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一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1. 若集合M={y|y=3-x},P={y|y=3x-3}, 则M∩P=
2. a<0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的 条件.
3. 复数1-i(1+i)2(i是虚数单位)的虚部为
4. 在等比数列{an}中,已知a1a3a11=8,那么a2a8=
5. 已知tanα=cosα,那么sinα=
6. 若向量a,b满足|a|=1,|b|=2且a与b的夹角为π3,则|a+b|=
7. 执行下边的程序框图,若p=0.8,则输出的n=
8. 如下图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图,样本容量n=300. 若成绩在60分以上(含60分)为及格,则样本中本次考试及格人数是
第8题图
9. 在区间\上随机取一个数x,cosπ2的值介于0到12之间的概率为 .
10. 已知函数f(x)=ax-1+b1-x2,其中a∈{0,1},b∈{1,2},则使得f(x)>0在x∈\上有解的概率为
11. 若实数x,y满足x≤1,|y|≤x,x2+y2-4x+2≥0,在平面直角坐标系中,此不等式组表示的平面区域的面积是
12.已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+1.若a为整数,且函数f(x)在(-2,-1)内恰有一个零点,则a的值为 .
13. 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形,设P为该椭圆上的动点,C、D的坐标分别是(-2,0),(2,0),则PC•PD的最大值为
14. 已知实数x、s、t满足:8x+9t=s,且x>-s,则x2+(s+t)x+st+1x+t的最小值为 .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(本小题满分14分)
已知点A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ).
(1)若|AC|=|BC|,求tanθ的值;
(2)若(OA+2OB)•OC=1,其中O为坐标原点,求sin2θ的值
16.(本小题满分14分)
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱AD、AB的中点.
(1)求证:EF∥平面CB1D1;
(2)求证:平面CAA1C1⊥平面CB1D1;
(3)如果AB=1,一个动点从点F出发在正方体的
表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点,最终又回到点F,指出整个路线长度的最小值并说明理由.
17.(本小题满分14分)
经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计),旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)=4+1t,人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)=115-|t-15|.
(Ⅰ)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30,t∈N)的函数关系式;
(Ⅱ)求该城市旅游日收益的最小值(万元).
18.(本小题满分16分)
如图,已知A,B是中心在原点O,焦点在x轴上,离心率e=12的椭圆的左顶点和上顶点,F1,F2是左、右焦点,点P在椭圆上,且在x轴上方,PF2垂直于x轴,△ABP的面积为32(3-1).
(1)求椭圆方程;
(2)我们把以O为圆心,OA为半径的圆称为“椭圆的大圆”.若直线m是椭圆的左准线,Q是直线m上一动点,以Q为圆心,且经过F2的圆与该椭圆的大圆相交于M,N两点,求证:直线MN过一定点,并求出定点坐标;
(3)在(2)中,若将条件“直线m是椭圆的左准线”改为“直线m过A点且平行于椭圆的准线”,是否有类似的结论?根据你的推理,给出一个更为一般的结论(无需证明).
第18题图
19.(本小题满分16分)
已知数列{an}是以d为公差的等差数列,数列{bn}是以q为公比的等比数列.
(Ⅰ)若数列{bn}的前n项和为Sn,且a1=b1=d=2,S3 (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,试问数列{bn}中是否存在一项bk,使得bk恰好可以表示为该数列中连续p(p∈N,p≥2)项的和?请说明理由;
20.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=ax3+|x-a|(a∈R).
(1)给出一个实数a,使得函数f(x)在(-∞,0]上单调减,在[0,+∞)上单调增.
(2)若0 (3)求证:对任意的实数a,存在x0,恒有f(x0)≠0,并求出符合该特征的x0的取值范围.
附加题部分
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
21.[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A.(选修4—1:几何证明选讲)
如图,已知OA、OB是⊙O的半径,且OA⊥OB,P是线段OA上一点,直线BP交⊙O于点Q,过Q作⊙O的切线交直线OA于点E,
求证:∠OBP+∠AQE=45°.
B.(选修4—2:矩阵与变换)
给定矩阵 A=2 13 0,求A的特征值λ1、λ2 及对应的特征向量a1、a2 .
