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[摘 要]课堂教学中，教师应基于图形直观渗透模型思想，发展学生的数学思维。通过对教学案例的反思与分析，教师要善于因人而异、因时制宜、因材施教，引导学生逐步积累借助图形直观分析数量关系的经验，掌握建模的方法。
[关键词]图形直观 模型思想 数学思维
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）02-020
案例：
苏教版小学数学二年级下册P67第13题（如下图），求小玲家离学校多少米。
为了解学生利用图形直观解决问题的实际能力，在期末复习中，我让学生练习这道题，然而练习的反馈情况并不乐观。学生错误情况的分类统计如下：①700-400（5人）；②700 500（6人）；③500 400（6人）；④700 400 500（3人）；⑤400 700 500-400（2人）；⑥700-400 700-400（1人）。通过与出错学生的交流，我了解到了他们真实的思考过程，并分析了他们产生错误的原因：一是不能正确读图，不了解线段所表示的真正含义；二是没有图文结合，将“求小玲家离学校多少米”简单理解成“求大生家到学校的路程；三是从线段图中提炼不出正确的数量关系，导致解决问题时想到哪算到哪。那么，该怎样引导学生读懂线段图，领会内在的数量关系，积累借助图形直观分析数量关系的经验，形成解决问题的策略呢？我设计如下的教学过程。
一、从现实情景中抽象
师：我们班有男生25人、女生24人，我们班一共有学生——
生：49人。
师：你能画图表示出这些数量吗？（通过比较，学生一致认为在数量比较多时，画线段图表示比较简单、便捷）
师（在黑板上画线段图，略）：你能指出男生人数、女生人数、全班人数对应的线段吗？（师根据学生的回答，在图中板书各种名称和数量）
师：相对于男生、女生人数来说，全班人数比较——（多）那求全班人数用——
生：加法，即男生人数 女生人数。
师：和全班人数比，男生或女生人数比较——（少）那求男生或女生人数用——
生：减法。
师（擦去线段图上的文字说明，写上序号，如下图）：我们今后解决问题时，会经常用到这样的线段图。如果要求线段③所表示的较大数时，可以怎样算？
生：用加法。
师：要求线段①或线段②表示的较小数呢？
生：用减法。
师：下面请同桌之间相互指出线段图中的较大数或较小数，再说一说求这个数的计算方法，看谁说得正确、流利。
……
二、在举一反三中巩固
根据相关的数量，说出数量关系式。
（1）全班人数、会游泳人数、不会游泳人数，（ ） （ ）=（ ）。
（2）书的总页数、已看页数、剩下页数，（ ） （ ）=（ ）。
（3）原来本数、借出本数、现在本数，（ ） （ ）=（ ）。
（4）原来人数、下车人数、现在人数，（ ） （ ）=（ ）。
（5）原来人数、上车人数、现在人数，（ ） （ ）=（ ）。
生1：第（5）题答案为“现在人数 上车人数=原来人数”。
师：有不同意见吗？
生2：我认为应该是“原来人数 上车人数=现在人数”。
师：第（4）题是“下车人数 现在人数=原来人数”，这道题为什么不一样呢？你能到讲台上指着黑板上的线段图，向大家说说你的想法吗？
生3（边指边说）：第（4）题中是“下车”，指有人下车了，那现在车上的人数就比原来少了；而第（5）题中是“上车”，有人上车后，车上的人变多了，所以“现在人数”才是较大数，求较大数用加法。
师：同学们同意他的观点吗？（同意）是的，生活中有些数量关系看起来相同，可实际上却并不一样。我们在解决问题时，如果遇到困难，可以借助线段图来明晰这些数量间的关系。在我们的生活中，还有很多数量关系也能用这样的线段图来表示，你们能举出这样的例子吗？
……
三、在运用过程中发展
1.再次完成教材中的第13题
师：你能从图中了解到哪些数学信息？要解决什么问题呢？ （学生思考后，师指名汇报）
师（指着小玲家离学校的路程对应的线段）：要求这段路程，是求较大数还是较小数呢？应该怎样算？先在自己的练习纸上指一指、说一说，然后在四人小组内交流。
生1：我们把它看成较大数，用学校到大生家的长度（路程）加上大生家到小玲家的长度（路程）。
师：那该怎样计算呢？
生1：700-400=300（米），300 500=800（米）。
