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摘要 《积分变换与复变函数》是高等数学的后续课程，是高等数学知识体系在复数域的推广，其特点是概念抽象、推导巧妙、计算繁杂。在一般本科学校的教学实践中普遍存在学生“畏难”，学习主动性差、考试通过率低等问题。本文就《复变函数与积分变换》课程的教学改革作一些初步的探讨，将“线上教学”与传统的“线下教学”进行有机结合，充分利用线上教学的灵活便利性与线下教学在“课堂管理”、“教学效果反馈”等方面的优势，提高教学效果。
关键字： 复变函数;积分变换;线上教学;线下教学;混合教学
分类号：S857.2-4;G434
《积分变换与复变函数》是高等数学的后续课程，是高等数学知识体系在复数域的推广，其理论和方法在空气动力学、电气工程、通信与控制、信号分析、图像处理等自然科学和工程科学的许多领域有着广泛的应用，为解决诸如流体动力学、电磁学、热学、振动学、弹性理论、频谱分析中的实际问题提供了有力工具。正是由于《积分变换与复变函数》在解决实际问题中的重要作用，其内容已成为高等学校理工科专业学生必修的一门基础课。该课程的主要思想是利用复变函数和积分变换的理论和方法解决微分方程、数学物理方程等实际问题，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力。《积分变换与复变函数》课程的特点是内容抽象、逻辑性强、推导巧妙、计算繁杂。另外，作为《高等数学》的后续课程，对《高等数学》相关知识的掌握情况要求较高。以厦门理工学院该课程的教学实际情况来看，学生中普遍存在学习兴趣不高，积极主动差、考试通过率较低等情况。如何培养学生的学习兴趣，促进学生的学习主动性，提高教学效果已经是摆在广大《积分变换与复变函数》授课教师面前的一道难题。本文将从一下几个方面就《积分变换与复变函数》课程的教学改革做一些初步的探讨：线上、线下教学各自的优缺点分析，借助线上教学的优势、助力线下教学以及如何在实际教学中开展线上、线下混合教学。
一、线上、线下教学的优缺点分析
作为传统的教学方式，线下教学具有明显的优势：首先，师生之间，学生之间可以进行及时的交流互动，及时的互动能够更有效地引导和激励学生积极进行思考;其次，线下教学使得老师、学生同处一个教学空间，教师可以更好地监督学生的学习，也可以根据学生的课堂表现及时调整教学内容或方法，放缓或加快教学节奏，对重点、难点知识进行侧重教学;最后，在线下教学中，优秀学生的表现能起到“引领”作用，使得整个课堂呈现出“争先恐后”、“你追我赶”的学习状态，营造出良好的学习氛围。同时，线下教学也具有如下缺点：一是“时间、地点”固定，学生无法根据自身情况安排学习过程，二是教学过程以教师主动讲授和学生的被动反应为主要特征，教师以“填鸭式”、“满堂灌”的方式实现知识的传播，往往过于强调教师的主导地位而忽视学生的主体地位，无法发挥学生学习的主观能动性;三是线下教学按照统一的教学内容、教学进度安排教学活动，这种标准化的教学无法满足學生的个性化要求，严重束缚了学生学习的积极性、主动性和创造性;
随着线上教学的深入开展，学校、教室已经不是学习的唯一场所，互联网为教育教学提供了多种可能。作为一种新的教学模式，线上教学除了能给学生带来新鲜感和吸引力之外，更有着前者不可比拟的优势。首先，线上教学行为不受时间和空间的限制，可以实现片段化教学，学生随时可以利用空余时间进行在线学习;其次，学生可以自主把握学习的节奏，可以根据自身的时间情况，合理安排学习时间，实现个性化教学。线上教学虽然是直播，但是所采用的教学平台一般有录播的功能，学生随时可以中断学习过程，并利用平台录播的视频进行二次学习，另外，对于重难点问题，学生可以利用回看功能，反复进行学习;三是教学资源的收集展示更加灵活。线上教学依托互联网平台，网络上教学资源丰富多元，更加有利于优质资源的收集、整理。与此同时，线上教学也有其自身的不足之处。首先，在线上教学过程中，师生之间缺乏互动，学生之间也缺乏必要的交流讨论、互帮互助，这就导致教师无法为学生创造良好的学习环境，学习的情境性、交互性得不到保障;其次，线上教学对学生的自觉性要求很高，由于是线上教学，教师无法及时察觉学生的学习状态，无法判断某个学生是否在学，是否在认真学;三是教学效果得不到保证，线上教学过程中，学生缺乏教师的现场指导，老师也不能及时发现学生学习中存在的问题并及时做出指导，学生容易走弯路。同时，课后反馈效果也差，在线作业无法真实反映出学生的学习成效。
