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《义务教育数学课程标准（2011年）》将“双基”扩展为“四基”：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。积累基本活动经验，对于形成比较完整的数学认识过程、提升数学素养具有重要的意义。数学活动经验是学生在经历数学活动过程中获得的对数学的体验和认知，从维度上分为数学思想方法、数学思维方法、数学活动过程中的体验；也表现为静态和动态两个层面。笔者认为，引导学生进行多元的思维表征活动，是积累数学基本活动经验的主要途径。
数学活动经验具有主体性、过程性、内隐性、实践性等特征，因此它是学生悟出来的，想出来的，而不是教会的，因此积累活动经验总得依赖一些活动，动手操作的经验是基本活动经验，抽象的思考、探究的经验、数学语言表达的经验等也是基本活动经验的重要组成部分。我们应基于学生的朴素经验，让学生综合运用观察、操作、表述、游戏、小组讨论等生动活泼的形式，经历基于动作表征的经验向基于图像表征的经验再向基于符号与逻辑表征的经验获得过程，积累数学基本活动经验。下面就以《有余数的除法》的教学为例，谈谈如何以“表征”为突破口，帮助学生积累数学基本活动经验的相关策略。
一、关注动作表征，获得直接的感性活动经验
数学的本质方法常常隐含在朴素的经验和学生已有的知识中。比如对于《有余数除法》而言，学生的经验在于对物体进行平均分的活动经验、对有余数除法的模糊认识、乘加乘减、连续减法、表内除法解决问题的经验等。教学中，就可以从学生的感性经验入手，通过动手操作，化抽象为直观。
教学片段1：余数意义和有余数除法横式的意义
师：8根小棒可以摆几个正方形？你能用算式表示出来吗？
生：8÷4=2（个）。
师：9根小棒可以摆几个正方形呢？和刚才有什么不一样？
生：没有用完。
生：还多出1根。
师：如果我们拿10根、11根、12根小棒分别摆正方形，结果会怎么样？请你们摆一摆，并把结果记录在下面的表格里。（学生独立活动）
师（展示学生的活动成果）：用12根小棒，可以摆2个正方形，还余下4根，你认为可能吗？
生：不对，不可能多出4根。
生：余下的4根还可以再摆一个。
师：那可能余下5根、6根，甚至更多吗？
生：不可能的，因为这样的话还可以继续往下摆。
师：那么，余下的根数可能会是几根呢？最多不超过几？
生：可能会是1，2，3。
生：最多不会超过4。
师：其实余下的根数，在数学上有个名称叫余数。11根小棒能摆2个正方形，还余下3根。你能用算式来表示吗？
生：2×4=8（根），8+3=11（根）。
生：11－2×4=3（根）
生：11－4－4=3（根）
生：11÷4=2（个）还剩3根。
生：11÷4=2（个）加上3根。
师生交流评价这些方法，教师板书规范的有余数除法的横式，让学生说一说每一个数的名称与表示的意义。
……
学生在搭小棒写算式的过程中激活他们自身已有的感性经验。学生面对搭摆出的结果，如何在算式中表示，他们每人都有自己的不同的方法。学生最原始的算法往往体现了最基本的原理，从他们的策略中可以发现他们的思维轨迹。教师展示学生的成果，并说出每个数字或符号所表求的意思，这样学生就能主动地将“感性经验”加工、抽象成“数学符号”的原型，教师在此基础上，引导把这些方法进行优化，把除法算式跟小棒联系起来，化抽象为具体，又在具体中提升出抽象内涵，动手操作的活动经验也在这个过程中得到积累。
二、运用图形表征，关注活动经验的领悟过程
数学教学中的操作，不是为了操作而操作。具体的操作活动和背后的数学知识密切联系在一起，因此，要善于利用操作，帮助学生实现数学知识由表面到深层的理解。图形表征可以让学生在脑中画图，用示意图、草图等形式表现出来，是对动手操作的纠正、补充、细化和深化。在接触图形表征的过程中，学生不仅能够熟练、有序地完成操作，也可以对问题进行深层次的思考，形成更深刻的、个性化的认识和体验，使外在的操作真正内化为学生认识的动力，使数学教学走向深入，走向精彩。
教学片段2：
师：如果我们拿刚才的11根小棒，来摆△与，可以摆几个？还余下几根呢？请你们闭上眼睛想一想该怎么搭，再动手画一画，看看和脑子里想的是不是一样？然后用算式表示出来。
生：?摇?摇?摇?摇11÷3=3……2
生：?摇?摇?摇?摇11÷5=2……1
