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【摘要】《数学课程标准》指出“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。”[1]而问题解决又是学生数学学习中的必备能力，本文从问题解决过程中，学生问题的提出、问题的思考、问题的合情推理三方面探索学生创新意识素养的培养策略。
【关键词】问题解决 创新意识素养 策略
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）12-0124-02
创新教育是课堂教学的主渠道，也是作为基础学科之一的数学教学的新任务。《数学课程标准》中将“创新意识”列为十大核心概念之一，也是初中生所必备的核心素养之一。目前，一些教师的课堂仍未摆脱传统思想的束缚，“满堂灌”、“题海战”等仍充斥着课堂，致使学生机械学习，压抑了学生思维的主动性、能动性与创造性。《数学课程标准》指出“学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。”[1]问题解决是《数学课程标准》的四大总体目标之一，也是从古至今数学教育界研究的热点问题，本文将以问题解决为载体对学生在创新素养培养方面进行一些探索。
一、引导主动提出问题：培养创新意识素养的基础
“问题是数学的心脏”，教师要对学生在教学中提出的问题给予支持与赞许，鼓励学生发现问题、敢于质疑，课堂变成充满问题与探究的场所。每个数学问题都会伴随其解答过程，评价学生提出的问题有无深度，并不仅仅以问题解答的难易程度为唯一依据，还应看问题有否现实意义、解答过程有否蕴含数学思想方法、能否灵活运用已学知识等。
1.创设问题情境，启发学生提出问题
数学课堂上创设适切学生的情境，在学生的求知心理与问题之间设置悬念，引导学生能从多方位、多视角去发现与研究问题，经历创造性的活动体验，教师同时及时点与调整，鼓励学生探究，允许失误，提倡多问。
【案例】如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=40cm，AC=60cm. 点P，Q分别是AB，AC上的两个动点，点P以2cm/s的速度由点B向点A运动，点Q以3cm/s的速度由点A向点C运动，若点P，Q同时出发，且运动的时间为t。你能提出哪些问题？
（学生可从△APM的形状、△APM与△ABC的关系、PM与BC的位置与数量关系，△APM面积的最小值，四边形BCQP面积的最大值等视角提出问题）
2.引导关注生活，发现有价值的问题
为引导学生提出有价值有意义问题，教师可多创设基于学生生活的问题情境，引导学生围绕情境发现问题，并用已有知识经验去解决问题，进而在深入思考下发现新问题。
【案例】一学生问：家中的窗户由原来的双开木结构改为推拉铝合金结构后，为什么在不开空调时室内感觉比以前闷热？这个问题很简单，原来为双开，现在为推拉，易知原来的最大通风量是现在的最大通风量的2倍，这个简单的问题的现实意义却很丰富，因而是一个有意义的问题。
二、指导学会数学思考：培养创新意识素养的核心
“联想是数学解题思维中重要的思维方式，但联想常以默会知识的状态内隐于人的大脑中，很难外显成明确知识。要把只可意会的默会知识外显成可以言传的明确知识，需要在教学过程中反复的尝试、提炼与实践。”[2]
1.以层次性问题促进递进性思考
学生对层次问题作多角度的思考与分析，在教师的引导下能提出独到的见解，并有所创新。从思维的特点来看体现了联想的发挥及灵感直觉。
【案例】七下“用加减法解二元一次方程组”的教学片断
问题：（1）不能使用代入法，思考如何消去下列两个方程组中未知数y？
① ； ②.
