象，最终可以在六个纲量的带领下，将所有的变量和未知解数统一到一个或一组方程中。更何况大多数方程并不能用到所有六个基础纲量。事物和事物之间存在规律则一定可以利用这些纲量将其统一在一个方程之内。例如下图，输入电压和输出电压的函数关系建立如果只是在电气专业上则比较简单。同时在建立方程时，往往有很多专业的方法或者窍门可以利用。例如整理电路方程组时有支路电流法、节点电压法、叠加法、戴维南等等；支路电流还分KCL或KVL等等各样方法。但是初学者不必可以去记忆这些窍门，其实类似于建方程时在千变万化的单位中只有六个基础纲量单位一样。每个专业的实在公式并不太多，如电路中主要是电压和电流的三种负载关系式。
因此此方程可化为二行方程组：
但是本题如果不是电工学，而是生物医学；则工程数学中电容应换成应换成心室电压，电阻可以换成心肌电学公式。
2. 自然界的物理方程的解法
从高中到大学乃至博士阶段，最少的专业也要学习三门以上数学课程。《高等数学》、《矩阵论》和《复变函数与积分变换》几乎是所有专业都要学的。其实归纳这些课程的核心，就是求解不同方程问题的方法。继续归纳方程解法，无非在于可以把针对截止目前为止，人们所解的方程分为多元、多次、多阶三类。本文之所以这样分类方程，也是针对每类的难点、特点，寻找方程和方程组的一种通用便于记忆和编程的数学方法。工程数学研究者在解方程时，应追求的是一种通用的方法，而不在乎其运算量的大小。因为对于计算机来说，运算量增大可以通过硬件的提高来实现，软件即程序方法不宜过于复杂。这里的复杂是指可以系统解决同一类问题，编程者便于记忆这类方法并变成一个问题专门函数的方法。有些解方程方法虽然简单，但是条件过多，或者论证麻烦。不是真正解方程的“简单”方法。
（1）多元方程主要是依靠矩阵学（线性代数）来解决。矩阵学对于很多人来说都在尽力找快捷的窍门，对于计算机只是运算量的增加。线性代数的初衷就是解决线性方程组，并论证了n元未知数至少需要n个独立方程求解。行列式关于多元方程的解决条件和方法也很规范化，这里不再赘述。
（2）多次方程主要也是依靠矩阵学来解决。通过简单的方法，任何多次方程都可以化为多元方程。如方程 可以设有n个解： （其中可能有重解） 。
则 方程一定成立。
即
即设 ，则可列n行方程组：
（一项和式）
（n项和式）
（共 项和式）
依次类推，可以讲一元n次方程化为n行n元一次方程组组合。以上一元多次方程化多元求解方程的方法仅限于整数n次方程，非整数方程这里不再推导。
（3）多阶微分和积分方程及组合方程的解法依靠拉氏变换及反变换。如上图中得到的电学一阶微积分方程组，只能利用积分变换求导。而组合的方程组，是指多元多次多阶。结合上述原理：一元多阶多次方程一定可以利用积分变换及降次法解决；而多元方程求解至少需要和元数一样多的独立方程构成组。
因此《工程数学》实际就是在物理方程建立后，利用专业数学知识解决未知数方程的一种方法。因为高阶方程比较主流，所有很多人误以为《积分变换》就是《工程数学》。其实是一种方程建立和解决的系统方法总称。
3.小结 《工程数学》本质就是在各专业数学建模时，提供一种解决数学物理方程的求解方法。也包含建模时，不同专业方程建立的共性数学思维。认清这两点，教学时阐述清晰，学习者和工程解题者会及其简单和有趣。
关键词： 工程数学 教学 实用解决专业问题 方法
【中图分类号】TP311.52 文献标识码： A 文章编号：
0引言：《工程数学》课程在很多专业教材上也直接命名为《复变函数与积分变换》，其实《工程数学》与《数学物理方程》也有很多共性；但严格意义上这两门课程并不是一个专业门类。工程数学不是针对某一专业门类的，而是用来解决物理、化工、机械、电气电子，包括生物医学和历史定理推导中实际问题的；通过数学方程建立并得出方程解，从而预判设计结果的一种方法；是一种具体专业具体建模的思维方法。积分变换只是目前解决高阶微分方程的一种数学手段，复变函数是积分变换的基础，同理高等数学又是复变函数的基础。目前本、专科教育专业最后阶段的复杂方程往往是高阶微积分方程，因此容易误认为《工程数学》就是《积分变换》，这显然是不对的。
学好和有效实用《工程数学》，首先需要找出各专业建立数学模型（一般就是方程或者方程组）的共性。专业方程不在数学范畴之中；但各专业方程建立的方法确是一种数学思维问题。方程（组）建立后找到系统的解法是《工程数学》的本质任务，在解方程时会有千变万化的求解方法是可行的。然而《工程数学》只需要找到这些方法的殊途同归的本质数学途径。认清这个思路，《工程数学》就是解决专业的一项利器。