二、开展线上、线下教学混合教学，提高《积分变换与复变函数》的教学效果
根据以上分析，我们得知，传统的线下教学具有不可替代性，新型的线上教学也具有独特的优势。两种教学模式各有长短。线上教学和线下教学并不是一个敌对的关系，不存在线上教学能在未来完全取代线下教学的可能性，它们之间是相辅相成，互为补充的。将这两种教学方式进行有效融合，充分发挥线上、线下教学的最大功效，才能取得更好的教学效果。如何借助线上教学的优势，助力线下教学，使二者优势互补、有效融合呢？可以从以下几个方面着手。
1 利用在线教学平台，为线下课堂插上“翅膀”
线下教学首先在时间和空间上欠缺灵活性，教学活动必须在固定的时间、固定的地点进行。为此，教师可以事先将课堂的重难点内容录制成小视频，或利用课余时间，针对某个知识点录制微课，并将知识点分类统计为图表形式，并将这些资料连同教材、教辅、课件、进度表、练习册等线下教学的资料一起上传到网络平台，供学生们根据需求灵活自主地学习。
2 挖掘网络资源，打造高效课堂
网络资源包罗万象，丰富的教学资源有助于充实教学内容，音频、视频、图片、动画等资料能有效提高学生的学习兴趣，提升课堂教学的生动性、趣味性。除了录制视频材料外，教师还可以事先在网络上收集与《积分变换与复变函数》课程相关的优质材料，供学生学习和参考。 3 借助网络平台，促进师生间的有效沟通
师生之间最传统的沟通方式是面对面交流，再到后来的电话、短信，现在逐步过渡到了网络工具（如邮件、QQ、微信、各类学习平台等）。合作方式趋于便利化，一是便于发送，二是便于接收;沟通层面上可以实现一对一、一对多、多对多。日常教学中利用好网络平台，可以大大节约双方协作的时间成本，增强沟通的灵活性、时效性。
4 强化线下教学，正确面对线上教学
不同的学生对线上教学的接受程度存在很大差异。有受客观条件限制，想学而不得学的;有自觉性差，能学而不愿学的;有缺少监督，因“假”学而荒废学的。针对这些的情况，教师应该区别引导，恢复或重新建立学生正确的学习观。如对待受条件限制的学生，应该对他们的心灵进行安抚和疏导;对待自觉性差的学生，应该帮他们培养良好的习惯;对待整天拿着手机、守着电脑上网或玩游戏的学生，应该教育其正确利用网络，摒弃不良习惯。传统的线下教学仍然需要继续强化推进，线上教学可以作为前者的有效补充，借其优势弥补线下教学的发展短板，终可实现二者有效融合。
三、总结
线上、线下两种模式的融合教学，是教学改革的必经之路，除了线上教学本身所具备的优势以外，还因为这种融合还有“1+1>2”的效果。混合式教学模式样态下，师生教学互动更加多样化，可有效实现实体老师与虚拟老师共同教学;知识来源渠道也将更加广泛，实现从教师拓展到更广泛的社会群体;让正式学习和非正式学习更趋融通，这种在线教学与传统课堂教学的融合，无疑将给学生提供优质便捷、更高品质的教育体验和学习收获。总之，线上教学和线下教学都各有其优势所在，两种模式齐头并进、不断融合才是未来教育的发展之路，我们在发展中要集两者之所长、优势互补，才能更好地提升教学效果，培养出更加优秀的现代化建设人才。
参考文献：
[1]朱慧敏， 赵利利. 混合式教学法在《复变函数与积分变换》教学中的应用[J]，科技视界，2019（26）： 91，108.
[2]文欢， 李欣欣等. 慕课背景下的混合式教学模式探索——以《复变函数与积分变换》课程为例[J]， 电脑知识与技术， 2019， 15（23）：145-146，148.
[3] 郜东宁， 电子信息类专业《复变函数与積分变换》课程的教学研究[J]，信息记录材料， 2020，7（21）：237-238.
[4]姜郜， 浅析在工科院校中《复变函数与积分变换》的学习兴趣培养[J]，农村经济与科技， 2020，14（31）：253-255.
[5]王波， 于跃， 自动化专业《复变函数与积分变换》教学方法浅析[J]，教育教学论坛， 2020（1）：252-253.
[6]陈平， 基于信息时代下的《复变函数与积分变换》教学转型的几点思考[J]，信息系统工程， 2020（11）：147-148，151.
[7]高彦伟，宋东哲，在线开放课程《复变函数与积分变换》混合式教学学习评价的量化研究[J]，吉林工程技术师范学院学报，2019，10（35）：108-110.