C.(选修4—4:坐标系与参数方程)
已知直线l的参数方程:x=ty=1+2t(t为参数)和圆C的极坐标方程:ρ=22sin(θ+π4).
(Ⅰ)将直线l的参数方程化为普通方程,圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)判断直线l和圆C的位置关系.
D.(选修4—5:不等式选讲)
已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|. 若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a,b∈R)恒成立,求实数x的范围.
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22.(本小题满分10分)
如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD四边长为1的菱形,∠ABC=π4, OA⊥底面ABCD, OA=2,M为OA的中点.
(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离.
23. (本小题满分10分)
点Pn(xn,yn)在曲线C:y=e-x上,曲线C在Pn处的切线ln与x轴相交于点Qn(xn+1,0),直线tn+1:x=xn+1与曲线C相交于点Pn+1(xn+1,yn+1),(n=1,2,3,…).由曲线C和直线ln,tn+1围成的图形面积记为Sn,已知x1=1.
(1)证明:xn+1=xn+1;
(2)求Sn关于n的表达式;
(3)若数列{Sn}的前n项之和为Tn,
求证:Tn+1Tn
参考答案
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1.{y|y>0}
2. 充分不必要
3. -12
4. 4
5. -1+52
6. 7
7. 3
8. 120
9. 13
10. 12
11. 2-π2
12. -1
13. 4
14. 6
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.解:⑴∵A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ)
∴AC=(2sinθ-1,cosθ),BC=(2sinθ,cosθ-1)∵|AC|=|BC|∴(2sinθ-1)2+cos2θ=4sin2θ+(cosθ-1)2
∴2sinθ=cosθ,∵cosθ≠0,∴tanθ=12
(2)∵OA=(1,0),OB=(0,1),OC=(2sinθ,cosθ)
∴OA+2OB=(1,2),∵(OA+2OB)•OC=1
∴2sinθ+2cosθ=1,∴sinθ+cosθ=12,
∴(sinθ+cosθ)2=14,∴sin2θ=-34
16.(1)证明:连结BD.
在正方体AC1中,对角线BD//B1D1.
又∵E、F为棱AD、AB的中点,
∴EF∥BD.
∴EF∥B1D1.
又B1D1平面CB1D1,EF平面CB1D1,
∴ EF∥平面CB1D1.
(2)证明:∵ 在正方体AC1中,AA1⊥平面A1B1C1D1,
而B1D1平面A1B1C1D1,
∴ AA1⊥B1D1.
又∵在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,
∴ B1D1⊥平面CAA1C1.
又∵ B1D1平面CB1D1,
∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1.
(3)最小值为 32.
如图,将正方体六个面展开成平面图形,从图中F到F,两点之间线段最短,而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点,所求的最小值为 32.
17.解:(Ⅰ)由题意得,w(t)=f(t)•g(t)=(4+1t)(115-|t-15|)
(Ⅱ)因为w(t)=(4+1t)(t+100),(1≤t<15,t∈N*)(4+1t)(130-t),(15≤t≤30,t∈N*)
①当1≤t<15时,w(t)=(4+1t)(t+100)=4(t+25t)+401≥4×225+401=441
当且仅当t=25t,即t=5时取等号
②当15≤t≤30时,w(t)=(4+1t)(130-t)=519+(130t-4t),可证w(t)在t∈[15,30]上单调递减,所以当t=30时,w(t)取最小值为40313
由于40313<441,所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元
答:该城市旅游日收益的最小值为40313万元.
