对角线在数学教学中的妙用

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  【中图分类号】G633.63 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089(2012)07-0145-01
  我们知道,平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质和判定非常重要,下面结合例题认识一下它们的运用:
  例1:(如图)已知?荀ABCD的周长为20cm,对角线AC、BD相交于点O,过点O作AC的垂线,分别交AD、 BC于点E、F,连接CE,求△CED的周长。
  分析:由?荀ABCD可知对角线AC、BD互相平分,又过O点作AC的垂线,分别交AD、 BC于点E、F,可以得到以A、F、C、E四点为顶点的四边形是菱形,所以CE=AE,进而求出△CED的周长
  解:∵四边形ABCD是平行四边形,且周长为20cm
  ∴OA=OC ∠EAO=∠COF AD+DC=10cm
  在△AOE和△COF中
  ∠EAO=∠FCO
  OA=OC
  ∠AOE=∠COF
  ∴OE=OF
  又 OA=OC EF⊥AC
  ∴四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直平分的四边形是菱形)
  ∴CE=AE
  △CED的周长= CD+DE+CE=CD+DE+EA=AD+CD=10(cm)
  总结:本题中首先根据?荀ABCD的对角线互相平分的性质得到OA=OC,再利用EF⊥AC且互相平分的条件得到四边形AFCE是菱形,实现△CED的周长=AD+CD转化的。
  例2:(如图)已知四边形ABCD中,点E、F是对角线BD上两点,且BE=DF
  (1)若四边形AECF是平行四边形,求证:四边形ABCD是平行四边形。
  (2)若四边形AECF是菱形,那么四边形ABCD是菱形吗?为什么?
  (3)若四边形AECF是矩形,那么四边形ABCD是矩形吗?为什么?
  (4)若四边形AECF是正方形,那么四邊形ABCD是正方形吗?为什么?
  解:(1)∵四边形AECF是平行四边形 ∴OA=OC OE=OF(平行四边形对角线互相平分)又∵BE=DF
  ∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD
  ∴四边形ABCD是平行四边形
  (对角线互相平分的四边形是平行四边形)
  (2)∵四边形AECF是菱形
  ∴OA=OC OE=OF AC⊥EF
  (菱形对角线互相垂直平分)
  又∵BE=DF
  ∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD AC⊥BD
  ∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直平分的四边形是平行四边形)
  (3)∵四边形AECF是矩形
  ∴OA=OC OE=OF AC=EF(矩形对角线互相平分且相等)
  又∵BE=DF
  ∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD 显然 BD ﹥EF
  ∴AC≠BD
  ∴四边形ABCD是平行四边形
  (对角线互相平分但不相等的四边形是平行四边形)
  (4)∵四边形AECF是正方形
  ∴OA=OC=OE=OF AC⊥EF(正方形对角线垂直平分且相等)
  又∵BE=DF
  ∴OE+BE=OF+FD 即 OB=OD显然 BD ﹥EF
  ∴AC≠BD AC⊥BD
  ∴四边形ABCD是菱形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
  这道题目充分利用了平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质和判定,能极大的提高同学们的运用能力,希望同学们认真领会。
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