通讯作者：李克华，男，1977年11月，福建永定人，讲师，博士，研究方向为动力系统。
基金项目：厦门理工学院教改项目： 《积分变换与复变函数》教学改革探索（JG2019029）.
（厦门理工学院应用数学学院，福建厦门 361024）
关键字： 复变函数;积分变换;线上教学;线下教学;混合教学
分类号：S857.2-4;G434
《积分变换与复变函数》是高等数学的后续课程，是高等数学知识体系在复数域的推广，其理论和方法在空气动力学、电气工程、通信与控制、信号分析、图像处理等自然科学和工程科学的许多领域有着广泛的应用，为解决诸如流体动力学、电磁学、热学、振动学、弹性理论、频谱分析中的实际问题提供了有力工具。正是由于《积分变换与复变函数》在解决实际问题中的重要作用，其内容已成为高等学校理工科专业学生必修的一门基础课。该课程的主要思想是利用复变函数和积分变换的理论和方法解决微分方程、数学物理方程等实际问题，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力。《积分变换与复变函数》课程的特点是内容抽象、逻辑性强、推导巧妙、计算繁杂。另外，作为《高等数学》的后续课程，对《高等数学》相关知识的掌握情况要求较高。以厦门理工学院该课程的教学实际情况来看，学生中普遍存在学习兴趣不高，积极主动差、考试通过率较低等情况。如何培养学生的学习兴趣，促进学生的学习主动性，提高教学效果已经是摆在广大《积分变换与复变函数》授课教师面前的一道难题。本文将从一下几个方面就《积分变换与复变函数》课程的教学改革做一些初步的探讨：线上、线下教学各自的优缺点分析，借助线上教学的优势、助力线下教学以及如何在实际教学中开展线上、线下混合教学。
一、线上、线下教学的优缺点分析
作为传统的教学方式，线下教学具有明显的优势：首先，师生之间，学生之间可以进行及时的交流互动，及时的互动能够更有效地引导和激励学生积极进行思考;其次，线下教学使得老师、学生同处一个教学空间，教师可以更好地监督学生的学习，也可以根据学生的课堂表现及时调整教学内容或方法，放缓或加快教学节奏，对重点、难点知识进行侧重教学;最后，在线下教学中，优秀学生的表现能起到“引领”作用，使得整个课堂呈现出“争先恐后”、“你追我赶”的学习状态，营造出良好的学习氛围。同时，线下教学也具有如下缺点：一是“时间、地点”固定，学生无法根据自身情况安排学习过程，二是教学过程以教师主动讲授和学生的被动反应为主要特征，教师以“填鸭式”、“满堂灌”的方式实现知识的传播，往往过于强调教师的主导地位而忽视学生的主体地位，无法发挥学生学习的主观能动性;三是线下教学按照统一的教学内容、教学进度安排教学活动，这种标准化的教学无法满足學生的个性化要求，严重束缚了学生学习的积极性、主动性和创造性;
随着线上教学的深入开展，学校、教室已经不是学习的唯一场所，互联网为教育教学提供了多种可能。作为一种新的教学模式，线上教学除了能给学生带来新鲜感和吸引力之外，更有着前者不可比拟的优势。首先，线上教学行为不受时间和空间的限制，可以实现片段化教学，学生随时可以利用空余时间进行在线学习;其次，学生可以自主把握学习的节奏，可以根据自身的时间情况，合理安排学习时间，实现个性化教学。线上教学虽然是直播，但是所采用的教学平台一般有录播的功能，学生随时可以中断学习过程，并利用平台录播的视频进行二次学习，另外，对于重难点问题，学生可以利用回看功能，反复进行学习;三是教学资源的收集展示更加灵活。线上教学依托互联网平台，网络上教学资源丰富多元，更加有利于优质资源的收集、整理。与此同时，线上教学也有其自身的不足之处。首先，在线上教学过程中，师生之间缺乏互动，学生之间也缺乏必要的交流讨论、互帮互助，这就导致教师无法为学生创造良好的学习环境，学习的情境性、交互性得不到保障;其次，线上教学对学生的自觉性要求很高，由于是线上教学，教师无法及时察觉学生的学习状态，无法判断某个学生是否在学，是否在认真学;三是教学效果得不到保证，线上教学过程中，学生缺乏教师的现场指导，老师也不能及时发现学生学习中存在的问题并及时做出指导，学生容易走弯路。同时，课后反馈效果也差，在线作业无法真实反映出学生的学习成效。
二、开展线上、线下教学混合教学，提高《积分变换与复变函数》的教学效果