（2）你能同样不用代入法消去方程组中未知数x吗？能消去y吗？
（3）通过问题（1）、（2）的解决，请你能梳理在怎样的条件可用加法进行消元？怎样的条件可用减法进行消元？
经历对以上一组层次性问题的探究，学生的思维从感性（问题（1）中的两个方程组的消元）上升到理性（总结加减法消元的基本规律）认识：二元一次方程组根据等式性质2进行恒等变形，化两个方程中同一个未知数的系数为绝对值相等，再通过加减法进行消元。
2.以多解型问题促进发散性思考
从培养學生变通性入手，开阔思路增加发散成分，逐步培养他们从多方面、多角度去探索问题、认识问题和解决问题的习惯，从而提高分析问题、综合解决问题的能力，促进学生创造力的发展。在课堂教学中，给出典型体例，寻求多种解法[3]。
【案例】浙教版七年级上《一元一次方程的应用（2）》中例3：
如何求阴影部分的面积，本题学生想到了8种方法，而且例题解法中所用到的方法并不是学生首选的方法，甚至是第5种解法。
3.以变式型问题促进迁移性思考
变式练习是“以少取胜，以精取胜”的有效途径。变式性问题编制时，或可增加条件，或可隐去条件，或改变问题的情境，以提高学生的迁移能力与思维的敏锐性。
【案例】如图，△ABC中，点P为BC边上一点，试比较BP+CP与AB+AC的大小，并说明理由。
学生解答守本题后，作如如下变式：
变式1：将原题中的点P移至△ABC内（如图），试比较BP+CP与AB+AC的大小，并说明理由。
变式2：将变式1的图中连结AP，请说明：（AB+BC+AC） 变式3：将变式1中的点P变为两个点P1，P2（如图），试比较BP1+P1P2+CP2与AB+AC的大小，并说明理由。
通过对图形的位置进行一题多变式的演变，以题及类，“解一题，会一串”，发展学生思维的灵活性、变异性的同时起到了触类旁通的效果。 4.以非常规问题促进联想性思考
对非常规性问题，教师可引导学生抓住问题的表象，进行联想与想象等思维活动，鼓励学生能突破常规方法，进行逆向思考等非常规性思维活动，这也是培养创新素养的有效方法。
【案例】问题：已知，求证：b2≥4ac.
解析：若我们直接从问题的正向（即条件）思考，则比较繁杂或难以找到解题方法；为此，从逆向（即结论）思考，抓住特征式的特征，联想到一元二次方程的根的情况，故只需对条件进行变形为一元二次方程的形式即可，而便容易得解。
证明：由已知得，
即
∴是关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0（a≠0）的一个根，
∴b2≥4ac.
三、指导学会归纳验证：培养创新意识素养的方法
合情推理教学是根据学生已有的认知基础与经验，创设合理的合情推理开展的问题情境，引导学生通过观察、实验，凭学生已有的活动经验，通过归纳、类比等活动获得对问题结论的猜想，并通过学生不断地尝试与检验修正猜想，最后经过推理论证获得问题的正确结论。
【案例】三角形全等的判定（一）（边边边）的推理教学
1.问题情境
如图1，有一块形状三角形的玻璃不小心被摔成了三块，想让玻璃店师傅配原三角形的形状大小相同的一块玻璃，现在要打电话向玻璃店师傅描述这块三角形玻璃，应给出多少数据呢？
【意图】对将要学习的知识置于源于学生生活的问题情境中，激起学生对问题进行探究的欲望，让学生感受到数学知识的学习是为了解决现实问题的需要。
2.提出问题
提出问题：如何才能使两个三角形全等？
子问题1：请你回忆全等三角形的性质是什么？
子问题2：将上述性质反过来，两个三角形的三边与三角这六个元素中，至少要满足有几个元素对应相等，才能够保证这两个三角形一定会全等？
【意图】先对实际问题进行抽象，建立模型，提出问题。即两块三角形玻璃（一块已破损一块待配）的形状与大小相同→两个三角形模型的形状与大小相同→两个三角形全等，这种抽象学生容易理解。
3.画图探索
操作1：
只满足一个元素（一条边或一个角）——请分别画出一个直角、一个边长为2cm的三角形.与小组内的其他同学比较，所画的三角形全等吗？
