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一、背景与理念
很多时候，我们在课堂教学中总会碰到这样一种情况：自己费劲心思、绞尽脑汁设计好一节课的教学过程，一旦拿到课堂中实践时，自认为千思熟虑、百密无疏的教学流程，在40几个学生面前原来是那么的不堪一击，学生总是会提出一些出乎意料的想法，出现一些意想不到的“错误”，这让很多老师感到无法适从。其实，细想一下也不难理解，因为我们所面对的学生并不是一张白纸，而是一群有着不同知识体验和生活积累、不同思维方式和解题策略的活生生的人。每个学生并不是空着脑袋走进课堂的，他们有着自己对数学的认识、理解与表达，只是和成人有所不同罢了。因此出现这样或那样的“错误”是必然的。一般情况下，学生经过思考后的“错误”总是包含着某种合理的成分，有的甚至隐藏着一种超常、一种独特。心理学家盖耶就曾说过：谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻。但在传统课堂中，我们教师却总是千方百计的避免或减少学生出现错误，习惯于用统一的答案去要求不同的学生，把一个个富有个性但又不乏创造性的想法（尽管有时是错误的）扼杀在萌芽状态，于是课堂上只能听到一种声音，看到一种答案。事实证明这样做不仅事与愿违，处置不当还会挫伤了学生的积极性和自尊心，让学生轻灵善飞的思维翅膀，在陈旧教育观念的束缚下失去了翱翔的自由。因此，作为新课改春风下的小学数学教师，在面对学生经过思考的错误回答时，如何做出正确的行为决策，让学生的创新火花在教师的引导下迸射出闪耀的光芒，让不同的人在不同数学水平上得到不同的发展，这才是我们身处一线的数学教师所应深思的。以下是笔者在近一年的执教和听课活动中一些收获。
二、情境描述
教学片段一：
这是本人于一年前执教的六年制四年级第7册求两商之和（差）应用题的教学片段，市教研室老师和本校的几位老师参加了这次听课活动。
教学中当教师出示应用题：亦南同学5分钟共打字225个，老师3分钟共打字189个，两人平均一分钟共打字多少个？
让学生尝试解答后，在汇报解题方法时，一位学生列出了算式225÷5 189÷3，并说明了自己的想法。这种想法得到了全班学生的认同，当时在我的教案里也认为只有这样一种解法，正要进行下一环节‘试一试’练习时，一位叫吴勇的（以下简称“勇”）平时挺聪明好问的男同学打断了我的教学思路……
勇：老师，除了这种方法外，我还有一种方法，算式是（225 189）÷（3 5）意思是他们打字的总数除以他们共用的时间等于他们一分钟共打字的个数。
师（知道是错的但还是问了一句）：那他们共打字多少个呢？
学生计算得出五十几个但除不尽，便叫着说：不可能的，哪有共打字51个多的，再说老师平均一分钟都打了63个了。
师：那看来是错的，请坐。接下来，我们来求一下平均一分钟老师比亦南多打字多少个？
勇一时想不出理由解释，只好看着自己的算式口里喃喃的坐下了。
但在学生刚动笔计算不久，吴勇又举手示意站起来说：老师，刚才的算式是错的，应该是（225 189）÷3。看来他刚才根本没有听这里的教学内容，一心想着他自己的那道算法，可答案却还是错误的。
此时师有点不耐烦地说：那你来说说理由。勇还是解释不清，话语非常含糊。师面带愠容：以后请你思考清楚后再举手回答。不要浪费时间，我们继续做下面的习题……
事后，听其它听课的老师说，当时吴勇坐下后红着脸，埋着头，在剩下的半节多课时间里心不在焉。
教学片段二：
这是一节人教版实验教材一年级上册“9 几”的教学片段实录：当教师出示幻灯9盒饮料和4盒饮料，问学生共有几盒饮料？你是怎样想出来的？学生通过摆小棒得出各种方法：
