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【中图分类号】G633.63 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089(2012)07-0145-01
我们知道,平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质和判定非常重要,下面结合例题认识一下它们的运用:
例1:(如图)已知?荀ABCD的周长为20cm,对角线AC、BD相交于点O,过点O作AC的垂线,分别交AD、 BC于点E、F,连接CE,求△CED的周长。
分析:由?荀ABCD可知对角线AC、BD互相平分,又过O点作AC的垂线,分别交AD、 BC于点E、F,可以得到以A、F、C、E四点为顶点的四边形是菱形,所以CE=AE,进而求出△CED的周长
解:∵四边形ABCD是平行四边形,且周长为20cm
∴OA=OC ∠EAO=∠COF AD+DC=10cm
在△AOE和△COF中
∠EAO=∠FCO
OA=OC
∠AOE=∠COF
∴OE=OF
又 OA=OC EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直平分的四边形是菱形)
∴CE=AE
△CED的周长= CD+DE+CE=CD+DE+EA=AD+CD=10(cm)
总结:本题中首先根据?荀ABCD的对角线互相平分的性质得到OA=OC,再利用EF⊥AC且互相平分的条件得到四边形AFCE是菱形,实现△CED的周长=AD+CD转化的。
例2:(如图)已知四边形ABCD中,点E、F是对角线BD上两点,且BE=DF
(1)若四边形AECF是平行四边形,求证:四边形ABCD是平行四边形。
(2)若四边形AECF是菱形,那么四边形ABCD是菱形吗?为什么?
(3)若四边形AECF是矩形,那么四边形ABCD是矩形吗?为什么?
(4)若四边形AECF是正方形,那么四邊形ABCD是正方形吗?为什么?
解:(1)∵四边形AECF是平行四边形 ∴OA=OC OE=OF(平行四边形对角线互相平分)又∵BE=DF
∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
(2)∵四边形AECF是菱形
∴OA=OC OE=OF AC⊥EF
(菱形对角线互相垂直平分)
又∵BE=DF
∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直平分的四边形是平行四边形)
(3)∵四边形AECF是矩形
∴OA=OC OE=OF AC=EF(矩形对角线互相平分且相等)
又∵BE=DF
∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD 显然 BD ﹥EF
∴AC≠BD
∴四边形ABCD是平行四边形
(对角线互相平分但不相等的四边形是平行四边形)
(4)∵四边形AECF是正方形
∴OA=OC=OE=OF AC⊥EF(正方形对角线垂直平分且相等)
又∵BE=DF
∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD显然 BD ﹥EF
∴AC≠BD AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
这道题目充分利用了平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质和判定,能极大的提高同学们的运用能力,希望同学们认真领会。
我们知道,平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质和判定非常重要,下面结合例题认识一下它们的运用:
例1:(如图)已知?荀ABCD的周长为20cm,对角线AC、BD相交于点O,过点O作AC的垂线,分别交AD、 BC于点E、F,连接CE,求△CED的周长。
分析:由?荀ABCD可知对角线AC、BD互相平分,又过O点作AC的垂线,分别交AD、 BC于点E、F,可以得到以A、F、C、E四点为顶点的四边形是菱形,所以CE=AE,进而求出△CED的周长
解:∵四边形ABCD是平行四边形,且周长为20cm
∴OA=OC ∠EAO=∠COF AD+DC=10cm
在△AOE和△COF中
∠EAO=∠FCO
OA=OC
∠AOE=∠COF
∴OE=OF
又 OA=OC EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直平分的四边形是菱形)
∴CE=AE
△CED的周长= CD+DE+CE=CD+DE+EA=AD+CD=10(cm)
总结:本题中首先根据?荀ABCD的对角线互相平分的性质得到OA=OC,再利用EF⊥AC且互相平分的条件得到四边形AFCE是菱形,实现△CED的周长=AD+CD转化的。
例2:(如图)已知四边形ABCD中,点E、F是对角线BD上两点,且BE=DF
(1)若四边形AECF是平行四边形,求证:四边形ABCD是平行四边形。
(2)若四边形AECF是菱形,那么四边形ABCD是菱形吗?为什么?
(3)若四边形AECF是矩形,那么四边形ABCD是矩形吗?为什么?
(4)若四边形AECF是正方形,那么四邊形ABCD是正方形吗?为什么?
解:(1)∵四边形AECF是平行四边形 ∴OA=OC OE=OF(平行四边形对角线互相平分)又∵BE=DF
∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
(2)∵四边形AECF是菱形
∴OA=OC OE=OF AC⊥EF
(菱形对角线互相垂直平分)
又∵BE=DF
∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直平分的四边形是平行四边形)
(3)∵四边形AECF是矩形
∴OA=OC OE=OF AC=EF(矩形对角线互相平分且相等)
又∵BE=DF
∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD 显然 BD ﹥EF
∴AC≠BD
∴四边形ABCD是平行四边形
(对角线互相平分但不相等的四边形是平行四边形)
(4)∵四边形AECF是正方形
∴OA=OC=OE=OF AC⊥EF(正方形对角线垂直平分且相等)
又∵BE=DF
∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD显然 BD ﹥EF
∴AC≠BD AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
这道题目充分利用了平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质和判定,能极大的提高同学们的运用能力,希望同学们认真领会。