师：你刚才说把它看成较大数，用加法，为什么列式的时候先减呢？
生1：因为题中没有告诉我们学校到大生家的路程。
师：你能上来指着图，解释给大家听吗？
生1（随手拿过旁边的黑板贴，把“500米”遮住，如下图）：和小军家到大生家的路程相比，学校到大生家的长度是较小数，先用700-400=300（米）。
师：然后呢？
生1（把黑板贴移到左边，如下图）：再求较大数，即300 500=800（米）。
师：他的想法对吗？（学生点头认同）有不同的想法吗？
生2：我把小玲家离学校的长度看成较小数，用小军家到小玲家的长度-小军家到学校的长度，列式式为700 500-400。
师：他的说法对吗？（生无异议）刚才两位同学的解答方法虽然不同，但都是在理解题目意思的基础上，结合线段图提炼出了正确的数量关系，并且找准其中的对应数据。（板书：一找数量关系；二要找准数据）在求小玲家离学校的路程时，有同学列出了以下的算式，你能找出其中的错误吗？ ①700-400 ②700 500 ③500 400
④700 400 500 ⑤400 700 500-400
……
2.巩固练习
（1）如下图，张丽家到刘阳家有285米，到学校有485米。李乙家到学校有360米，到刘阳家有多少米？到张丽家呢？（课本P82第6题）
（2）一趟从上海开往南京的列车共有610个座位，其中一等座51个，其余的是二等座。列车出发时有498位乘客坐二等座，二等座还有多少个空座位？（课本P83第11题）
鸭蛋和鸡蛋一共有多少个？（课本P67第18题）
（4）白云小学六年级订《科学画报》205份，五年级比六年级少订67份，四年级比五年级少订39份。四年级订了多少份？（课本P79第5题）
……
反思：
几何直观对于学生数学学习的帮助是显而易见的，然而“是否真正理解了几何直观的数学意义”“是否能从解决问题的需要出发找到合适的直观模型”等一系列问题，是学生解决问题过程中经常遇到的障碍。在日常教学中，特别是低年级的数学教学，不少教师认为该学段学生遇到的问题大多是生活化、图形化的直观题，没有必要进行画图的操作，因为这样既费力费时，效率又不高。然而，以上复习课教学设计的缘由和经历却让我深有感触。
1.简单中的不简单
期末复习中让学生练习前，我简单地认为题目中已经画出了线段图，并填上了部分数学信息，数据也比较简单，学生只要找到所求问题对应的线段，就能正确、快速地解决问题了。而且，这道题在之前新课学习中已经练习过，绝大部分学生应该熟悉这道题的思考过程。然而，学生将近一半的错误率还是让我倒吸了一口冷气。在调查错误原因和静心分析后，我深深地认识到这道题不简单。加减法相关的实际问题在一、二年级每个学期都有练习，只是数的大小不同而已。学生对于加、减法意义的认识或源于对题目中关键词的理解，或借助对一个个图像组成的模型的观察，有时还通过手势的分与合来表示减和加。而以线段图形式出现的两地之间的距离问题显然不太容易激发学生对已有模型产生联想，他们不清楚如何用已理解掌握的数学模型去解释图中所呈现的数量关系。因此，帮助学生建立基于线段图的求和模型，理解图中所呈现的数量关系，也就成了本节课教学的主要任务。在教学开始阶段，我通过比较让学生明白在数量比较多时画线段图表示比较简单，既使他们感悟到线段图直观的独特价值，又在潜移默化中引导学生将单个图形组成的求和模型进一步抽象为线段图形式的求和模型，使学生的数学思考能力得到了发展。
2.不简单中的简单
“模型思想作为一种思想，要真正使学生有所感悟，需要经历一个长期的过程。”为了完成这个不简单的任务，教师要坚持做好一件“简单”的事，那就是以严谨、务实的态度关注每天的教学反馈，不断反思、改进自己的教学行为，将模型思想的渗透进行到底。本课教学中，在调查分析学生产生错误的原因后，我以线段图式求和模型的建立、理解、运用为主线，结合具体的数学问题解决引导学生展开思考。在运用模型解决问题的过程中，学生为了说清自己所提炼的数学模型，竟然想到了用黑板贴遮住无关的数学信息，形象且巧妙地将较复杂的数量关系转化为已经认识与理解的求和模型。这里蕴含的转化思想，不仅让我感叹于学生解决问题的灵活性，而且让我惊讶于学生在思考过程中所呈现的创造力。
