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【摘 要】在数学概念教学中，教师要十分重视表象的教学，这既符合认知发展规律，也符合儿童发展的特点。有效建立认知表象概括起来就是“先建立标准表象，然后用标准表象去‘量’”，在“量”的过程中，反过来又有助于标准表象的建立和巩固。教学上作如此处理，不仅适用于“毫米的认识”的教学，同时也适用于其他计量单位概念的教学。
【关键词】认知规律 标准 参照物 有效建立 认知表象
在数学概念教学中，教师要十分重视表象的教学，这既符合认知发展规律，也符合儿童发展的特点。因为三年级儿童虽然处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，但还是以形象思维为主，所以，教师必须充分运用并发挥表象的作用。但在目前教学中，特别是计量单位教学中，教师并不重视表象的建立，或是由于对参照物的误用，导致学生难以有效建立表象，不能真正理解、掌握、体验计量单位。下面笔者就以“毫米的认识”教学磨课为例，谈谈如何巧用“参照物”，有效建立表象。
第一次教学
【教学片段】
进一步认识1毫米，建立表象。
（说明：前面刚刚学习了尺子上的1毫米）
1. 用手比画1毫米。
师：1毫米究竟有多长，你能用手比画给大家看吗？
2. 借助学生卡比画1毫米。
师：不好比画吧？老师教大家一个好方法。拿出你的学生卡，这张卡的厚度是1毫米，请你仔细看一看，用手捏一捏这张卡，你有什么感觉？用手捏住，然后捏卡的两个手指保持不动，把卡抽出来。这时，我们两指间的这道缝的宽度大约就是1毫米。
学生按照教师的指导同步操作。
师：换一只手，不借助学生卡，用手势表示1毫米。再把学生卡插进去，比照一下，看自己表示得对不对。
3. 找生活中的1毫米。
师：生活中哪些物体的厚度大约是1毫米呢？
生：铅笔芯的厚度。
生：蚂蚁的长度。
生：头发丝的厚度。
生：学生卡的厚度。
……
学生举例后，教师再出示收集到的物品（光盘、1分硬币、部分纽扣、身份证、学生卡）。
4. 测量几张白纸的厚度是1毫米。
师：下面我们来做个游戏，好吗？这是一张纸的厚度（手上展示），猜一猜几张纸的厚度大约是1毫米？
生1：5张。
生2：10张。
生3：4张。
……
师：到底猜得对不对呢？我们来验证一下，数学书除封面外，从数学书中量出1毫米，然后数一数有几张，量的时候要注意，把纸捏紧。同桌两人合作，一个捏纸，一个量。（学生量，并汇报）
师（小结）：像我们数学书这样的纸，把它捏紧，10张纸的厚度大约就是1毫米。
【教学思考】
这四个环节是我们平时教学中经常能看到的，粗一看，这四个环节都非常好，用四种不同的学习活动帮助学生建立1毫米的表象，但仔细思考，这样的教学设计真的能有效帮助学生建立1毫米的表象吗？
1. 缺乏标准的建立。
数学表象是通过感知获得的，没有感知数学表象就不能形成。感知来自于具体的形象，来自于标准的建立。因此，没有具体的形象、标准就很难建立表象。
尺子上的1毫米和实物中的1毫米，从学生认知的角度讲是有差距的，尺子上的1毫米虽然抽象但是精准（或者说标准），实物中的1毫米虽然形象但存在误差。因此，学生刚刚初步感知了尺子上的1毫米，还尚未建立起1毫米的精确表象，这时教师希望通过“用手比画1毫米”“借助学生卡比画1毫米”“找生活中的1毫米”帮助学生建立1毫米的表象就显得有些急于求成。我们不妨作如下思考：这样做，是否有碍学生对1毫米的标准的理解？是否有碍学生正确建立对1毫米的表象呢？事实上，在实际教学中，当教师让学生用手比画1毫米的长度，学生比画的结果五花八门也不足为奇；当教师让学生举例生活中的1毫米，学生举了“铅笔芯的厚、蚂蚁的长、头发丝的厚、树叶柄的厚……”也是情理之中的事了。
