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[摘 要]儿童的数学学习离不开具体的图像，也少不了直接的动手实践。但操作的意义不只是在摆弄物品，而是连通思维，表达思想。数学是抽象的、整体的、逻辑的，而儿童的数学学习却又是具象的、局部的、感性的，从几个案例说起，对如何通过操作在这两点之间找到平衡，做一些分析和梳理。
[关键词]直观 操作 数学学习方式
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）05-007
捷克教育家夸美纽斯说：“可以给教师定下一则金科玉律。在可能的范围内，一切事物都应该尽量地放到感官的眼前。”数学是抽象的、整体的、逻辑的，而儿童的数学学习却是具象的、局部的、感性的，如何在这二者之间搭建起桥梁呢？直观操作是很好的途径之一。本文试从几位名师课堂里来找寻一些“影子”。
【案例1】“圆的认识”教学片段
曾听到过张齐华老师两次上“圆的认识”，两节课的开头都是开门见山谈“圆”，但教学方式迥然不同。
第一次教学，张老师让学生说说在哪里见过圆。当学生说出硬币、光盘、圆桌、车轮等后，张老师指出：“圆无处不在！”然后出示在平静的水面上扔一块小石子后波纹荡漾的图片，让学生看到大自然中的“圆”。接着欣赏十五的月亮、美丽的光环……从而揭示“圆是一个很完美的几何图形”，让学生一起来创造圆。
第二次教学，张老师没有只让学生“看”，而是动眼、动手相结合。他从信封里先掏出一个圆形纸片，让学生看了看后又放进信封。信封里同时还有正方形、长方形、三角形、梯形、平行四边形的纸片。
师：要从这一堆的平面图形当中把圆这个图形摸出来难不难？
生1：不难！
师：为什么？
生2：因为圆没有角，都是曲线，其他的图形都有角。
师（出示一个椭圆）：这样的图形也没有角，你会把它当成圆摸出来吗？
生3：不会！
师：为什么？
生3：因为圆很平滑，看起来特别饱满。
生4：这个纸片有的地方的弧线特别急，有的地方特别平，而圆都一样。
随后，张老师让一位学生闭上眼，将平行四边形、梯形、三角形、椭圆形和圆形分别放到学生手上，让他判断拿到的图形是不是圆。
很显然，第二次的教学具有浓浓的“数学味”，把圆的光滑、匀称、饱满放在和其他图形的视觉差别的大背景中，而且通过“摸”这一肢体接触，让学生将初步认识和身体触觉有机结合，加深了对圆的直观感受。
俗话说，“十指连心”。认识面积时，手掌抚摸桌面、书面、脸面可以感受到面的大小、曲直；认识质量时，用手掌托起物品 “掂一掂”，可以感受轻重；比较长短时，可以一只手捏住两根绳子的一头，用另一只手捋直了再比……从指间流淌出来的是体验、思维，是智慧，是学习的深刻感受、感悟、感想！
【案例2】“角的度量”教学片段
角的度量是大家公认的教学难度比较大的内容。那到底难在何处？主要还是量角器的结构比较复杂，刻度、线条等元素比较多。当这一工具直接出现在学生面前，真会出现“眼花缭乱”的状况。下面的教学，从操作入手，很好地突破了这一难点。
师：角的度量有专门的单位，你们知道是什么吗？
生1：度。
师（拿出一个三角尺）：大家熟悉的三角尺上有三个角，你能把最小的角描下来吗？（学生动手操作）有人知道这样的角是多少度吗？
生2：我听说过这是30度的角。
师：确实是这样，（在描下来的角上写上“30°”）有了这个角，就能量尽天下所有的——
生：30°！
师：三角尺上第二大的角是多少度呢？猜一猜。
生3：60°。
师：对，（指60°的角）有了这个角，就能量尽天下所有的——
生：60°！
师：能将这个角也描下来吗？试着和30°的角画在一起。（展示学生的作品，重点介绍图1）这样的工具不仅能量尽天下的30°，也能量尽天下的60°。
师：如果再添加一个30°的角，可以创造出一个功能更加强大的量角工具吗？
学生尝试，展示：
在学生操作探究中，功能越来越强大的量角工具“诞生”了。随后教师又引导学生继续大胆创造，产生出功能更加强大的测量工具——将图5中的刻度分得更细一些，最终想象出1°角的模样。然后让学生将这样的量角器和自己的量角器工具比较，分析内圈刻度和外圈刻度各有什么作用，并进行量角练习。
回顾上述片段，学生学习量角器的过程，变成了掌握、制作量角器的过程。在操作中，学生深入了解了量角器的制作原理、量角的原理，化解了知识难点，也提高了操作技能。