18. 解:(1)∵e=ca=12,则a=2c,b=3c,
∴可设椭圆方程为x24c2+y23c2=1(c>0)
由A(-2c,0),B(0,3c),P(c,3c2),
则直线AP方程:y=12(x+2c),令x=0得y=c,
SΔABP=12×(3c-c)•(c+2c)=3(3-1)2c2=3(3-1)2,
则c=1,
则椭圆方程为x24+y23=1;
(2)依题意,直线m的方程:x=-4,
设Q(-4,t),F2(1,0),
则圆Q:(x+4)2+(y-t)2=25+t2,
又圆O的方程:x2+y2=4
两式相减,得直线MN的方程:8x-2ty-5=0,
显然,直线MN过定点(58,0)
(3)当直线m的方程变为:x=-2,
设Q(-2,t),F2(1,0),
则圆Q:(x+2)2+(y-t)2=9+t2,
又圆O的方程:x2+y2=4
两式相减,得直线MN的方程:4x-2ty-1=0,
显然,直线MN过定点(14,0);
推广(1):若直线m平行于椭圆的准线,Q是直线m上一动点,且以Q为圆心,且经过F2的圆与该椭圆的大圆相交于M,N两点,则直线MN过x轴上一定点;
推广(2):若Q是一条定直线m上一动点,且以Q为圆心,且经过F2的圆与该椭圆的大圆相交于M,N两点,则直线MN过一定点.
(注:只要求写出一种推广,且不要求在推广结果中算出定点坐标.)
19.解:(Ⅰ)由题意知,an=2n,bn=2•qn-1,所以由S3 得b1+b2+b3 解得1 (Ⅱ)假设数列{bn}中存在一项bk,满足bk=bm+bm+1+bm+2+…+bm+p-1,
因为bn=2n,∴bk>bm+p-12k>2m+p-1k>m+p-1k≥m+p(*)
又bk=2k=bm+bm+1+bm+2+…+bm+p-1=2m+2m+1+…+2m+p-1=2m(2p-1)2-1
=2m+p-2m<2m+p,所以k 所以,这样的项bk不存在.
20.解:(1)当a=0时,f(x)=|x|符合要求
(2)若0 当x 当x>a时,f′(x)=3ax2+1,
①当0 ②当13 在[-13a,a]上单调减,在[a,1]上单调增,
由于f(-13a)>f(-1)=f(1),
则在[-1,1]上f(x)max=f(-13a)=a+2313a;
③当313 在[-13a,13a]上单调减,在[13a,a]上单调增,在[a,1]上单调增,
则在[-1,1]上f(x)max=f(-13a)=a+2313a;
综合①②③有:
当0 当13 (3)(Ⅰ)当a=0时,f(x)=|x|,方程f(x)=|x|=0只有0根;
(Ⅱ)当a>0时,方程f(x)=ax3+|x-a|=0没有0根和正根,
当a>0,x<0时,f(x)=ax3-x+a,
由方程f(x)=ax3-x+a=0得a=xx3+1,
则x<0a=xx3+1>0 x3+1<0,得x<-1;
(Ⅱ)当a<0时,方程f(x)=ax3+|x-a|=0没有0根和负根,
当a<0,x>0时,f(x)=ax3+x-a,
由方程f(x)=ax3+x-a=0得a=-xx3-1,
则x>0a=-xx3-1<0 x3-1>0,得x>1;
综上可知,对任意的实数a,存在x0∈[-1,0)∪(0,1],恒有f(x0)≠0.
注:本题也可以用数形结合的思想来做.