1.建立数学物理方程的主要方法分析
当规划一门课程时，首先建立数学物理方程。其实是物理在先，数学在后。这里的物理是广义的，是指各学科事物客观存在的规律。数学论认为世间万物皆有规律，规律一定可以通过数学公式表达，或者说是方程组的建立。因此方程（组）的求解是《工程数学》的根本目的，方程（组）的建立是求解的先导。方程（组）建立错误，数学解法的精确也就失去了意义。因此不相关各专业的开设的《工程数学》课程都只是前半部分不同，后半部分基本都是《复变与积分变换》解方程的方法。虽然各专业研究的对象和方法不同，但是手段一致。先建立方程然后由数学方法求解。由于各专业的对象单位不同，很容易给人以迷惑的感觉：那就是不同的研究对象之间怎么能建立出方程。其实数学物理（泛指数理化医经等）方程建立的方法在每个专业上不尽相同，但共性在于它的单位虽多样，但基础纲量一致。方程列出后，数学解法种类一致。
科学界规定不分文工理医的自然物理纲量一共有六个：质量、长度、时间、电流、物质数量和发光强度。也就是不管专业门类的研究对象，最终可以在六个纲量的带领下，将所有的变量和未知解数统一到一个或一组方程中。更何况大多数方程并不能用到所有六个基础纲量。事物和事物之间存在规律则一定可以利用这些纲量将其统一在一个方程之内。例如下图，输入电压和输出电压的函数关系建立如果只是在电气专业上则比较简单。同时在建立方程时，往往有很多专业的方法或者窍门可以利用。例如整理电路方程组时有支路电流法、节点电压法、叠加法、戴维南等等；支路电流还分KCL或KVL等等各样方法。但是初学者不必可以去记忆这些窍门，其实类似于建方程时在千变万化的单位中只有六个基础纲量单位一样。每个专业的实在公式并不太多，如电路中主要是电压和电流的三种负载关系式。
因此此方程可化为二行方程组：
但是本题如果不是电工学，而是生物医学；则工程数学中电容应换成应换成心室电压，电阻可以换成心肌电学公式。
2. 自然界的物理方程的解法
从高中到大学乃至博士阶段，最少的专业也要学习三门以上数学课程。《高等数学》、《矩阵论》和《复变函数与积分变换》几乎是所有专业都要学的。其实归纳这些课程的核心，就是求解不同方程问题的方法。继续归纳方程解法，无非在于可以把针对截止目前为止，人们所解的方程分为多元、多次、多阶三类。本文之所以这样分类方程，也是针对每类的难点、特点，寻找方程和方程组的一种通用便于记忆和编程的数学方法。工程数学研究者在解方程时，应追求的是一种通用的方法，而不在乎其运算量的大小。因为对于计算机来说，运算量增大可以通过硬件的提高来实现，软件即程序方法不宜过于复杂。这里的复杂是指可以系统解决同一类问题，编程者便于记忆这类方法并变成一个问题专门函数的方法。有些解方程方法虽然简单，但是条件过多，或者论证麻烦。不是真正解方程的“简单”方法。
（1）多元方程主要是依靠矩阵学（线性代数）来解决。矩阵学对于很多人来说都在尽力找快捷的窍门，对于计算机只是运算量的增加。线性代数的初衷就是解决线性方程组，并论证了n元未知数至少需要n个独立方程求解。行列式关于多元方程的解决条件和方法也很规范化，这里不再赘述。
（2）多次方程主要也是依靠矩阵学来解决。通过简单的方法，任何多次方程都可以化为多元方程。如方程 可以设有n个解： （其中可能有重解） 。
则 方程一定成立。
即
即设 ，则可列n行方程组：
（一项和式）
（n项和式）
（共 项和式）
依次类推，可以讲一元n次方程化为n行n元一次方程组组合。以上一元多次方程化多元求解方程的方法仅限于整数n次方程，非整数方程这里不再推导。
（3）多阶微分和积分方程及组合方程的解法依靠拉氏变换及反变换。如上图中得到的电学一阶微积分方程组，只能利用积分变换求导。而组合的方程组，是指多元多次多阶。结合上述原理：一元多阶多次方程一定可以利用积分变换及降次法解决；而多元方程求解至少需要和元数一样多的独立方程构成组。
因此《工程数学》实际就是在物理方程建立后，利用专业数学知识解决未知数方程的一种方法。因为高阶方程比较主流，所有很多人误以为《积分变换》就是《工程数学》。其实是一种方程建立和解决的系统方法总称。
3.小结 《工程数学》本质就是在各专业数学建模时，提供一种解决数学物理方程的求解方法。也包含建模时，不同专业方程建立的共性数学思维。认清这两点，教学时阐述清晰，学习者和工程解题者会及其简单和有趣。