生1：我是9、10、11、12、13一个一个接着数的。
生2：我是把所有的小棒合在一起，再从1开始一个一个数的。
生3：我是直接想出9 4=13的，我妈妈以前教过我。
学生说出了几种不同方法，但始终没有出现利用‘凑十法’计算的方法，于是教师继续追问还有其它方法吗？这时一位害羞的小女生站起来说：老师，我是用减法计算的。这让执教老师和听课老师都愣了一下，学生也哄堂大笑说：错的错的，应该用加法计算。这位学生一看这反应，顿时低下头不敢言语。但执教老师没有立即让她坐下，而是弯下腰，摸者她的小脑袋微笑着说：你的方法很独特，能说说你的想法吗？在老师的抚摸之下，小女生慢慢的抬起头说：我是从4里面减去1给9，9 1是10，4-1是3，合起来是13。
这不正是教师所期待的“凑十法”吗？只不过起先的意思表达有点不清楚，引起了学生的误解，一听她说完，在场听课的老师和起初还哄堂大笑的学生都情不自禁地鼓起了掌，当场那位老师就以这位小女生的名字命名了这种方法，而小女生也自豪的坐到了自己的位置上，脸上洋溢着成功的笑容……
当时或许那群“小不点”的掌声中只是出于对小女孩的敬意和得到好方法的欣喜，但在我们听课老师的掌声中，我想更多的还是对上课老师的那份用心和那种智慧的钦佩。
三、反思
同样是在教师教案设计之外，出乎意料的两个“错误”。在片段一中，由于教师不敢越案半步，生怕由此造成课堂局面的“一发不可收拾”，匆匆的对学生“错误”做出草率的评价，这样做不仅丧失了一种富有创意的解题方法，更可怕的是将可能导致学生丧失那种敢于质疑的学习态度和对数学的学习兴趣。而片段二中，当面对学生令人吃惊的回答时，教师则是延迟评价然后给学生表白、辩解的机会，让信任的微笑，亲切的抚摸，助学生重拾丧失的信心，最终做出了精彩的回答。两种不同形式的机制处理取得的了两种有着天壤之别教学效果，这不得不引起我们反思：究竟如何才能让学生的“错误”转化为可以促进学生发展的教学财富呢？笔者认为涉及的因素很多，但以下两点至关重要。 1、营造和谐氛围，让学生敢“犯错”。
传统课堂中教师总是扮演着课堂活动的主宰者、权威者，总是希望课堂的每一环节都要照着自己的思路走下去，就连提问也是教师领导的一场有计划有组织的猜谜活动，答对时教师面露喜色，表扬一番；答错时，要么稍加判断，一带而过；要么毫不客气的训斥一顿，怪其不认真听讲。如此长久下去，当学生想法与老师不一致时，还有几许学生愿意冒着“犯错受批”的风险去回答问题呢？于是就出现了现实教学中越到高年级举手回答问题的人越少的这样一种怪现象。美国心理学家罗杰斯认为：“成功的教学依赖于一种真诚的尊重和信任的师生关系，依赖于一种和谐安全的课堂氛围。”因此，教师在课堂教学中应时时注意建立平等、民主、和谐的师生关系，尊重每一个学生的主体地位，每一位学生的想法，在学生答错时，用信任的目光，真诚的微笑允许学生重答；答得不完整时允许学生补充，没想好的允许再想。只有这样学生才敢于放飞自己的思维，敢于在课堂上“犯错”……
2、机智引导巧妙点拨，让“错误”成为财富 。
学生犯了错误并不一定都能成为教学的财富，上面两个片段教学已经充分证明了这一点。关键是在学生犯错时还需要教师慧眼识真金，给予适当的引导点拨，让学生充分展示思维过程，显露错误中的“闪光点”，激活思路中的“合理成分”，让智慧光芒喷薄而出，这样“错误”才可变成财富。如在片段一教学后，笔者及时听取了评课老师的建议，对学生吴勇做了深入访谈，访谈的结果让我对教师点拨作用的举足轻重更加深信不疑。以下是这次访谈的经过：
师：上课时，你提出的方法，老师细想一下觉得有点道理，你能再讲一遍吗？