操作2：
（1）满足两个元素有哪几种可能？（学生归纳：边边、边角、角角）
（2）请分别画出符合下列条件的一个三角形：
①三角形两边分别为2cm和3cm； ②三角形两角分别为30°和 60°； ③三角形的一条边为2cm，一个内角为45°。
请逐一与小组内的其他同学比较，所画的三角形一定全等吗？
【意图】简洁是数学教学的精髓，即如何用最少的条件能推出问题结论。因此，我们先从一个元素、两个元素依次进行探究，让初步感受学生公理化的思想。根据学生的已有的认知基础，对待研究的问题结论从特殊入手，通过特例来验证一般结论是否成立，学生易接受。
操作3：
（1）满足三个元素对应相等的两个三角形又有哪几种情况？（引导学生归纳得出：三边、两边一角、两角一边、三角等情况）
（2）下面我们一起来探究第一种情况：即满足三边对应相等的三角形是否全等？
【意图】在经历操作2的基础上，再通过满足特定条件后的三角形来研究说明一般结论是否成立。
4.猜想与验证
猜想：三边对应相等的两个三角形全等。
验证操作：小组内再试换一下三边的长度，还会有相同的结论吗？
【意图】由于 边边边的判定是一个基本事实，不必证明。因此通过验证，使得猜想更加可靠，学生更加相信结论的正确性。
以上是教学设计的片段，仅展示了“边边边”判定的合情推理的流程。合情推理是学生通过问题情境与活动，自主提出问题、探索规律与发现、再验证发现进而作出猜想，使学生明白知识提出的合理性，有利于培养学生的创新精神。
创新意识素养的培养与创新教育是密不可分的，同时我们要认识到创新意识虽受遗传因素影响，但其关键在于后天的培育。由此可见，创新意识素养的培育在整个创新教育中的重要地位。
参考文献：
[1]《义务教育课程标准》（2011版），北京师范大学出版社.
[2]吴文军.《摭谈初中数学解题思維的联想策略》，《中小学数学》.
[3]范良火.《义务教育教科书 数学 七年级上册》.浙江教育出版社，2012年7月第1版.
作者简介：葛关良（1974-），男，中学一级，本科，初中数学，研究方向：初中数学创新教育。
【关键词】问题解决 创新意识素养 策略
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）12-0124-02
创新教育是课堂教学的主渠道，也是作为基础学科之一的数学教学的新任务。《数学课程标准》中将“创新意识”列为十大核心概念之一，也是初中生所必备的核心素养之一。目前，一些教师的课堂仍未摆脱传统思想的束缚，“满堂灌”、“题海战”等仍充斥着课堂，致使学生机械学习，压抑了学生思维的主动性、能动性与创造性。《数学课程标准》指出“学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。”[1]问题解决是《数学课程标准》的四大总体目标之一，也是从古至今数学教育界研究的热点问题，本文将以问题解决为载体对学生在创新素养培养方面进行一些探索。
一、引导主动提出问题：培养创新意识素养的基础
“问题是数学的心脏”，教师要对学生在教学中提出的问题给予支持与赞许，鼓励学生发现问题、敢于质疑，课堂变成充满问题与探究的场所。每个数学问题都会伴随其解答过程，评价学生提出的问题有无深度，并不仅仅以问题解答的难易程度为唯一依据，还应看问题有否现实意义、解答过程有否蕴含数学思想方法、能否灵活运用已学知识等。
1.创设问题情境，启发学生提出问题
数学课堂上创设适切学生的情境，在学生的求知心理与问题之间设置悬念，引导学生能从多方位、多视角去发现与研究问题，经历创造性的活动体验，教师同时及时点与调整，鼓励学生探究，允许失误，提倡多问。
【案例】如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=40cm，AC=60cm. 点P，Q分别是AB，AC上的两个动点，点P以2cm/s的速度由点B向点A运动，点Q以3cm/s的速度由点A向点C运动，若点P，Q同时出发，且运动的时间为t。你能提出哪些问题？