当a=0时,f(x)=|x|,方程f(x)=|x|=0只有0根;
当a>0时,方程f(x)=ax3+|x-a|=0要有解也只能是负解,
f(x)=ax3-x+a=0即x3+1=1ax,用数形结合(图1)寻找负解,
发现二曲线交点横坐标x<-1;
当a<0时,方程f(x)=ax3+|x-a|=0要有解也只能是正解,
f(x)=ax3+x-a=0即x3-1=-1ax,用数形结合(图2)寻找正
解,发现二曲线交点横坐标x>1;以下同上
图1 图2
附加题部分
21.A.解:证:连结AB,则∠AQE=∠ABP, 而OA=OB,所以∠ABO=45°
所以∠OBP+∠AQE=∠OBP+∠ABP=∠ABO=45°
B.解:设A的一个特征值为λ,由题意知:
λ-2 -1-3 λ=0,所以(λ-2)•λ-3=0,即λ1=-1.λ2=3
当λ1=-1时,由2 13 0xy=-1xy,得A属于特征值-1的特征向量a1=1-3
当λ2=3时,由2 13 0xy=3xy,得A属于特征值3的特征向量a2=11
C.解:(Ⅰ)消去参数t,得直线l的普通方程为y=2x+1
ρ=22(sinθ+π4)即ρ=2(sinθ+cosθ),两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ),
消去参数θ,得⊙C的直角坐标方程为:(x-1)2+(x-1)2=2
(Ⅱ)圆心C到直线l的距离d=|2-1+1|22+12=255<2,所以直线l和⊙C相交
D.解:由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)|,且a≠0,得|a+b|+|a-b||a|≥f(x)
又因为|a+b|+|a-b||a|≥|a+b+a-b||a|=2,则有2≥f(x)
解不等式|x-1|+|x-2|≤2,得12≤x≤52
22.解: 作AP⊥CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z建立坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,22,0),D(-22,22,0),O(0,0,2),M(0,0,1)
(Ⅰ)设AB与MD所成的角为θ,∵AB=(1,0,0),MD=(-22,22,-1),
∴cosθ=|AB•MD||AB|•|MD|=12,∴θ=π3 , ∴AB与MD所成角的大小为π3
(Ⅱ)∵OP=(0,22,-2),OD=(-22,22,-2),
∴设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),
则n•OP=0,n•OD=0,即 22y-2z=0-22x+22y-2z=0 ,
取z=2,解得n=(0,4,2).
设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量
n=(0,4,2)上的投影的绝对值,
∵OB=(1,0,-2), ∴d=|OB•n||n|=23,故点B到平面OCD的距离为23
23.(Ⅰ)证明:因为y=e-x,所以y′=-e-x,则切线ln的斜率kn=-e-xn,所以切线ln的方程
为y-yn=-e-xn(x-xn),令y=0,得xQn=xn+1,即xn+1=xn+1
(Ⅱ)解:因为x1=1,所以xn=n,
所以Sn=∫xn+1xne-xdx-12(xn+1-xn)•yn=(-e-x)|n+1n-12×e-n=(e-2)e-n2e
(Ⅲ)证明:因为Tn=(e-2)2e(e-1+e-2+•••+e-n)=e-22e(e-1)(1-e-n),
所以Tn+1Tn=1-e-n-11-e-n=en+1-1en+1-e=1+e-1en+1-e,又xn+1xn=n+1n=1+1n,
故要证Tn+1Tn(e-1)n+e
下用数学归纳法(或用二项式定理,或利用函数的单调性)等方法来
证明en+1>(e-1)n+e(略)
1. 若集合M={y|y=3-x},P={y|y=3x-3}, 则M∩P=
2. a<0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的 条件.
3. 复数1-i(1+i)2(i是虚数单位)的虚部为
4. 在等比数列{an}中,已知a1a3a11=8,那么a2a8=
5. 已知tanα=cosα,那么sinα=
6. 若向量a,b满足|a|=1,|b|=2且a与b的夹角为π3,则|a+b|=
7. 执行下边的程序框图,若p=0.8,则输出的n=
8. 如下图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图,样本容量n=300. 若成绩在60分以上(含60分)为及格,则样本中本次考试及格人数是
第8题图
9. 在区间\上随机取一个数x,cosπ2的值介于0到12之间的概率为 .
10. 已知函数f(x)=ax-1+b1-x2,其中a∈{0,1},b∈{1,2},则使得f(x)>0在x∈\上有解的概率为
11. 若实数x,y满足x≤1,|y|≤x,x2+y2-4x+2≥0,在平面直角坐标系中,此不等式组表示的平面区域的面积是
12.已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+1.若a为整数,且函数f(x)在(-2,-1)内恰有一个零点,则a的值为 .
13. 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形,设P为该椭圆上的动点,C、D的坐标分别是(-2,0),(2,0),则PC•PD的最大值为
14. 已知实数x、s、t满足:8x+9t=s,且x>-s,则x2+(s+t)x+st+1x+t的最小值为 .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(本小题满分14分)
已知点A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ).
(1)若|AC|=|BC|,求tanθ的值;
(2)若(OA+2OB)•OC=1,其中O为坐标原点,求sin2θ的值
16.(本小题满分14分)
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱AD、AB的中点.
(1)求证:EF∥平面CB1D1;
(2)求证:平面CAA1C1⊥平面CB1D1;
(3)如果AB=1,一个动点从点F出发在正方体的
表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点,最终又回到点F,指出整个路线长度的最小值并说明理由.
17.(本小题满分14分)
经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计),旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)=4+1t,人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)=115-|t-15|.
(Ⅰ)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30,t∈N)的函数关系式;
(Ⅱ)求该城市旅游日收益的最小值(万元).
18.(本小题满分16分)
如图,已知A,B是中心在原点O,焦点在x轴上,离心率e=12的椭圆的左顶点和上顶点,F1,F2是左、右焦点,点P在椭圆上,且在x轴上方,PF2垂直于x轴,△ABP的面积为32(3-1).
(1)求椭圆方程;
(2)我们把以O为圆心,OA为半径的圆称为“椭圆的大圆”.若直线m是椭圆的左准线,Q是直线m上一动点,以Q为圆心,且经过F2的圆与该椭圆的大圆相交于M,N两点,求证:直线MN过一定点,并求出定点坐标;
(3)在(2)中,若将条件“直线m是椭圆的左准线”改为“直线m过A点且平行于椭圆的准线”,是否有类似的结论?根据你的推理,给出一个更为一般的结论(无需证明).
第18题图
19.(本小题满分16分)
已知数列{an}是以d为公差的等差数列,数列{bn}是以q为公比的等比数列.
(Ⅰ)若数列{bn}的前n项和为Sn,且a1=b1=d=2,S3
20.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=ax3+|x-a|(a∈R).
(1)给出一个实数a,使得函数f(x)在(-∞,0]上单调减,在[0,+∞)上单调增.
(2)若0
附加题部分
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
21.[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A.(选修4—1:几何证明选讲)
如图,已知OA、OB是⊙O的半径,且OA⊥OB,P是线段OA上一点,直线BP交⊙O于点Q,过Q作⊙O的切线交直线OA于点E,
求证:∠OBP+∠AQE=45°.
B.(选修4—2:矩阵与变换)
给定矩阵 A=2 13 0,求A的特征值λ1、λ2 及对应的特征向量a1、a2 .
C.(选修4—4:坐标系与参数方程)
已知直线l的参数方程:x=ty=1+2t(t为参数)和圆C的极坐标方程:ρ=22sin(θ+π4).
(Ⅰ)将直线l的参数方程化为普通方程,圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)判断直线l和圆C的位置关系.
D.(选修4—5:不等式选讲)
已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|. 若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a,b∈R)恒成立,求实数x的范围.
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22.(本小题满分10分)
如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD四边长为1的菱形,∠ABC=π4, OA⊥底面ABCD, OA=2,M为OA的中点.
(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离.
23. (本小题满分10分)
点Pn(xn,yn)在曲线C:y=e-x上,曲线C在Pn处的切线ln与x轴相交于点Qn(xn+1,0),直线tn+1:x=xn+1与曲线C相交于点Pn+1(xn+1,yn+1),(n=1,2,3,…).由曲线C和直线ln,tn+1围成的图形面积记为Sn,已知x1=1.
(1)证明:xn+1=xn+1;
(2)求Sn关于n的表达式;
(3)若数列{Sn}的前n项之和为Tn,
求证:Tn+1Tn
参考答案
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1.{y|y>0}
2. 充分不必要
3. -12
4. 4
5. -1+52
6. 7
7. 3
8. 120
9. 13
10. 12
11. 2-π2
12. -1
13. 4
14. 6
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.解:⑴∵A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ)
∴AC=(2sinθ-1,cosθ),BC=(2sinθ,cosθ-1)∵|AC|=|BC|∴(2sinθ-1)2+cos2θ=4sin2θ+(cosθ-1)2
∴2sinθ=cosθ,∵cosθ≠0,∴tanθ=12
(2)∵OA=(1,0),OB=(0,1),OC=(2sinθ,cosθ)
∴OA+2OB=(1,2),∵(OA+2OB)•OC=1
∴2sinθ+2cosθ=1,∴sinθ+cosθ=12,
∴(sinθ+cosθ)2=14,∴sin2θ=-34
16.(1)证明:连结BD.
