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笔者曾参加广东省高中教学水平的一次评估活动，听到了一批能够比较好地体现新课程的精神和理念，教与学的方式明显改善，课堂面貌为之一新的高中数学课。欣喜之余，结合本地区的教学实际进行反思，觉得当前新课程教学中还有一些亟待克服和纠正的问题。下面，仅就数学课堂教学中合作学习的有关问题提出来，与大家共同探讨，以期更加科学有效地推进新课程。
普通高中数学课程标准对合作学习提出了明确要求：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等数学学习方式。”然而，在当前的数学教学中，学生的合作学习却往往存在这样一些问题：一方面，让学生讨论一些简单枯燥的解题技巧和计算结果，或是感性地认识数学概念和止于分析数学问题的表象，其结果是难以激发学生的求知欲望、学习兴趣与参与意识，合作学习显得平淡空洞；一方面，问题的思维层次要求较高，只能是个别学生能够达到或者都不能达到，以至于学生力不从心，欲进不能，欲罢不忍，合作学习变得沉闷压抑。前者是合作学习任务简单，问题缺乏思考价值，难以诱导学生深入探讨；后者是合作学习任务艰巨，问题的难度过大，脱离学生的实际水平，讨论难以展开。简而言之，这些现象的发生都是因为在不适宜的时候或地方开展了合作学习，使得合作学习不具有参与性和可行性，以至于收效甚微，陷入形式主义的困境。
如何找准数学教学中合作学习的切入点，从而使课堂中的合作学习能有效展开？除了考虑到课堂内合作学习受时空、资源局限等特点以及学情因素外，还必须考虑数学学科本身的学习规律和特点。为了让学生在数学课堂中开展合作学习时“有话可说（合作学习的展开），说得到位（合作学习的深入）”，可从下面几个角度切入，去设计或实施合作学习。
1. 对数学概念深化理解时，可开展合作学习
一般来讲，对数学概念的深化理解具有一定的层次性和多元性，包括对概念本质和概念形式的理解与掌握，而学生的基础与理解能力是有差异的。这样，只要问题设计得当，予以启发诱导，学生就能“有所思，有所说”，从而形成踊跃发言、积极交流的场面并深入下去。比如，在函数的奇偶性教学中，教师引导学生从一些具体函数中，让学生归纳发现有些函数具有f（-x）=-f（x）,或f（-x）=f（x）的特点，从而获得奇函数和偶函数的概念（独立学习与教师引导）。在此基础上，教师可设计一组问题：奇函数、偶函数都对定义域有什么要求（考察一组定义域关于原点对称或不对称的具体函数）？要判断函数的奇偶性首先应该做什么？根据这组问题，组织学生进行合作学习。实践证明，这些问题符合学生的知识经验与认知水平，容易形成讨论的层次和不同视角，学生合作学习的效果优于教师直接向学生传授结论，实现了对数学概念进行深化理解的教学目的。
2. 用联系的观点解决问题时，可开展合作学习
数学知识之间存在着普遍的联系性，这是数学的一大特点。能否自觉应用联系的观点，把数学知识贯通起来综合解决数学问题，这是培养学生的数学思维能力，增强数学素养的重要教学环节与过程。处在这样的学习过程中，学生头脑中的知识就会产生纵横联系并得以有效提取，思想方法随之广泛展开，进而从多种角度和多个渠道产生数学问题的解决方案，这就为每个学生不同的思维方式和特点提供了展示的平台。这时教师若组织开展合作学习，往往会产生超出课前预设的结果，即精彩的课堂生成。在数学问题的解决过程中，只要找到一个恰当的知识“媒介”，就会架起数学问题互相转换的桥梁，不仅使问题迎刃而解，而且还有别有洞天的感觉。平面向量就是具有这种“媒介”作用的典型代表，许多几何问题和代数问题通过向量的联系与沟通实现互相转换。比如，直线l1 // l2（几何问题）?圳向量a//b?圳x1y2-x2y1=0（代数问题），直线l1⊥l2（几何问题）?圳向量a⊥b?圳x1x2+y1y2=0（代数问题）（其中，a、b分别是直线l1、l2上的向量）。因此，在平面向量的教学中，每当遇到“平行、垂直”的问题时， 都可以组织学生开展一些相关的合作学习，帮助学生有效实现知识间的相互转换，提高综合应用数学知识解决问题的能力。