类似的教学还有“扇形统计图”，如果一下子出示一个数据多、线条多、信息量多的扇形统计图，学生会有些“懵”。如果从一个圆开始，在里面先画出一个扇形，再添加一个扇形，并逐步形成完整的具有多个数据的扇形统计图，学生就不感到突兀，加上因为操作的参与，静态的图画变成了动态的演示过程，学习有了“慢镜头”，无论是图形认识，还是数据分析，都将变得非常简单了。在这里，操作不只是学习的手段，更是学习的方式。
【案例三】“打结接绳”思考题
师：如果要把两根短绳连在一起，该怎么办？
生1：把两根短绳打结。
师：帮绳子打过结吗？
生2：没有，不会打结。
师（出示题目）：绳子连在一起像不像我们小朋友手拉着手？
x生：还真像。
师：一根短绳就像一个小朋友。那就请我们的“小短绳”到前面来打结吧。
师：先请两根“小短绳”到前面来，大家仔细观察，把两根短绳连起来要打几个结？
生3：打1个结。
师：再来一个小朋友。现在要打几个结？
生4：打2个结。
……
（依次增加1个学生，直到有8个学生手拉手站成一条线）
师；有了8根小短绳了，现在要打几个结？
生5：打7个结。
师：你们有什么发现吗？
生6：每多一个小朋友就多一个结。
生7：我还知道9根小短绳就要打8个结，10根小短绳就要打9个结。
师：你真厉害！
新教材在低年级也增设了“思考题”，通过呈现一些有趣的数学现象，引导学生在探索规律、解决问题的过程中了解数学知识，积累数学活动经验，培养学生学习数学的兴趣。这更好地体现了数学教学要强调数学发现、数学探究、数学思考的改革方向。但是，对低年级的学生而言，抽象的思考只有附着在生动、具体的直观学习上，才会学得清晰，学得深刻。学生的手拉手的场景和绳子打结之间具有形式上的相似性和本质上的相通性，让学生用萌萌的体态语言直观地诠释了绳子打结这一有趣的数学现象，经历了一次初步的由简单到复杂的探索过程，学生不仅发现了“9根小短绳就要打8个结，10根小短绳就要打9个结”的规律，还概括出“结的个数比绳子的个数少一个”的结论，是十分难得的。
上述三个案例，分别从身体触摸、学具使用、行为表演等方面为我们提供了儿童利用直观操作来进行数学学习的成功做法。正是因为有了身体、行为、工具的参与，学生的学习思维就有了支撑，变得丰富而具体，生动且深刻。当然，“直观操作”的形式还有很多，譬如拼搭、游戏、演示、实验等，在数学学习中都可以有非常广泛的应用。有的时候，操作还可以在脑中通过回忆、联想、想象来完成，那样，就是更高级别的思维水平和学习水平了。如果这样的活动不是教师的刻意引导，而变成学生的一种主动意识，那就真的成为一种数学素养和基础学力。
（责编 金 铃）
[关键词]直观 操作 数学学习方式
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）05-007
捷克教育家夸美纽斯说：“可以给教师定下一则金科玉律。在可能的范围内，一切事物都应该尽量地放到感官的眼前。”数学是抽象的、整体的、逻辑的，而儿童的数学学习却是具象的、局部的、感性的，如何在这二者之间搭建起桥梁呢？直观操作是很好的途径之一。本文试从几位名师课堂里来找寻一些“影子”。
【案例1】“圆的认识”教学片段
曾听到过张齐华老师两次上“圆的认识”，两节课的开头都是开门见山谈“圆”，但教学方式迥然不同。
第一次教学，张老师让学生说说在哪里见过圆。当学生说出硬币、光盘、圆桌、车轮等后，张老师指出：“圆无处不在！”然后出示在平静的水面上扔一块小石子后波纹荡漾的图片，让学生看到大自然中的“圆”。接着欣赏十五的月亮、美丽的光环……从而揭示“圆是一个很完美的几何图形”，让学生一起来创造圆。
第二次教学，张老师没有只让学生“看”，而是动眼、动手相结合。他从信封里先掏出一个圆形纸片，让学生看了看后又放进信封。信封里同时还有正方形、长方形、三角形、梯形、平行四边形的纸片。
师：要从这一堆的平面图形当中把圆这个图形摸出来难不难？
生1：不难！
师：为什么？
生2：因为圆没有角，都是曲线，其他的图形都有角。
师（出示一个椭圆）：这样的图形也没有角，你会把它当成圆摸出来吗？
生3：不会！
师：为什么？
生3：因为圆很平滑，看起来特别饱满。
生4：这个纸片有的地方的弧线特别急，有的地方特别平，而圆都一样。
随后，张老师让一位学生闭上眼，将平行四边形、梯形、三角形、椭圆形和圆形分别放到学生手上，让他判断拿到的图形是不是圆。
很显然，第二次的教学具有浓浓的“数学味”，把圆的光滑、匀称、饱满放在和其他图形的视觉差别的大背景中，而且通过“摸”这一肢体接触，让学生将初步认识和身体触觉有机结合，加深了对圆的直观感受。