根据以上分析，我们得知，传统的线下教学具有不可替代性，新型的线上教学也具有独特的优势。两种教学模式各有长短。线上教学和线下教学并不是一个敌对的关系，不存在线上教学能在未来完全取代线下教学的可能性，它们之间是相辅相成，互为补充的。将这两种教学方式进行有效融合，充分发挥线上、线下教学的最大功效，才能取得更好的教学效果。如何借助线上教学的优势，助力线下教学，使二者优势互补、有效融合呢？可以从以下几个方面着手。
1 利用在线教学平台，为线下课堂插上“翅膀”
线下教学首先在时间和空间上欠缺灵活性，教学活动必须在固定的时间、固定的地点进行。为此，教师可以事先将课堂的重难点内容录制成小视频，或利用课余时间，针对某个知识点录制微课，并将知识点分类统计为图表形式，并将这些资料连同教材、教辅、课件、进度表、练习册等线下教学的资料一起上传到网络平台，供学生们根据需求灵活自主地学习。
2 挖掘网络资源，打造高效课堂
网络资源包罗万象，丰富的教学资源有助于充实教学内容，音频、视频、图片、动画等资料能有效提高学生的学习兴趣，提升课堂教学的生动性、趣味性。除了录制视频材料外，教师还可以事先在网络上收集与《积分变换与复变函数》课程相关的优质材料，供学生学习和参考。 3 借助网络平台，促进师生间的有效沟通
师生之间最传统的沟通方式是面对面交流，再到后来的电话、短信，现在逐步过渡到了网络工具（如邮件、QQ、微信、各类学习平台等）。合作方式趋于便利化，一是便于发送，二是便于接收;沟通层面上可以实现一对一、一对多、多对多。日常教学中利用好网络平台，可以大大节约双方协作的时间成本，增强沟通的灵活性、时效性。
4 强化线下教学，正确面对线上教学
不同的学生对线上教学的接受程度存在很大差异。有受客观条件限制，想学而不得学的;有自觉性差，能学而不愿学的;有缺少监督，因“假”学而荒废学的。针对这些的情况，教师应该区别引导，恢复或重新建立学生正确的学习观。如对待受条件限制的学生，应该对他们的心灵进行安抚和疏导;对待自觉性差的学生，应该帮他们培养良好的习惯;对待整天拿着手机、守着电脑上网或玩游戏的学生，应该教育其正确利用网络，摒弃不良习惯。传统的线下教学仍然需要继续强化推进，线上教学可以作为前者的有效补充，借其优势弥补线下教学的发展短板，终可实现二者有效融合。
三、总结
线上、线下两种模式的融合教学，是教学改革的必经之路，除了线上教学本身所具备的优势以外，还因为这种融合还有“1+1>2”的效果。混合式教学模式样态下，师生教学互动更加多样化，可有效实现实体老师与虚拟老师共同教学;知识来源渠道也将更加广泛，实现从教师拓展到更广泛的社会群体;让正式学习和非正式学习更趋融通，这种在线教学与传统课堂教学的融合，无疑将给学生提供优质便捷、更高品质的教育体验和学习收获。总之，线上教学和线下教学都各有其优势所在，两种模式齐头并进、不断融合才是未来教育的发展之路，我们在发展中要集两者之所长、优势互补，才能更好地提升教学效果，培养出更加优秀的现代化建设人才。
参考文献：
[1]朱慧敏， 赵利利. 混合式教学法在《复变函数与积分变换》教学中的应用[J]，科技视界，2019（26）： 91，108.
[2]文欢， 李欣欣等. 慕课背景下的混合式教学模式探索——以《复变函数与积分变换》课程为例[J]， 电脑知识与技术， 2019， 15（23）：145-146，148.
[3] 郜东宁， 电子信息类专业《复变函数与積分变换》课程的教学研究[J]，信息记录材料， 2020，7（21）：237-238.
[4]姜郜， 浅析在工科院校中《复变函数与积分变换》的学习兴趣培养[J]，农村经济与科技， 2020，14（31）：253-255.
[5]王波， 于跃， 自动化专业《复变函数与积分变换》教学方法浅析[J]，教育教学论坛， 2020（1）：252-253.
[6]陈平， 基于信息时代下的《复变函数与积分变换》教学转型的几点思考[J]，信息系统工程， 2020（11）：147-148，151.
[7]高彦伟，宋东哲，在线开放课程《复变函数与积分变换》混合式教学学习评价的量化研究[J]，吉林工程技术师范学院学报，2019，10（35）：108-110.
通讯作者：李克华，男，1977年11月，福建永定人，讲师，博士，研究方向为动力系统。
基金项目：厦门理工学院教改项目： 《积分变换与复变函数》教学改革探索（JG2019029）.
（厦门理工学院应用数学学院，福建厦门 361024）