3. 当总结方法与规律时，可开展合作学习
对数学模块的学习方法和规律进行总结，是新课程数学标准所要求的，它从认知策略的角度培养学生的学习能力，提升数学素养，为学生的终身发展奠基。而对每个数学模块的学习方法与规律，每个学生都会有感悟，有心得，即认知心理体验，而且每人都会有不同的精彩。此时，教师若组织合作学习，学生最易产生共同话题，实现成果分享。在学习立体几何的过程中，学生经过系列的定理学习和习题训练后，再通过合作学习，便会更容易形成一个共识：立体几何的很多结论都可以与平面几何进行相关的类比和推广（这是学习立体几何的一个基本规律，也不失为一个好方法）。比如，在一次课堂上，学完多面体（柱、锥、台）体积公式后，学生通过小组合作学习，类比平面几何的相关面积公式，获得了如下的一组关系：
S平行四边形=ah■S梯形=■（a+b）h■S三角形=■ah（其中，b、a为上下底边长，h为高）
对比：
V柱体=Sh■V台体=■（S′+■+S）h■V椎体=■Sh（其中，S′、S为上、下底面积，h为高）
甚至有的小组指出：面积公式中的“2”代表二维平面；体积公式中的“3”代表三维空间。这是多么好的集体创意啊！如此一番地对知识揉合打包，无论对知识的理解还是运用都是大有裨益的。
综上所述，只要我们找准角度，在恰当的时机开展合作学习，就能收到合作学习在数学课堂中的应有效果。此外，必须指出的是，当有些数学知识必须经过个体感悟、体验与内化获得时，或有些数学问题需要深度探究时，都不宜开展合作学习，更没有必要每堂课都有合作学习。
责任编辑 罗 峰
普通高中数学课程标准对合作学习提出了明确要求：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等数学学习方式。”然而，在当前的数学教学中，学生的合作学习却往往存在这样一些问题：一方面，让学生讨论一些简单枯燥的解题技巧和计算结果，或是感性地认识数学概念和止于分析数学问题的表象，其结果是难以激发学生的求知欲望、学习兴趣与参与意识，合作学习显得平淡空洞；一方面，问题的思维层次要求较高，只能是个别学生能够达到或者都不能达到，以至于学生力不从心，欲进不能，欲罢不忍，合作学习变得沉闷压抑。前者是合作学习任务简单，问题缺乏思考价值，难以诱导学生深入探讨；后者是合作学习任务艰巨，问题的难度过大，脱离学生的实际水平，讨论难以展开。简而言之，这些现象的发生都是因为在不适宜的时候或地方开展了合作学习，使得合作学习不具有参与性和可行性，以至于收效甚微，陷入形式主义的困境。
如何找准数学教学中合作学习的切入点，从而使课堂中的合作学习能有效展开？除了考虑到课堂内合作学习受时空、资源局限等特点以及学情因素外，还必须考虑数学学科本身的学习规律和特点。为了让学生在数学课堂中开展合作学习时“有话可说（合作学习的展开），说得到位（合作学习的深入）”，可从下面几个角度切入，去设计或实施合作学习。
1. 对数学概念深化理解时，可开展合作学习