2. 缺乏可操作性。
平时教学中，我们经常看到教师喜欢借助学生卡来比画1毫米，因为直接用手比画难度太大，所以想借助参照物来比画，这个主意确实不错。但笔者做过实验，“用手捏住，然后捏卡的两个手指保持不动，把卡抽出来”。这个动作说说容易，做起来非常困难，当把卡从两手指间抽出的时候，两手指由于惯性会不自觉地碰在一起，所以教师说的操作过程是非常理想化的状态，实际情况并非如此。
再者，当学生卡拔出后，这时展示在学生面前的是一个整体（两个手指和缝隙），不是只有一条缝隙的宽。课堂上，教师往往会提醒学生去关注那条缝隙的宽，但由于干扰太多，学生到底是关注缝隙的长多一些呢，还是关注缝隙的宽多一些呢？不得而知。但有一点可以肯定，让三年级的学生把所有注意力都集中到那条细缝的宽上去，估计是有难度的。
3. 缺乏估的“尺子”。
通过“测量几张白纸的厚度大约是1毫米”让学生感受1毫米的厚度，这个活动本身出发点和意图都很好，但是在测量之前，教师请学生猜一猜“几张白纸的厚度大约是1毫米”，这个提问站在学生角度讲，和前面环节——请学生举例哪些物体的厚度是1毫米，学生举例一张白纸的厚度，是矛盾的，前面学生还认为一张白纸的厚度大约是1毫米，现在教师又来问学生几张白纸的厚度大约是1毫米，学生在认知上产生了歧义。教师提问的目的是想让学生先估再测量，而从实际情况看，他们不能较准确、有方法地估，他们是凭感觉乱估。因此，在估之前，有必要先给学生提供估的“尺子”。
第二次教学
基于以上这些思考，笔者对这些环节重新进行调整，做了以下教学尝试。
【教学片段】
1.充分利用教学材料，建立标准1毫米的表象。 材料准备：1号学具袋：学生卡、一元硬币、白纸、4厘米厚的纽扣、泡沫纸各一份；2号学具袋：一小叠A4白纸，约20张。
第一次估：刚好是1毫米的实物。
师：刚才大家的表现都非常棒，下面我们来活动一下，好吗？请拿出抽屉里的1号学具袋。学具袋里有一元硬币、学生卡、白纸、纽扣、泡沫纸。
师：请大家根据刚才记在脑海里的1毫米，判断一下，这些物品里，哪些物品的厚度刚好是1毫米呢？如果记忆模糊了，可以一边看尺子上的1毫米，一边判断，就是不能量，看谁的眼力好。
学生反馈，认为是学生卡和泡沫纸的厚度刚好是1毫米。
第一次量。
师：到底是不是呢？请用尺子量一量，检验一下。
生：是的。
在建立有效表象之前，首先建立标准1毫米的表象是非常重要的。小学生对事物的观察特点是以具体、直观为主，因此，教学中不再需要学生凭空想象哪些物体的厚度是1毫米，而是利用学生熟悉的实物，先以尺子上的1毫米为参照，通过估一估、量一量，在比较、调整中帮助学生建立标准1毫米的表象。
2.充分运用参照物，巩固1毫米的表象。
第二次估：大于或小于1毫米的实物。
师：剩下还有3样东西，这3样东西里，哪些厚度是大于1毫米的，哪些是小于1毫米的呢？
生：一元硬币和纽扣的厚度大于1毫米，白纸的厚度小于1毫米。
师：学生卡的厚度我们知道了，刚好是1毫米，那你能不能用学生卡的厚度作参照，判断一下一元硬币的厚度和纽扣的厚度呢？请从抽屉里拿出这张表格，把你估的数填在表格里。
请生介绍估的方法。
生：一元硬币的厚度是借助学生卡估的。一元硬币大约有2张学生卡的厚度，所以一元硬币的厚度约2毫米。
生：纽扣的厚度也是借助学生卡估的。
生：我不是用学生卡估纽扣的厚度的，我是用一元硬币估纽扣的厚度的。我看了看，大约2个硬币的厚度刚好是纽扣的厚度，所以纽扣的厚度是4毫米。
师：你的方法很好，当纽扣比较厚时，你立马换硬币作参照进行估。这是一种很好的方法，根据实际情况，适当调整参照物。
第二次量。
师：估得到底对不对呢？检验一下。把测量的结果也写在表格上。
学生测量，全班反馈。