师：如果我们继续拿12根、13根、14根、15根，来摆△、，可以摆几个？还余下几根呢？请你们先在脑子里搭一搭，再用算式表示出来。（学生独立活动，交流反馈）
师：如果我们来搭三角形，余下的根数可能比3多吗？搭五边形呢？你发现了什么？（学生自由说，讨论得出余数必须比除数小）
……
通过图形操作丰富学生的活动经验，使动手操作之后产生的图形表征真正成为学生积极参与数学活动、形成数学形式化的有效中介，使他们更好地理解余数比除数小的关系。教师借助图形表征，在教学中关注学生数学活动经验的领悟过程，并帮助学生建立多重知识表象。
三、运用符号与逻辑表征，凸显活动经验的内化过程
在经历知识的形成过程中，注重数、形、义结合的符号与逻辑表征，凸显感性活动经验的内化过程，将使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学知识的本质，数学基本活动经验也在此过程中得以提升。
教学片段3：
1. 我们学过加法和减法的竖式，你想学除法竖式吗？你能把11÷5=2……1这个算式改写成除法竖式吗？
独立活动后，展示结果：
2. 你认为哪种方法最能反映出刚才我们摆小棒的过程？
教师说明在数学里，一般采用第二种方法，减号省略不写。教师在黑板上书写规范的竖式过程，学生模仿。
3. 说一说，竖式中的11、5、2、10、1分别表示什么？（教师指着横式、竖式中的数）请你在画的图中指一指相应的小棒：
11÷5=2……1
4. 同桌互相说一说每个数表示的意义，提出疑问：
（1）为什么商是2，可以是3吗？
（2）10是怎么算出来的，表示什么？
（3）1是怎么算出来的，表示什么？
（4）下面这两个竖式对吗？
5. 如果用15根小棒摆，可以摆几个？先列横式，再列竖式。这个竖式和刚才的有什么不一样？“0”怎么算出来的，表示什么？
……
以教师报横式、竖式的数字，学生指、说、圈图形相应的部位的形式，从情境中来到情境中去，促使学生理解横竖式中各部分表示的意义，沟通了图、数、义之间的联系，沟通乘法和除法之间的联系，沟通了整除和有余之间的联系，沟通了学生操作经验和数学符号之间的联系，使学生对除法竖式的每一步如何产生以及所表示的意义一清二楚，赋予了一个枯燥的数学竖式以现实意义。数字、图形和意义完美结合，让学生有话可说、有物可指、有图可圈，就像是抽象的数字与意义之间架起了一座桥梁，促进了学生的朴素活动经验到数学形式化的跨越。
（作者单位：浙江省富阳市富春第二小学 本专辑责任编辑：王彬）
数学活动经验具有主体性、过程性、内隐性、实践性等特征，因此它是学生悟出来的，想出来的，而不是教会的，因此积累活动经验总得依赖一些活动，动手操作的经验是基本活动经验，抽象的思考、探究的经验、数学语言表达的经验等也是基本活动经验的重要组成部分。我们应基于学生的朴素经验，让学生综合运用观察、操作、表述、游戏、小组讨论等生动活泼的形式，经历基于动作表征的经验向基于图像表征的经验再向基于符号与逻辑表征的经验获得过程，积累数学基本活动经验。下面就以《有余数的除法》的教学为例，谈谈如何以“表征”为突破口，帮助学生积累数学基本活动经验的相关策略。
一、关注动作表征，获得直接的感性活动经验
数学的本质方法常常隐含在朴素的经验和学生已有的知识中。比如对于《有余数除法》而言，学生的经验在于对物体进行平均分的活动经验、对有余数除法的模糊认识、乘加乘减、连续减法、表内除法解决问题的经验等。教学中，就可以从学生的感性经验入手，通过动手操作，化抽象为直观。
教学片段1：余数意义和有余数除法横式的意义
师：8根小棒可以摆几个正方形？你能用算式表示出来吗？
生：8÷4=2（个）。
师：9根小棒可以摆几个正方形呢？和刚才有什么不一样？
生：没有用完。
生：还多出1根。
师：如果我们拿10根、11根、12根小棒分别摆正方形，结果会怎么样？请你们摆一摆，并把结果记录在下面的表格里。（学生独立活动）
师（展示学生的活动成果）：用12根小棒，可以摆2个正方形，还余下4根，你认为可能吗？
生：不对，不可能多出4根。
生：余下的4根还可以再摆一个。
师：那可能余下5根、6根，甚至更多吗？
生：不可能的，因为这样的话还可以继续往下摆。
师：那么，余下的根数可能会是几根呢？最多不超过几？
生：可能会是1，2，3。
生：最多不会超过4。