（学生可从△APM的形状、△APM与△ABC的关系、PM与BC的位置与数量关系，△APM面积的最小值，四边形BCQP面积的最大值等视角提出问题）
2.引导关注生活，发现有价值的问题
为引导学生提出有价值有意义问题，教师可多创设基于学生生活的问题情境，引导学生围绕情境发现问题，并用已有知识经验去解决问题，进而在深入思考下发现新问题。
【案例】一学生问：家中的窗户由原来的双开木结构改为推拉铝合金结构后，为什么在不开空调时室内感觉比以前闷热？这个问题很简单，原来为双开，现在为推拉，易知原来的最大通风量是现在的最大通风量的2倍，这个简单的问题的现实意义却很丰富，因而是一个有意义的问题。
二、指导学会数学思考：培养创新意识素养的核心
“联想是数学解题思维中重要的思维方式，但联想常以默会知识的状态内隐于人的大脑中，很难外显成明确知识。要把只可意会的默会知识外显成可以言传的明确知识，需要在教学过程中反复的尝试、提炼与实践。”[2]
1.以层次性问题促进递进性思考
学生对层次问题作多角度的思考与分析，在教师的引导下能提出独到的见解，并有所创新。从思维的特点来看体现了联想的发挥及灵感直觉。
【案例】七下“用加减法解二元一次方程组”的教学片断
问题：（1）不能使用代入法，思考如何消去下列两个方程组中未知数y？
① ； ②.
（2）你能同样不用代入法消去方程组中未知数x吗？能消去y吗？
（3）通过问题（1）、（2）的解决，请你能梳理在怎样的条件可用加法进行消元？怎样的条件可用减法进行消元？
经历对以上一组层次性问题的探究，学生的思维从感性（问题（1）中的两个方程组的消元）上升到理性（总结加减法消元的基本规律）认识：二元一次方程组根据等式性质2进行恒等变形，化两个方程中同一个未知数的系数为绝对值相等，再通过加减法进行消元。
2.以多解型问题促进发散性思考
从培养學生变通性入手，开阔思路增加发散成分，逐步培养他们从多方面、多角度去探索问题、认识问题和解决问题的习惯，从而提高分析问题、综合解决问题的能力，促进学生创造力的发展。在课堂教学中，给出典型体例，寻求多种解法[3]。
【案例】浙教版七年级上《一元一次方程的应用（2）》中例3：
如何求阴影部分的面积，本题学生想到了8种方法，而且例题解法中所用到的方法并不是学生首选的方法，甚至是第5种解法。
3.以变式型问题促进迁移性思考
变式练习是“以少取胜，以精取胜”的有效途径。变式性问题编制时，或可增加条件，或可隐去条件，或改变问题的情境，以提高学生的迁移能力与思维的敏锐性。
【案例】如图，△ABC中，点P为BC边上一点，试比较BP+CP与AB+AC的大小，并说明理由。
学生解答守本题后，作如如下变式：
变式1：将原题中的点P移至△ABC内（如图），试比较BP+CP与AB+AC的大小，并说明理由。
变式2：将变式1的图中连结AP，请说明：（AB+BC+AC）
通过对图形的位置进行一题多变式的演变，以题及类，“解一题，会一串”，发展学生思维的灵活性、变异性的同时起到了触类旁通的效果。 4.以非常规问题促进联想性思考
对非常规性问题，教师可引导学生抓住问题的表象，进行联想与想象等思维活动，鼓励学生能突破常规方法，进行逆向思考等非常规性思维活动，这也是培养创新素养的有效方法。
【案例】问题：已知，求证：b2≥4ac.
解析：若我们直接从问题的正向（即条件）思考，则比较繁杂或难以找到解题方法；为此，从逆向（即结论）思考，抓住特征式的特征，联想到一元二次方程的根的情况，故只需对条件进行变形为一元二次方程的形式即可，而便容易得解。
证明：由已知得，
即
∴是关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0（a≠0）的一个根，
∴b2≥4ac.