在正方体AC1中,对角线BD//B1D1.
又∵E、F为棱AD、AB的中点,
∴EF∥BD.
∴EF∥B1D1.
又B1D1平面CB1D1,EF平面CB1D1,
∴ EF∥平面CB1D1.
(2)证明:∵ 在正方体AC1中,AA1⊥平面A1B1C1D1,
而B1D1平面A1B1C1D1,
∴ AA1⊥B1D1.
又∵在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,
∴ B1D1⊥平面CAA1C1.
又∵ B1D1平面CB1D1,
∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1.
(3)最小值为 32.
如图,将正方体六个面展开成平面图形,从图中F到F,两点之间线段最短,而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点,所求的最小值为 32.
17.解:(Ⅰ)由题意得,w(t)=f(t)•g(t)=(4+1t)(115-|t-15|)
(Ⅱ)因为w(t)=(4+1t)(t+100),(1≤t<15,t∈N*)(4+1t)(130-t),(15≤t≤30,t∈N*)
①当1≤t<15时,w(t)=(4+1t)(t+100)=4(t+25t)+401≥4×225+401=441
当且仅当t=25t,即t=5时取等号
②当15≤t≤30时,w(t)=(4+1t)(130-t)=519+(130t-4t),可证w(t)在t∈[15,30]上单调递减,所以当t=30时,w(t)取最小值为40313
由于40313<441,所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元
答:该城市旅游日收益的最小值为40313万元.
18. 解:(1)∵e=ca=12,则a=2c,b=3c,
∴可设椭圆方程为x24c2+y23c2=1(c>0)
由A(-2c,0),B(0,3c),P(c,3c2),
则直线AP方程:y=12(x+2c),令x=0得y=c,
SΔABP=12×(3c-c)•(c+2c)=3(3-1)2c2=3(3-1)2,
则c=1,
则椭圆方程为x24+y23=1;
(2)依题意,直线m的方程:x=-4,
设Q(-4,t),F2(1,0),
则圆Q:(x+4)2+(y-t)2=25+t2,
又圆O的方程:x2+y2=4
两式相减,得直线MN的方程:8x-2ty-5=0,
显然,直线MN过定点(58,0)
(3)当直线m的方程变为:x=-2,
设Q(-2,t),F2(1,0),
则圆Q:(x+2)2+(y-t)2=9+t2,
又圆O的方程:x2+y2=4
两式相减,得直线MN的方程:4x-2ty-1=0,
显然,直线MN过定点(14,0);
推广(1):若直线m平行于椭圆的准线,Q是直线m上一动点,且以Q为圆心,且经过F2的圆与该椭圆的大圆相交于M,N两点,则直线MN过x轴上一定点;
推广(2):若Q是一条定直线m上一动点,且以Q为圆心,且经过F2的圆与该椭圆的大圆相交于M,N两点,则直线MN过一定点.
(注:只要求写出一种推广,且不要求在推广结果中算出定点坐标.)
19.解:(Ⅰ)由题意知,an=2n,bn=2•qn-1,所以由S3
因为bn=2n,∴bk>bm+p-12k>2m+p-1k>m+p-1k≥m+p(*)
又bk=2k=bm+bm+1+bm+2+…+bm+p-1=2m+2m+1+…+2m+p-1=2m(2p-1)2-1
=2m+p-2m<2m+p,所以k
20.解:(1)当a=0时,f(x)=|x|符合要求
(2)若0
①当0
由于f(-13a)>f(-1)=f(1),
则在[-1,1]上f(x)max=f(-13a)=a+2313a;
③当313
则在[-1,1]上f(x)max=f(-13a)=a+2313a;
综合①②③有:
当0
(Ⅱ)当a>0时,方程f(x)=ax3+|x-a|=0没有0根和正根,
当a>0,x<0时,f(x)=ax3-x+a,
由方程f(x)=ax3-x+a=0得a=xx3+1,
则x<0a=xx3+1>0 x3+1<0,得x<-1;
(Ⅱ)当a<0时,方程f(x)=ax3+|x-a|=0没有0根和负根,
当a<0,x>0时,f(x)=ax3+x-a,
由方程f(x)=ax3+x-a=0得a=-xx3-1,
则x>0a=-xx3-1<0 x3-1>0,得x>1;
综上可知,对任意的实数a,存在x0∈[-1,0)∪(0,1],恒有f(x0)≠0.