师：其实余下的根数，在数学上有个名称叫余数。11根小棒能摆2个正方形，还余下3根。你能用算式来表示吗？
生：2×4=8（根），8+3=11（根）。
生：11－2×4=3（根）
生：11－4－4=3（根）
生：11÷4=2（个）还剩3根。
生：11÷4=2（个）加上3根。
师生交流评价这些方法，教师板书规范的有余数除法的横式，让学生说一说每一个数的名称与表示的意义。
……
学生在搭小棒写算式的过程中激活他们自身已有的感性经验。学生面对搭摆出的结果，如何在算式中表示，他们每人都有自己的不同的方法。学生最原始的算法往往体现了最基本的原理，从他们的策略中可以发现他们的思维轨迹。教师展示学生的成果，并说出每个数字或符号所表求的意思，这样学生就能主动地将“感性经验”加工、抽象成“数学符号”的原型，教师在此基础上，引导把这些方法进行优化，把除法算式跟小棒联系起来，化抽象为具体，又在具体中提升出抽象内涵，动手操作的活动经验也在这个过程中得到积累。
二、运用图形表征，关注活动经验的领悟过程
数学教学中的操作，不是为了操作而操作。具体的操作活动和背后的数学知识密切联系在一起，因此，要善于利用操作，帮助学生实现数学知识由表面到深层的理解。图形表征可以让学生在脑中画图，用示意图、草图等形式表现出来，是对动手操作的纠正、补充、细化和深化。在接触图形表征的过程中，学生不仅能够熟练、有序地完成操作，也可以对问题进行深层次的思考，形成更深刻的、个性化的认识和体验，使外在的操作真正内化为学生认识的动力，使数学教学走向深入，走向精彩。
教学片段2：
师：如果我们拿刚才的11根小棒，来摆△与，可以摆几个？还余下几根呢？请你们闭上眼睛想一想该怎么搭，再动手画一画，看看和脑子里想的是不是一样？然后用算式表示出来。
生：?摇?摇?摇?摇11÷3=3……2
生：?摇?摇?摇?摇11÷5=2……1
师：如果我们继续拿12根、13根、14根、15根，来摆△、，可以摆几个？还余下几根呢？请你们先在脑子里搭一搭，再用算式表示出来。（学生独立活动，交流反馈）
师：如果我们来搭三角形，余下的根数可能比3多吗？搭五边形呢？你发现了什么？（学生自由说，讨论得出余数必须比除数小）
……
通过图形操作丰富学生的活动经验，使动手操作之后产生的图形表征真正成为学生积极参与数学活动、形成数学形式化的有效中介，使他们更好地理解余数比除数小的关系。教师借助图形表征，在教学中关注学生数学活动经验的领悟过程，并帮助学生建立多重知识表象。
三、运用符号与逻辑表征，凸显活动经验的内化过程
在经历知识的形成过程中，注重数、形、义结合的符号与逻辑表征，凸显感性活动经验的内化过程，将使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学知识的本质，数学基本活动经验也在此过程中得以提升。
教学片段3：
1. 我们学过加法和减法的竖式，你想学除法竖式吗？你能把11÷5=2……1这个算式改写成除法竖式吗？
独立活动后，展示结果：
2. 你认为哪种方法最能反映出刚才我们摆小棒的过程？
教师说明在数学里，一般采用第二种方法，减号省略不写。教师在黑板上书写规范的竖式过程，学生模仿。
3. 说一说，竖式中的11、5、2、10、1分别表示什么？（教师指着横式、竖式中的数）请你在画的图中指一指相应的小棒：
11÷5=2……1
4. 同桌互相说一说每个数表示的意义，提出疑问：
（1）为什么商是2，可以是3吗？
（2）10是怎么算出来的，表示什么？
（3）1是怎么算出来的，表示什么？
（4）下面这两个竖式对吗？
5. 如果用15根小棒摆，可以摆几个？先列横式，再列竖式。这个竖式和刚才的有什么不一样？“0”怎么算出来的，表示什么？
……
以教师报横式、竖式的数字，学生指、说、圈图形相应的部位的形式，从情境中来到情境中去，促使学生理解横竖式中各部分表示的意义，沟通了图、数、义之间的联系，沟通乘法和除法之间的联系，沟通了整除和有余之间的联系，沟通了学生操作经验和数学符号之间的联系，使学生对除法竖式的每一步如何产生以及所表示的意义一清二楚，赋予了一个枯燥的数学竖式以现实意义。数字、图形和意义完美结合，让学生有话可说、有物可指、有图可圈，就像是抽象的数字与意义之间架起了一座桥梁，促进了学生的朴素活动经验到数学形式化的跨越。
（作者单位：浙江省富阳市富春第二小学 本专辑责任编辑：王彬）