数学思想的建立和运用看似抽象，却真实地存在于我们的课堂上，渗透于问题解决的过程之中。作为数学教师，要善于因人而异、因时制宜、因材施教，引导学生在问题解决过程中逐步积累经验，掌握建模方法，形成运用模型进行思维的习惯，从而提高学生的数学素养。
（责编 杜 华）
[关键词]图形直观 模型思想 数学思维
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）02-020
案例：
苏教版小学数学二年级下册P67第13题（如下图），求小玲家离学校多少米。
为了解学生利用图形直观解决问题的实际能力，在期末复习中，我让学生练习这道题，然而练习的反馈情况并不乐观。学生错误情况的分类统计如下：①700-400（5人）；②700 500（6人）；③500 400（6人）；④700 400 500（3人）；⑤400 700 500-400（2人）；⑥700-400 700-400（1人）。通过与出错学生的交流，我了解到了他们真实的思考过程，并分析了他们产生错误的原因：一是不能正确读图，不了解线段所表示的真正含义；二是没有图文结合，将“求小玲家离学校多少米”简单理解成“求大生家到学校的路程；三是从线段图中提炼不出正确的数量关系，导致解决问题时想到哪算到哪。那么，该怎样引导学生读懂线段图，领会内在的数量关系，积累借助图形直观分析数量关系的经验，形成解决问题的策略呢？我设计如下的教学过程。
一、从现实情景中抽象
师：我们班有男生25人、女生24人，我们班一共有学生——
生：49人。
师：你能画图表示出这些数量吗？（通过比较，学生一致认为在数量比较多时，画线段图表示比较简单、便捷）
师（在黑板上画线段图，略）：你能指出男生人数、女生人数、全班人数对应的线段吗？（师根据学生的回答，在图中板书各种名称和数量）
师：相对于男生、女生人数来说，全班人数比较——（多）那求全班人数用——
生：加法，即男生人数 女生人数。
师：和全班人数比，男生或女生人数比较——（少）那求男生或女生人数用——
生：减法。
师（擦去线段图上的文字说明，写上序号，如下图）：我们今后解决问题时，会经常用到这样的线段图。如果要求线段③所表示的较大数时，可以怎样算？
生：用加法。
师：要求线段①或线段②表示的较小数呢？
生：用减法。
师：下面请同桌之间相互指出线段图中的较大数或较小数，再说一说求这个数的计算方法，看谁说得正确、流利。
……
二、在举一反三中巩固
根据相关的数量，说出数量关系式。
（1）全班人数、会游泳人数、不会游泳人数，（ ） （ ）=（ ）。
（2）书的总页数、已看页数、剩下页数，（ ） （ ）=（ ）。
（3）原来本数、借出本数、现在本数，（ ） （ ）=（ ）。
（4）原来人数、下车人数、现在人数，（ ） （ ）=（ ）。
（5）原来人数、上车人数、现在人数，（ ） （ ）=（ ）。
生1：第（5）题答案为“现在人数 上车人数=原来人数”。
师：有不同意见吗？
生2：我认为应该是“原来人数 上车人数=现在人数”。
师：第（4）题是“下车人数 现在人数=原来人数”，这道题为什么不一样呢？你能到讲台上指着黑板上的线段图，向大家说说你的想法吗？
生3（边指边说）：第（4）题中是“下车”，指有人下车了，那现在车上的人数就比原来少了；而第（5）题中是“上车”，有人上车后，车上的人变多了，所以“现在人数”才是较大数，求较大数用加法。
师：同学们同意他的观点吗？（同意）是的，生活中有些数量关系看起来相同，可实际上却并不一样。我们在解决问题时，如果遇到困难，可以借助线段图来明晰这些数量间的关系。在我们的生活中，还有很多数量关系也能用这样的线段图来表示，你们能举出这样的例子吗？
……
三、在运用过程中发展
1.再次完成教材中的第13题
师：你能从图中了解到哪些数学信息？要解决什么问题呢？ （学生思考后，师指名汇报）
师（指着小玲家离学校的路程对应的线段）：要求这段路程，是求较大数还是较小数呢？应该怎样算？先在自己的练习纸上指一指、说一说，然后在四人小组内交流。
生1：我们把它看成较大数，用学校到大生家的长度（路程）加上大生家到小玲家的长度（路程）。
师：那该怎样计算呢？
生1：700-400=300（米），300 500=800（米）。
师：你刚才说把它看成较大数，用加法，为什么列式的时候先减呢？
生1：因为题中没有告诉我们学校到大生家的路程。
师：你能上来指着图，解释给大家听吗？