对标准1毫米的表象有了感知后，通过运用，强化这种感知是非常必要的。这个环节，笔者通过不断运用参照物，巩固标准1毫米的表象。这种运用首先体现在“估”上，利用标准1毫米的参照物估比1毫米大的和比1毫米小的物体，在估的过程中帮助学生建立1毫米的表象，培养学生估的意识和能力。然后体现在“量”上，只有亲身经历、体验过，才能建立深刻、丰富的表象，所以，“量”是非常重要的环节，不光有助于学生建立表象，还能使建立的表象更深刻。最后体现在“变换”上，估纽扣的厚度时，既可以用标准参照物估，也可以用一元硬币的厚度估，在变换中，不仅有助于建立1毫米的表象，同时也助于建立2毫米、4毫米的表象，让学生感受到，适时调整参照物，可以让估更简单、更准确。
3.充分利用对比，强化1毫米的表象。
第三次量：一张白纸的厚度。
师：还剩最后一样东西——白纸，白纸的厚度比1毫米小，那白纸的厚度为多少呢？请你测量一下。
学生操作，请学生谈感受。
生：白纸的厚度和1毫米的厚度相差有些大。
第三次估：几张白纸的厚度是1毫米。
师：既然白纸的厚度和1毫米相差比较大，那几张白纸的厚度大约是1毫米呢？先请你估一估。
生：8张。
生：10张。
生：11张。
第四次量。
师：到底估得对不对呢？我们来检验一下。请拿出2号学具袋，同桌两人合作，一个人捏白纸，一个人量，量出1毫米，数一数到底有几张。注意，量的时候要捏紧。
学生合作测量，最后得出，大约10张白纸的厚度是1毫米。
师：看到这个结果，你有什么想说的？
生：本来觉得1毫米挺短的，但和1张纸的厚度比，1毫米也挺长的。
师：10张纸的厚度大约是1毫米，我们知道了，但还是没有解决刚才的问题啊，“一张白纸的厚度到底是多少呢？”
让学生自由谈感想。
生：白纸的厚度太小了，用毫米也测量不出来。
生：需要用到比毫米更小的单位，才能测量出白纸的厚度。
从学生角度讲，学生一直认为1毫米是很短的，为了打破这种思维定式，教师特地设计“估、量几张白纸厚度大约是1毫米”的环节，通过对比“10张纸的多”和“1毫米的短”，让学生感受到“1毫米的长”，从反面帮助学生建立1毫米的表象。最后，教师再次提问“一张白纸的厚度到底是多少呢”，让学生体会到，为了实际测量的需要，还有比毫米更小的长度单位，渗透辩证唯物主义思想。
为了强化这种“对比”，教师特地先让学生测量一张白纸的厚度，通过测量，让学生感受到一张白纸的厚度和1毫米的差距是比较大的，打破学生认为一张白纸的厚度大约是1毫米的错误想法，同时也为“估几张白纸的厚度为1毫米”做好铺垫。
综观两次教学实践，我们发现环节目标都非常清晰，都是想建立1毫米的表象，但是第一次教学由于不清楚表象建立的特点，所以设计的教学过程不能很好地实现环节目标，而第二次教学正弥补了它的不足。在第二次教学中清晰地知道表象的建立必须借助形象，而且只一次运用形象是不够的，必须经过多次变换、反复运用才能有效地帮助学生建立表象，概括起来就是“先建立标准表象，然后用标准表象去‘量’”，在“量”的过程中，又反过来有助于标准表象的建立和巩固。教学上作如此处理，不仅适用于“毫米的认识”的教学，同时也适用于其他计量单位概念的教学。
参考文献：
[1] 人民教育出版社课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心编著. 义务教育教科书教师教学用书[M]. 北京：人民教育出版社，2014.
[2] 童彤.建立长度单位表象的三点思考[J]. 教学月刊小学版（数学）， 2014（10）.
[3] 李先梅.如何帮助学生建立表象[J]. 中小学数学（小学版） ，2013（1～2）.
[4] 华旦玲.数学表象的建立和运用[J]. 教育研究与评论（小学教育教学）， 2015（8）.