三、指导学会归纳验证：培养创新意识素养的方法
合情推理教学是根据学生已有的认知基础与经验，创设合理的合情推理开展的问题情境，引导学生通过观察、实验，凭学生已有的活动经验，通过归纳、类比等活动获得对问题结论的猜想，并通过学生不断地尝试与检验修正猜想，最后经过推理论证获得问题的正确结论。
【案例】三角形全等的判定（一）（边边边）的推理教学
1.问题情境
如图1，有一块形状三角形的玻璃不小心被摔成了三块，想让玻璃店师傅配原三角形的形状大小相同的一块玻璃，现在要打电话向玻璃店师傅描述这块三角形玻璃，应给出多少数据呢？
【意图】对将要学习的知识置于源于学生生活的问题情境中，激起学生对问题进行探究的欲望，让学生感受到数学知识的学习是为了解决现实问题的需要。
2.提出问题
提出问题：如何才能使两个三角形全等？
子问题1：请你回忆全等三角形的性质是什么？
子问题2：将上述性质反过来，两个三角形的三边与三角这六个元素中，至少要满足有几个元素对应相等，才能够保证这两个三角形一定会全等？
【意图】先对实际问题进行抽象，建立模型，提出问题。即两块三角形玻璃（一块已破损一块待配）的形状与大小相同→两个三角形模型的形状与大小相同→两个三角形全等，这种抽象学生容易理解。
3.画图探索
操作1：
只满足一个元素（一条边或一个角）——请分别画出一个直角、一个边长为2cm的三角形.与小组内的其他同学比较，所画的三角形全等吗？
操作2：
（1）满足两个元素有哪几种可能？（学生归纳：边边、边角、角角）
（2）请分别画出符合下列条件的一个三角形：
①三角形两边分别为2cm和3cm； ②三角形两角分别为30°和 60°； ③三角形的一条边为2cm，一个内角为45°。
请逐一与小组内的其他同学比较，所画的三角形一定全等吗？
【意图】简洁是数学教学的精髓，即如何用最少的条件能推出问题结论。因此，我们先从一个元素、两个元素依次进行探究，让初步感受学生公理化的思想。根据学生的已有的认知基础，对待研究的问题结论从特殊入手，通过特例来验证一般结论是否成立，学生易接受。
操作3：
（1）满足三个元素对应相等的两个三角形又有哪几种情况？（引导学生归纳得出：三边、两边一角、两角一边、三角等情况）
（2）下面我们一起来探究第一种情况：即满足三边对应相等的三角形是否全等？
【意图】在经历操作2的基础上，再通过满足特定条件后的三角形来研究说明一般结论是否成立。
4.猜想与验证
猜想：三边对应相等的两个三角形全等。
验证操作：小组内再试换一下三边的长度，还会有相同的结论吗？
【意图】由于 边边边的判定是一个基本事实，不必证明。因此通过验证，使得猜想更加可靠，学生更加相信结论的正确性。
以上是教学设计的片段，仅展示了“边边边”判定的合情推理的流程。合情推理是学生通过问题情境与活动，自主提出问题、探索规律与发现、再验证发现进而作出猜想，使学生明白知识提出的合理性，有利于培养学生的创新精神。
创新意识素养的培养与创新教育是密不可分的，同时我们要认识到创新意识虽受遗传因素影响，但其关键在于后天的培育。由此可见，创新意识素养的培育在整个创新教育中的重要地位。
参考文献：
[1]《义务教育课程标准》（2011版），北京师范大学出版社.
[2]吴文军.《摭谈初中数学解题思維的联想策略》，《中小学数学》.
[3]范良火.《义务教育教科书 数学 七年级上册》.浙江教育出版社，2012年7月第1版.
作者简介：葛关良（1974-），男，中学一级，本科，初中数学，研究方向：初中数学创新教育。