生1（随手拿过旁边的黑板贴，把“500米”遮住，如下图）：和小军家到大生家的路程相比，学校到大生家的长度是较小数，先用700-400=300（米）。
师：然后呢？
生1（把黑板贴移到左边，如下图）：再求较大数，即300 500=800（米）。
师：他的想法对吗？（学生点头认同）有不同的想法吗？
生2：我把小玲家离学校的长度看成较小数，用小军家到小玲家的长度-小军家到学校的长度，列式式为700 500-400。
师：他的说法对吗？（生无异议）刚才两位同学的解答方法虽然不同，但都是在理解题目意思的基础上，结合线段图提炼出了正确的数量关系，并且找准其中的对应数据。（板书：一找数量关系；二要找准数据）在求小玲家离学校的路程时，有同学列出了以下的算式，你能找出其中的错误吗？ ①700-400 ②700 500 ③500 400
④700 400 500 ⑤400 700 500-400
……
2.巩固练习
（1）如下图，张丽家到刘阳家有285米，到学校有485米。李乙家到学校有360米，到刘阳家有多少米？到张丽家呢？（课本P82第6题）
（2）一趟从上海开往南京的列车共有610个座位，其中一等座51个，其余的是二等座。列车出发时有498位乘客坐二等座，二等座还有多少个空座位？（课本P83第11题）
鸭蛋和鸡蛋一共有多少个？（课本P67第18题）
（4）白云小学六年级订《科学画报》205份，五年级比六年级少订67份，四年级比五年级少订39份。四年级订了多少份？（课本P79第5题）
……
反思：
几何直观对于学生数学学习的帮助是显而易见的，然而“是否真正理解了几何直观的数学意义”“是否能从解决问题的需要出发找到合适的直观模型”等一系列问题，是学生解决问题过程中经常遇到的障碍。在日常教学中，特别是低年级的数学教学，不少教师认为该学段学生遇到的问题大多是生活化、图形化的直观题，没有必要进行画图的操作，因为这样既费力费时，效率又不高。然而，以上复习课教学设计的缘由和经历却让我深有感触。
1.简单中的不简单
期末复习中让学生练习前，我简单地认为题目中已经画出了线段图，并填上了部分数学信息，数据也比较简单，学生只要找到所求问题对应的线段，就能正确、快速地解决问题了。而且，这道题在之前新课学习中已经练习过，绝大部分学生应该熟悉这道题的思考过程。然而，学生将近一半的错误率还是让我倒吸了一口冷气。在调查错误原因和静心分析后，我深深地认识到这道题不简单。加减法相关的实际问题在一、二年级每个学期都有练习，只是数的大小不同而已。学生对于加、减法意义的认识或源于对题目中关键词的理解，或借助对一个个图像组成的模型的观察，有时还通过手势的分与合来表示减和加。而以线段图形式出现的两地之间的距离问题显然不太容易激发学生对已有模型产生联想，他们不清楚如何用已理解掌握的数学模型去解释图中所呈现的数量关系。因此，帮助学生建立基于线段图的求和模型，理解图中所呈现的数量关系，也就成了本节课教学的主要任务。在教学开始阶段，我通过比较让学生明白在数量比较多时画线段图表示比较简单，既使他们感悟到线段图直观的独特价值，又在潜移默化中引导学生将单个图形组成的求和模型进一步抽象为线段图形式的求和模型，使学生的数学思考能力得到了发展。
2.不简单中的简单
“模型思想作为一种思想，要真正使学生有所感悟，需要经历一个长期的过程。”为了完成这个不简单的任务，教师要坚持做好一件“简单”的事，那就是以严谨、务实的态度关注每天的教学反馈，不断反思、改进自己的教学行为，将模型思想的渗透进行到底。本课教学中，在调查分析学生产生错误的原因后，我以线段图式求和模型的建立、理解、运用为主线，结合具体的数学问题解决引导学生展开思考。在运用模型解决问题的过程中，学生为了说清自己所提炼的数学模型，竟然想到了用黑板贴遮住无关的数学信息，形象且巧妙地将较复杂的数量关系转化为已经认识与理解的求和模型。这里蕴含的转化思想，不仅让我感叹于学生解决问题的灵活性，而且让我惊讶于学生在思考过程中所呈现的创造力。
数学思想的建立和运用看似抽象，却真实地存在于我们的课堂上，渗透于问题解决的过程之中。作为数学教师，要善于因人而异、因时制宜、因材施教，引导学生在问题解决过程中逐步积累经验，掌握建模方法，形成运用模型进行思维的习惯，从而提高学生的数学素养。
（责编 杜 华）