题目：已知双曲线的方程为X2-Y2=1，问：是否存在被点P（1，1）所平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，说明理由？
　　综合学生解题方法常出现下面二种解法：
　　解法一：设被点P（1，1）所平分的弦所在的直线方程为Y-1=K（X-1），即Y=K（X-1） 1代入双曲线方程为：X2-〔K（X-1） 1〕=1，整理得：（X2-2）X2-2K（K-1）X K2-2K 3=0……（1）
　　设弦与双曲线的交点为A（X1，Y1），B（X2，Y2）
　　由韦达定理及中点坐标公式得：
　　X1 X2==2解得K=2
　　故被点P所平分的弦存在，且弦所在的直线方程为Y=2（X-1） 1，即Y=2X-1
　　解法二：设被点P（1，1）所平分的弦的直线方程与双曲线的交点为A（X1，Y1），B（X2，Y2），则由中点坐标公式为：X1 X2=2，Y1 Y2=2
　　因为A、B在双曲线上，
　　所以得X12-=1…………①
　　X22-=1…………②
　　①-②得：X12-X22-（Y12-Y22）=0
　　即：（X1 X2）（X1-X2）=（Y1-Y2）（Y1 Y2）
　　整理得：==2故有KAB==2
　　所以存在被点P（1，1）平分的弦，其所在的直线方程为：Y-1=2（X-1），即Y=2X-1
　　向学生提出问题：这样解题正确吗？让学生充分地讨论；
　　这样学生就会积极地思考，问题出在哪里了。经过思考、讨论，甚至是争论，学生自己找出了问题的原因，就是忽视了判别式△≥0的必要条件，然后再公布正确的解法；
　　正解：在解法一中，作如下补充：
　　对于方程（1），当K≠±时，△=4K2（K-1）2-4K2（K-2）2.（K2-2K 3）≥0
　　解得K≤；当K=±时，代入方程（1）也有解，所以当K≤时，直线与双曲线才有公共点。而当P（1，1）是弦的中点时，由解法一得K=2与K≤矛盾，所以P点为中点弦的直线不能与双曲线相交，被点P平分的弦是不存在的。
　　对于解法二，补充如下条件：
　　由K=2得直线方程为Y=2X-1
　　因为直线与双曲线相交得：
　　Y=2X-1…………①
　　X2-=1…………②
　　①代入②得：2X2-4X 3=0
　　由△≥0得：△=16-4×2×3=-8<0
　　这说明我们假设直线与双曲线相交是不成立的。所以被点P平分的弦是不存在的。
　　本题型是直线与二次曲线关系常见的题型，教学中应强调判别式△=b2-4ac≥0必须满足的条件，为了加强印象，以后不再犯类似的错误，再出一道变式思考题，若将题中P的坐标设为（2，1），则能得出怎样的结论？