一般来讲，对数学概念的深化理解具有一定的层次性和多元性，包括对概念本质和概念形式的理解与掌握，而学生的基础与理解能力是有差异的。这样，只要问题设计得当，予以启发诱导，学生就能“有所思，有所说”，从而形成踊跃发言、积极交流的场面并深入下去。比如，在函数的奇偶性教学中，教师引导学生从一些具体函数中，让学生归纳发现有些函数具有f（-x）=-f（x）,或f（-x）=f（x）的特点，从而获得奇函数和偶函数的概念（独立学习与教师引导）。在此基础上，教师可设计一组问题：奇函数、偶函数都对定义域有什么要求（考察一组定义域关于原点对称或不对称的具体函数）？要判断函数的奇偶性首先应该做什么？根据这组问题，组织学生进行合作学习。实践证明，这些问题符合学生的知识经验与认知水平，容易形成讨论的层次和不同视角，学生合作学习的效果优于教师直接向学生传授结论，实现了对数学概念进行深化理解的教学目的。
2. 用联系的观点解决问题时，可开展合作学习
数学知识之间存在着普遍的联系性，这是数学的一大特点。能否自觉应用联系的观点，把数学知识贯通起来综合解决数学问题，这是培养学生的数学思维能力，增强数学素养的重要教学环节与过程。处在这样的学习过程中，学生头脑中的知识就会产生纵横联系并得以有效提取，思想方法随之广泛展开，进而从多种角度和多个渠道产生数学问题的解决方案，这就为每个学生不同的思维方式和特点提供了展示的平台。这时教师若组织开展合作学习，往往会产生超出课前预设的结果，即精彩的课堂生成。在数学问题的解决过程中，只要找到一个恰当的知识“媒介”，就会架起数学问题互相转换的桥梁，不仅使问题迎刃而解，而且还有别有洞天的感觉。平面向量就是具有这种“媒介”作用的典型代表，许多几何问题和代数问题通过向量的联系与沟通实现互相转换。比如，直线l1 // l2（几何问题）?圳向量a//b?圳x1y2-x2y1=0（代数问题），直线l1⊥l2（几何问题）?圳向量a⊥b?圳x1x2+y1y2=0（代数问题）（其中，a、b分别是直线l1、l2上的向量）。因此，在平面向量的教学中，每当遇到“平行、垂直”的问题时， 都可以组织学生开展一些相关的合作学习，帮助学生有效实现知识间的相互转换，提高综合应用数学知识解决问题的能力。
3. 当总结方法与规律时，可开展合作学习
对数学模块的学习方法和规律进行总结，是新课程数学标准所要求的，它从认知策略的角度培养学生的学习能力，提升数学素养，为学生的终身发展奠基。而对每个数学模块的学习方法与规律，每个学生都会有感悟，有心得，即认知心理体验，而且每人都会有不同的精彩。此时，教师若组织合作学习，学生最易产生共同话题，实现成果分享。在学习立体几何的过程中，学生经过系列的定理学习和习题训练后，再通过合作学习，便会更容易形成一个共识：立体几何的很多结论都可以与平面几何进行相关的类比和推广（这是学习立体几何的一个基本规律，也不失为一个好方法）。比如，在一次课堂上，学完多面体（柱、锥、台）体积公式后，学生通过小组合作学习，类比平面几何的相关面积公式，获得了如下的一组关系：
S平行四边形=ah■S梯形=■（a+b）h■S三角形=■ah（其中，b、a为上下底边长，h为高）
对比：
V柱体=Sh■V台体=■（S′+■+S）h■V椎体=■Sh（其中，S′、S为上、下底面积，h为高）
甚至有的小组指出：面积公式中的“2”代表二维平面；体积公式中的“3”代表三维空间。这是多么好的集体创意啊！如此一番地对知识揉合打包，无论对知识的理解还是运用都是大有裨益的。
综上所述，只要我们找准角度，在恰当的时机开展合作学习，就能收到合作学习在数学课堂中的应有效果。此外，必须指出的是，当有些数学知识必须经过个体感悟、体验与内化获得时，或有些数学问题需要深度探究时，都不宜开展合作学习，更没有必要每堂课都有合作学习。
责任编辑 罗 峰