这时勇一反常态，嘴里只知道说：我知道了，是错的。但在我的再三鼓励下，勇才开口再说了一遍。
勇：（225 189）÷3是老师和亦南打字的总数除以打字的时间，等于一分钟共打字的个数。
师：为什么除以3呢？难道225 189是他们3分钟共打的字数吗？
勇：不是，一个是5分钟打的字数，一个是3分钟打的字数……“哦！”（勇好象发现了什么，眼里仿佛重新透出一丝亮光）一会儿他说：应该是（225÷5×3 189）÷3
师：什么意思呢？
勇：225÷5×3 189是他们两人三分钟共打字的个数，再除以3就是一分钟共打字的个数。
师：你验算一下是否正确。
勇认真的计算了一遍高兴的说：对的！对的！
正当我也为此沉浸在快乐和些许的内疚之中时，吴勇又叫着：老师，还可以是（189÷3×5 225）÷5，意思是他们5分钟打字的个数除以5就是一分钟打字的字数和。还可以是（189×5 225×3）÷15……
师（愣了一下）：这又是什么意思呢？
勇：189是老师三分钟共打字的个数，乘以5就是15分钟共打字的个数，225是亦南5分钟打字的个数乘以3也就是他15分钟共打字的个数，这样两个加起来，再除以15，也就是一分钟两人共打字多少个？
师：这么多方法有什么规律吗？
勇想了一下说：有，只要括号里是两人相同时间打字的字数和，再除以他们打字的时间，求出来就是两人一分钟打字的字数和。
多么精辟的总结，多么有创意的想法啊！而这只是在教师适度的引导、点拨下，他的思维障碍才得以突破，创新火花得以迸发。如果这一幕发生在课堂，那将是多么完美啊！
富兰克林曾说过：“宝贝放错了地方便成了废物。”在以“一切为了学生发展”为理念的新课程实施之际，在面对课堂中突然出现的有效教育资源时，教师必须要有一双敏锐的眼睛去及时抓取，用一份宽容的心去细心呵护，让学生的错误在教师自身的专业智慧之下成为财富。
很多时候，我们在课堂教学中总会碰到这样一种情况：自己费劲心思、绞尽脑汁设计好一节课的教学过程，一旦拿到课堂中实践时，自认为千思熟虑、百密无疏的教学流程，在40几个学生面前原来是那么的不堪一击，学生总是会提出一些出乎意料的想法，出现一些意想不到的“错误”，这让很多老师感到无法适从。其实，细想一下也不难理解，因为我们所面对的学生并不是一张白纸，而是一群有着不同知识体验和生活积累、不同思维方式和解题策略的活生生的人。每个学生并不是空着脑袋走进课堂的，他们有着自己对数学的认识、理解与表达，只是和成人有所不同罢了。因此出现这样或那样的“错误”是必然的。一般情况下，学生经过思考后的“错误”总是包含着某种合理的成分，有的甚至隐藏着一种超常、一种独特。心理学家盖耶就曾说过：谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻。但在传统课堂中，我们教师却总是千方百计的避免或减少学生出现错误，习惯于用统一的答案去要求不同的学生，把一个个富有个性但又不乏创造性的想法（尽管有时是错误的）扼杀在萌芽状态，于是课堂上只能听到一种声音，看到一种答案。事实证明这样做不仅事与愿违，处置不当还会挫伤了学生的积极性和自尊心，让学生轻灵善飞的思维翅膀，在陈旧教育观念的束缚下失去了翱翔的自由。因此，作为新课改春风下的小学数学教师，在面对学生经过思考的错误回答时，如何做出正确的行为决策，让学生的创新火花在教师的引导下迸射出闪耀的光芒，让不同的人在不同数学水平上得到不同的发展，这才是我们身处一线的数学教师所应深思的。以下是笔者在近一年的执教和听课活动中一些收获。
二、情境描述
教学片段一：