[5] 顾万春.试论表象在小学数学概念教学中的作用[J]. 江苏教育，1992（24）.
（浙江省诸暨市陶朱街道三益小学 311800）
【关键词】认知规律 标准 参照物 有效建立 认知表象
在数学概念教学中，教师要十分重视表象的教学，这既符合认知发展规律，也符合儿童发展的特点。因为三年级儿童虽然处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，但还是以形象思维为主，所以，教师必须充分运用并发挥表象的作用。但在目前教学中，特别是计量单位教学中，教师并不重视表象的建立，或是由于对参照物的误用，导致学生难以有效建立表象，不能真正理解、掌握、体验计量单位。下面笔者就以“毫米的认识”教学磨课为例，谈谈如何巧用“参照物”，有效建立表象。
第一次教学
【教学片段】
进一步认识1毫米，建立表象。
（说明：前面刚刚学习了尺子上的1毫米）
1. 用手比画1毫米。
师：1毫米究竟有多长，你能用手比画给大家看吗？
2. 借助学生卡比画1毫米。
师：不好比画吧？老师教大家一个好方法。拿出你的学生卡，这张卡的厚度是1毫米，请你仔细看一看，用手捏一捏这张卡，你有什么感觉？用手捏住，然后捏卡的两个手指保持不动，把卡抽出来。这时，我们两指间的这道缝的宽度大约就是1毫米。
学生按照教师的指导同步操作。
师：换一只手，不借助学生卡，用手势表示1毫米。再把学生卡插进去，比照一下，看自己表示得对不对。
3. 找生活中的1毫米。
师：生活中哪些物体的厚度大约是1毫米呢？
生：铅笔芯的厚度。
生：蚂蚁的长度。
生：头发丝的厚度。
生：学生卡的厚度。
……
学生举例后，教师再出示收集到的物品（光盘、1分硬币、部分纽扣、身份证、学生卡）。
4. 测量几张白纸的厚度是1毫米。
师：下面我们来做个游戏，好吗？这是一张纸的厚度（手上展示），猜一猜几张纸的厚度大约是1毫米？
生1：5张。
生2：10张。
生3：4张。
……
师：到底猜得对不对呢？我们来验证一下，数学书除封面外，从数学书中量出1毫米，然后数一数有几张，量的时候要注意，把纸捏紧。同桌两人合作，一个捏纸，一个量。（学生量，并汇报）
师（小结）：像我们数学书这样的纸，把它捏紧，10张纸的厚度大约就是1毫米。
【教学思考】
这四个环节是我们平时教学中经常能看到的，粗一看，这四个环节都非常好，用四种不同的学习活动帮助学生建立1毫米的表象，但仔细思考，这样的教学设计真的能有效帮助学生建立1毫米的表象吗？
1. 缺乏标准的建立。
数学表象是通过感知获得的，没有感知数学表象就不能形成。感知来自于具体的形象，来自于标准的建立。因此，没有具体的形象、标准就很难建立表象。
尺子上的1毫米和实物中的1毫米，从学生认知的角度讲是有差距的，尺子上的1毫米虽然抽象但是精准（或者说标准），实物中的1毫米虽然形象但存在误差。因此，学生刚刚初步感知了尺子上的1毫米，还尚未建立起1毫米的精确表象，这时教师希望通过“用手比画1毫米”“借助学生卡比画1毫米”“找生活中的1毫米”帮助学生建立1毫米的表象就显得有些急于求成。我们不妨作如下思考：这样做，是否有碍学生对1毫米的标准的理解？是否有碍学生正确建立对1毫米的表象呢？事实上，在实际教学中，当教师让学生用手比画1毫米的长度，学生比画的结果五花八门也不足为奇；当教师让学生举例生活中的1毫米，学生举了“铅笔芯的厚、蚂蚁的长、头发丝的厚、树叶柄的厚……”也是情理之中的事了。
2. 缺乏可操作性。