注:本题也可以用数形结合的思想来做.
当a=0时,f(x)=|x|,方程f(x)=|x|=0只有0根;
当a>0时,方程f(x)=ax3+|x-a|=0要有解也只能是负解,
f(x)=ax3-x+a=0即x3+1=1ax,用数形结合(图1)寻找负解,
发现二曲线交点横坐标x<-1;
当a<0时,方程f(x)=ax3+|x-a|=0要有解也只能是正解,
f(x)=ax3+x-a=0即x3-1=-1ax,用数形结合(图2)寻找正
解,发现二曲线交点横坐标x>1;以下同上
图1 图2
附加题部分
21.A.解:证:连结AB,则∠AQE=∠ABP, 而OA=OB,所以∠ABO=45°
所以∠OBP+∠AQE=∠OBP+∠ABP=∠ABO=45°
B.解:设A的一个特征值为λ,由题意知:
λ-2 -1-3 λ=0,所以(λ-2)•λ-3=0,即λ1=-1.λ2=3
当λ1=-1时,由2 13 0xy=-1xy,得A属于特征值-1的特征向量a1=1-3
当λ2=3时,由2 13 0xy=3xy,得A属于特征值3的特征向量a2=11
C.解:(Ⅰ)消去参数t,得直线l的普通方程为y=2x+1
ρ=22(sinθ+π4)即ρ=2(sinθ+cosθ),两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ),
消去参数θ,得⊙C的直角坐标方程为:(x-1)2+(x-1)2=2
(Ⅱ)圆心C到直线l的距离d=|2-1+1|22+12=255<2,所以直线l和⊙C相交
D.解:由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)|,且a≠0,得|a+b|+|a-b||a|≥f(x)
又因为|a+b|+|a-b||a|≥|a+b+a-b||a|=2,则有2≥f(x)
解不等式|x-1|+|x-2|≤2,得12≤x≤52
22.解: 作AP⊥CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z建立坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,22,0),D(-22,22,0),O(0,0,2),M(0,0,1)
(Ⅰ)设AB与MD所成的角为θ,∵AB=(1,0,0),MD=(-22,22,-1),
∴cosθ=|AB•MD||AB|•|MD|=12,∴θ=π3 , ∴AB与MD所成角的大小为π3
(Ⅱ)∵OP=(0,22,-2),OD=(-22,22,-2),
∴设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),
则n•OP=0,n•OD=0,即 22y-2z=0-22x+22y-2z=0 ,
取z=2,解得n=(0,4,2).
设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量
n=(0,4,2)上的投影的绝对值,
∵OB=(1,0,-2), ∴d=|OB•n||n|=23,故点B到平面OCD的距离为23
23.(Ⅰ)证明:因为y=e-x,所以y′=-e-x,则切线ln的斜率kn=-e-xn,所以切线ln的方程
为y-yn=-e-xn(x-xn),令y=0,得xQn=xn+1,即xn+1=xn+1
(Ⅱ)解:因为x1=1,所以xn=n,
所以Sn=∫xn+1xne-xdx-12(xn+1-xn)•yn=(-e-x)|n+1n-12×e-n=(e-2)e-n2e
(Ⅲ)证明:因为Tn=(e-2)2e(e-1+e-2+•••+e-n)=e-22e(e-1)(1-e-n),
所以Tn+1Tn=1-e-n-11-e-n=en+1-1en+1-e=1+e-1en+1-e,又xn+1xn=n+1n=1+1n,
故要证Tn+1Tn
下用数学归纳法(或用二项式定理,或利用函数的单调性)等方法来
证明en+1>(e-1)n+e(略)