这是本人于一年前执教的六年制四年级第7册求两商之和（差）应用题的教学片段，市教研室老师和本校的几位老师参加了这次听课活动。
教学中当教师出示应用题：亦南同学5分钟共打字225个，老师3分钟共打字189个，两人平均一分钟共打字多少个？
让学生尝试解答后，在汇报解题方法时，一位学生列出了算式225÷5 189÷3，并说明了自己的想法。这种想法得到了全班学生的认同，当时在我的教案里也认为只有这样一种解法，正要进行下一环节‘试一试’练习时，一位叫吴勇的（以下简称“勇”）平时挺聪明好问的男同学打断了我的教学思路……
勇：老师，除了这种方法外，我还有一种方法，算式是（225 189）÷（3 5）意思是他们打字的总数除以他们共用的时间等于他们一分钟共打字的个数。
师（知道是错的但还是问了一句）：那他们共打字多少个呢？
学生计算得出五十几个但除不尽，便叫着说：不可能的，哪有共打字51个多的，再说老师平均一分钟都打了63个了。
师：那看来是错的，请坐。接下来，我们来求一下平均一分钟老师比亦南多打字多少个？
勇一时想不出理由解释，只好看着自己的算式口里喃喃的坐下了。
但在学生刚动笔计算不久，吴勇又举手示意站起来说：老师，刚才的算式是错的，应该是（225 189）÷3。看来他刚才根本没有听这里的教学内容，一心想着他自己的那道算法，可答案却还是错误的。
此时师有点不耐烦地说：那你来说说理由。勇还是解释不清，话语非常含糊。师面带愠容：以后请你思考清楚后再举手回答。不要浪费时间，我们继续做下面的习题……
事后，听其它听课的老师说，当时吴勇坐下后红着脸，埋着头，在剩下的半节多课时间里心不在焉。
教学片段二：
这是一节人教版实验教材一年级上册“9 几”的教学片段实录：当教师出示幻灯9盒饮料和4盒饮料，问学生共有几盒饮料？你是怎样想出来的？学生通过摆小棒得出各种方法：
生1：我是9、10、11、12、13一个一个接着数的。
生2：我是把所有的小棒合在一起，再从1开始一个一个数的。
生3：我是直接想出9 4=13的，我妈妈以前教过我。
学生说出了几种不同方法，但始终没有出现利用‘凑十法’计算的方法，于是教师继续追问还有其它方法吗？这时一位害羞的小女生站起来说：老师，我是用减法计算的。这让执教老师和听课老师都愣了一下，学生也哄堂大笑说：错的错的，应该用加法计算。这位学生一看这反应，顿时低下头不敢言语。但执教老师没有立即让她坐下，而是弯下腰，摸者她的小脑袋微笑着说：你的方法很独特，能说说你的想法吗？在老师的抚摸之下，小女生慢慢的抬起头说：我是从4里面减去1给9，9 1是10，4-1是3，合起来是13。
这不正是教师所期待的“凑十法”吗？只不过起先的意思表达有点不清楚，引起了学生的误解，一听她说完，在场听课的老师和起初还哄堂大笑的学生都情不自禁地鼓起了掌，当场那位老师就以这位小女生的名字命名了这种方法，而小女生也自豪的坐到了自己的位置上，脸上洋溢着成功的笑容……
当时或许那群“小不点”的掌声中只是出于对小女孩的敬意和得到好方法的欣喜，但在我们听课老师的掌声中，我想更多的还是对上课老师的那份用心和那种智慧的钦佩。
三、反思
同样是在教师教案设计之外，出乎意料的两个“错误”。在片段一中，由于教师不敢越案半步，生怕由此造成课堂局面的“一发不可收拾”，匆匆的对学生“错误”做出草率的评价，这样做不仅丧失了一种富有创意的解题方法，更可怕的是将可能导致学生丧失那种敢于质疑的学习态度和对数学的学习兴趣。而片段二中，当面对学生令人吃惊的回答时，教师则是延迟评价然后给学生表白、辩解的机会，让信任的微笑，亲切的抚摸，助学生重拾丧失的信心，最终做出了精彩的回答。两种不同形式的机制处理取得的了两种有着天壤之别教学效果，这不得不引起我们反思：究竟如何才能让学生的“错误”转化为可以促进学生发展的教学财富呢？笔者认为涉及的因素很多，但以下两点至关重要。 1、营造和谐氛围，让学生敢“犯错”。