俗话说，“十指连心”。认识面积时，手掌抚摸桌面、书面、脸面可以感受到面的大小、曲直；认识质量时，用手掌托起物品 “掂一掂”，可以感受轻重；比较长短时，可以一只手捏住两根绳子的一头，用另一只手捋直了再比……从指间流淌出来的是体验、思维，是智慧，是学习的深刻感受、感悟、感想！
【案例2】“角的度量”教学片段
角的度量是大家公认的教学难度比较大的内容。那到底难在何处？主要还是量角器的结构比较复杂，刻度、线条等元素比较多。当这一工具直接出现在学生面前，真会出现“眼花缭乱”的状况。下面的教学，从操作入手，很好地突破了这一难点。
师：角的度量有专门的单位，你们知道是什么吗？
生1：度。
师（拿出一个三角尺）：大家熟悉的三角尺上有三个角，你能把最小的角描下来吗？（学生动手操作）有人知道这样的角是多少度吗？
生2：我听说过这是30度的角。
师：确实是这样，（在描下来的角上写上“30°”）有了这个角，就能量尽天下所有的——
生：30°！
师：三角尺上第二大的角是多少度呢？猜一猜。
生3：60°。
师：对，（指60°的角）有了这个角，就能量尽天下所有的——
生：60°！
师：能将这个角也描下来吗？试着和30°的角画在一起。（展示学生的作品，重点介绍图1）这样的工具不仅能量尽天下的30°，也能量尽天下的60°。
师：如果再添加一个30°的角，可以创造出一个功能更加强大的量角工具吗？
学生尝试，展示：
在学生操作探究中，功能越来越强大的量角工具“诞生”了。随后教师又引导学生继续大胆创造，产生出功能更加强大的测量工具——将图5中的刻度分得更细一些，最终想象出1°角的模样。然后让学生将这样的量角器和自己的量角器工具比较，分析内圈刻度和外圈刻度各有什么作用，并进行量角练习。
回顾上述片段，学生学习量角器的过程，变成了掌握、制作量角器的过程。在操作中，学生深入了解了量角器的制作原理、量角的原理，化解了知识难点，也提高了操作技能。
类似的教学还有“扇形统计图”，如果一下子出示一个数据多、线条多、信息量多的扇形统计图，学生会有些“懵”。如果从一个圆开始，在里面先画出一个扇形，再添加一个扇形，并逐步形成完整的具有多个数据的扇形统计图，学生就不感到突兀，加上因为操作的参与，静态的图画变成了动态的演示过程，学习有了“慢镜头”，无论是图形认识，还是数据分析，都将变得非常简单了。在这里，操作不只是学习的手段，更是学习的方式。
【案例三】“打结接绳”思考题
师：如果要把两根短绳连在一起，该怎么办？
生1：把两根短绳打结。
师：帮绳子打过结吗？
生2：没有，不会打结。
师（出示题目）：绳子连在一起像不像我们小朋友手拉着手？
x生：还真像。
师：一根短绳就像一个小朋友。那就请我们的“小短绳”到前面来打结吧。
师：先请两根“小短绳”到前面来，大家仔细观察，把两根短绳连起来要打几个结？
生3：打1个结。
师：再来一个小朋友。现在要打几个结？
生4：打2个结。
……
（依次增加1个学生，直到有8个学生手拉手站成一条线）
师；有了8根小短绳了，现在要打几个结？
生5：打7个结。
师：你们有什么发现吗？
生6：每多一个小朋友就多一个结。
生7：我还知道9根小短绳就要打8个结，10根小短绳就要打9个结。
师：你真厉害！
新教材在低年级也增设了“思考题”，通过呈现一些有趣的数学现象，引导学生在探索规律、解决问题的过程中了解数学知识，积累数学活动经验，培养学生学习数学的兴趣。这更好地体现了数学教学要强调数学发现、数学探究、数学思考的改革方向。但是，对低年级的学生而言，抽象的思考只有附着在生动、具体的直观学习上，才会学得清晰，学得深刻。学生的手拉手的场景和绳子打结之间具有形式上的相似性和本质上的相通性，让学生用萌萌的体态语言直观地诠释了绳子打结这一有趣的数学现象，经历了一次初步的由简单到复杂的探索过程，学生不仅发现了“9根小短绳就要打8个结，10根小短绳就要打9个结”的规律，还概括出“结的个数比绳子的个数少一个”的结论，是十分难得的。
上述三个案例，分别从身体触摸、学具使用、行为表演等方面为我们提供了儿童利用直观操作来进行数学学习的成功做法。正是因为有了身体、行为、工具的参与，学生的学习思维就有了支撑，变得丰富而具体，生动且深刻。当然，“直观操作”的形式还有很多，譬如拼搭、游戏、演示、实验等，在数学学习中都可以有非常广泛的应用。有的时候，操作还可以在脑中通过回忆、联想、想象来完成，那样，就是更高级别的思维水平和学习水平了。如果这样的活动不是教师的刻意引导，而变成学生的一种主动意识，那就真的成为一种数学素养和基础学力。
（责编 金 铃）