平时教学中，我们经常看到教师喜欢借助学生卡来比画1毫米，因为直接用手比画难度太大，所以想借助参照物来比画，这个主意确实不错。但笔者做过实验，“用手捏住，然后捏卡的两个手指保持不动，把卡抽出来”。这个动作说说容易，做起来非常困难，当把卡从两手指间抽出的时候，两手指由于惯性会不自觉地碰在一起，所以教师说的操作过程是非常理想化的状态，实际情况并非如此。
再者，当学生卡拔出后，这时展示在学生面前的是一个整体（两个手指和缝隙），不是只有一条缝隙的宽。课堂上，教师往往会提醒学生去关注那条缝隙的宽，但由于干扰太多，学生到底是关注缝隙的长多一些呢，还是关注缝隙的宽多一些呢？不得而知。但有一点可以肯定，让三年级的学生把所有注意力都集中到那条细缝的宽上去，估计是有难度的。
3. 缺乏估的“尺子”。
通过“测量几张白纸的厚度大约是1毫米”让学生感受1毫米的厚度，这个活动本身出发点和意图都很好，但是在测量之前，教师请学生猜一猜“几张白纸的厚度大约是1毫米”，这个提问站在学生角度讲，和前面环节——请学生举例哪些物体的厚度是1毫米，学生举例一张白纸的厚度，是矛盾的，前面学生还认为一张白纸的厚度大约是1毫米，现在教师又来问学生几张白纸的厚度大约是1毫米，学生在认知上产生了歧义。教师提问的目的是想让学生先估再测量，而从实际情况看，他们不能较准确、有方法地估，他们是凭感觉乱估。因此，在估之前，有必要先给学生提供估的“尺子”。
第二次教学
基于以上这些思考，笔者对这些环节重新进行调整，做了以下教学尝试。
【教学片段】
1.充分利用教学材料，建立标准1毫米的表象。 材料准备：1号学具袋：学生卡、一元硬币、白纸、4厘米厚的纽扣、泡沫纸各一份；2号学具袋：一小叠A4白纸，约20张。
第一次估：刚好是1毫米的实物。
师：刚才大家的表现都非常棒，下面我们来活动一下，好吗？请拿出抽屉里的1号学具袋。学具袋里有一元硬币、学生卡、白纸、纽扣、泡沫纸。
师：请大家根据刚才记在脑海里的1毫米，判断一下，这些物品里，哪些物品的厚度刚好是1毫米呢？如果记忆模糊了，可以一边看尺子上的1毫米，一边判断，就是不能量，看谁的眼力好。
学生反馈，认为是学生卡和泡沫纸的厚度刚好是1毫米。
第一次量。
师：到底是不是呢？请用尺子量一量，检验一下。
生：是的。
在建立有效表象之前，首先建立标准1毫米的表象是非常重要的。小学生对事物的观察特点是以具体、直观为主，因此，教学中不再需要学生凭空想象哪些物体的厚度是1毫米，而是利用学生熟悉的实物，先以尺子上的1毫米为参照，通过估一估、量一量，在比较、调整中帮助学生建立标准1毫米的表象。
2.充分运用参照物，巩固1毫米的表象。
第二次估：大于或小于1毫米的实物。
师：剩下还有3样东西，这3样东西里，哪些厚度是大于1毫米的，哪些是小于1毫米的呢？
生：一元硬币和纽扣的厚度大于1毫米，白纸的厚度小于1毫米。
师：学生卡的厚度我们知道了，刚好是1毫米，那你能不能用学生卡的厚度作参照，判断一下一元硬币的厚度和纽扣的厚度呢？请从抽屉里拿出这张表格，把你估的数填在表格里。
请生介绍估的方法。
生：一元硬币的厚度是借助学生卡估的。一元硬币大约有2张学生卡的厚度，所以一元硬币的厚度约2毫米。
生：纽扣的厚度也是借助学生卡估的。
生：我不是用学生卡估纽扣的厚度的，我是用一元硬币估纽扣的厚度的。我看了看，大约2个硬币的厚度刚好是纽扣的厚度，所以纽扣的厚度是4毫米。
师：你的方法很好，当纽扣比较厚时，你立马换硬币作参照进行估。这是一种很好的方法，根据实际情况，适当调整参照物。
第二次量。
师：估得到底对不对呢？检验一下。把测量的结果也写在表格上。
学生测量，全班反馈。