传统课堂中教师总是扮演着课堂活动的主宰者、权威者，总是希望课堂的每一环节都要照着自己的思路走下去，就连提问也是教师领导的一场有计划有组织的猜谜活动，答对时教师面露喜色，表扬一番；答错时，要么稍加判断，一带而过；要么毫不客气的训斥一顿，怪其不认真听讲。如此长久下去，当学生想法与老师不一致时，还有几许学生愿意冒着“犯错受批”的风险去回答问题呢？于是就出现了现实教学中越到高年级举手回答问题的人越少的这样一种怪现象。美国心理学家罗杰斯认为：“成功的教学依赖于一种真诚的尊重和信任的师生关系，依赖于一种和谐安全的课堂氛围。”因此，教师在课堂教学中应时时注意建立平等、民主、和谐的师生关系，尊重每一个学生的主体地位，每一位学生的想法，在学生答错时，用信任的目光，真诚的微笑允许学生重答；答得不完整时允许学生补充，没想好的允许再想。只有这样学生才敢于放飞自己的思维，敢于在课堂上“犯错”……
2、机智引导巧妙点拨，让“错误”成为财富 。
学生犯了错误并不一定都能成为教学的财富，上面两个片段教学已经充分证明了这一点。关键是在学生犯错时还需要教师慧眼识真金，给予适当的引导点拨，让学生充分展示思维过程，显露错误中的“闪光点”，激活思路中的“合理成分”，让智慧光芒喷薄而出，这样“错误”才可变成财富。如在片段一教学后，笔者及时听取了评课老师的建议，对学生吴勇做了深入访谈，访谈的结果让我对教师点拨作用的举足轻重更加深信不疑。以下是这次访谈的经过：
师：上课时，你提出的方法，老师细想一下觉得有点道理，你能再讲一遍吗？
这时勇一反常态，嘴里只知道说：我知道了，是错的。但在我的再三鼓励下，勇才开口再说了一遍。
勇：（225 189）÷3是老师和亦南打字的总数除以打字的时间，等于一分钟共打字的个数。
师：为什么除以3呢？难道225 189是他们3分钟共打的字数吗？
勇：不是，一个是5分钟打的字数，一个是3分钟打的字数……“哦！”（勇好象发现了什么，眼里仿佛重新透出一丝亮光）一会儿他说：应该是（225÷5×3 189）÷3
师：什么意思呢？
勇：225÷5×3 189是他们两人三分钟共打字的个数，再除以3就是一分钟共打字的个数。
师：你验算一下是否正确。
勇认真的计算了一遍高兴的说：对的！对的！
正当我也为此沉浸在快乐和些许的内疚之中时，吴勇又叫着：老师，还可以是（189÷3×5 225）÷5，意思是他们5分钟打字的个数除以5就是一分钟打字的字数和。还可以是（189×5 225×3）÷15……
师（愣了一下）：这又是什么意思呢？
勇：189是老师三分钟共打字的个数，乘以5就是15分钟共打字的个数，225是亦南5分钟打字的个数乘以3也就是他15分钟共打字的个数，这样两个加起来，再除以15，也就是一分钟两人共打字多少个？
师：这么多方法有什么规律吗？
勇想了一下说：有，只要括号里是两人相同时间打字的字数和，再除以他们打字的时间，求出来就是两人一分钟打字的字数和。
多么精辟的总结，多么有创意的想法啊！而这只是在教师适度的引导、点拨下，他的思维障碍才得以突破，创新火花得以迸发。如果这一幕发生在课堂，那将是多么完美啊！
富兰克林曾说过：“宝贝放错了地方便成了废物。”在以“一切为了学生发展”为理念的新课程实施之际，在面对课堂中突然出现的有效教育资源时，教师必须要有一双敏锐的眼睛去及时抓取，用一份宽容的心去细心呵护，让学生的错误在教师自身的专业智慧之下成为财富。