对标准1毫米的表象有了感知后，通过运用，强化这种感知是非常必要的。这个环节，笔者通过不断运用参照物，巩固标准1毫米的表象。这种运用首先体现在“估”上，利用标准1毫米的参照物估比1毫米大的和比1毫米小的物体，在估的过程中帮助学生建立1毫米的表象，培养学生估的意识和能力。然后体现在“量”上，只有亲身经历、体验过，才能建立深刻、丰富的表象，所以，“量”是非常重要的环节，不光有助于学生建立表象，还能使建立的表象更深刻。最后体现在“变换”上，估纽扣的厚度时，既可以用标准参照物估，也可以用一元硬币的厚度估，在变换中，不仅有助于建立1毫米的表象，同时也助于建立2毫米、4毫米的表象，让学生感受到，适时调整参照物，可以让估更简单、更准确。
3.充分利用对比，强化1毫米的表象。
第三次量：一张白纸的厚度。
师：还剩最后一样东西——白纸，白纸的厚度比1毫米小，那白纸的厚度为多少呢？请你测量一下。
学生操作，请学生谈感受。
生：白纸的厚度和1毫米的厚度相差有些大。
第三次估：几张白纸的厚度是1毫米。
师：既然白纸的厚度和1毫米相差比较大，那几张白纸的厚度大约是1毫米呢？先请你估一估。
生：8张。
生：10张。
生：11张。
第四次量。
师：到底估得对不对呢？我们来检验一下。请拿出2号学具袋，同桌两人合作，一个人捏白纸，一个人量，量出1毫米，数一数到底有几张。注意，量的时候要捏紧。
学生合作测量，最后得出，大约10张白纸的厚度是1毫米。
师：看到这个结果，你有什么想说的？
生：本来觉得1毫米挺短的，但和1张纸的厚度比，1毫米也挺长的。
师：10张纸的厚度大约是1毫米，我们知道了，但还是没有解决刚才的问题啊，“一张白纸的厚度到底是多少呢？”
让学生自由谈感想。
生：白纸的厚度太小了，用毫米也测量不出来。
生：需要用到比毫米更小的单位，才能测量出白纸的厚度。
从学生角度讲，学生一直认为1毫米是很短的，为了打破这种思维定式，教师特地设计“估、量几张白纸厚度大约是1毫米”的环节，通过对比“10张纸的多”和“1毫米的短”，让学生感受到“1毫米的长”，从反面帮助学生建立1毫米的表象。最后，教师再次提问“一张白纸的厚度到底是多少呢”，让学生体会到，为了实际测量的需要，还有比毫米更小的长度单位，渗透辩证唯物主义思想。
为了强化这种“对比”，教师特地先让学生测量一张白纸的厚度，通过测量，让学生感受到一张白纸的厚度和1毫米的差距是比较大的，打破学生认为一张白纸的厚度大约是1毫米的错误想法，同时也为“估几张白纸的厚度为1毫米”做好铺垫。
综观两次教学实践，我们发现环节目标都非常清晰，都是想建立1毫米的表象，但是第一次教学由于不清楚表象建立的特点，所以设计的教学过程不能很好地实现环节目标，而第二次教学正弥补了它的不足。在第二次教学中清晰地知道表象的建立必须借助形象，而且只一次运用形象是不够的，必须经过多次变换、反复运用才能有效地帮助学生建立表象，概括起来就是“先建立标准表象，然后用标准表象去‘量’”，在“量”的过程中，又反过来有助于标准表象的建立和巩固。教学上作如此处理，不仅适用于“毫米的认识”的教学，同时也适用于其他计量单位概念的教学。
参考文献：
[1] 人民教育出版社课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心编著. 义务教育教科书教师教学用书[M]. 北京：人民教育出版社，2014.
[2] 童彤.建立长度单位表象的三点思考[J]. 教学月刊小学版（数学）， 2014（10）.
[3] 李先梅.如何帮助学生建立表象[J]. 中小学数学（小学版） ，2013（1～2）.
[4] 华旦玲.数学表象的建立和运用[J]. 教育研究与评论（小学教育教学）， 2015（8）.
[5] 顾万春.试论表象在小学数学概念教学中的作用[J]. 江苏教育，1992（24）.
（浙江省诸暨市陶朱街道三益小学 311800）