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【摘要】由于在高中数学《新的课程标准》的课程理念中提出高中数学教学过程中要充分的关注学生的学习过程，引导学生去探索求知。而学习过程还是一个不断发现问题和解决问题的过程，因此在问题驱动下的教学模式便成为当下教育教学研究的热点。所谓问题驱动式教学即是由教师创设合理的学习情境，巧设问题，营造适合学生心理体验的氛围，将学生自主学习和探究过程置于一个特定的情境中。以问题制造困惑，在问题的驱动下激发思考，引发学生探究的欲望和兴趣，以目标导引解决困惑。
【关键词】问题驱动；焦点三角形；椭圆
由于在高中数学《新的课程标准》的课程理念中提出高中数学教学过程中要充分的关注学生的学习过程，引导学生去探索求知。而学习过程还是一个不断发现问题和解决问题的过程，因此在问题驱动下的教学模式便成为当下教育教学研究的热点。所谓问题驱动式教学即是由教师创设合理的学习情境，巧设问题，营造适合学生心理体验的氛围，将学生自主学习和探究过程置于一个特定的情境中。以问题制造困惑，在问题的驱动下激发思考，引发学生探究的欲望和兴趣，以目标导引解决困惑。本文就通过对《有关椭圆焦点三角形问题》的教学设计探讨一下驱动式教学模式下学生的学习过程。
一、课题引入
我们在学习椭圆时经常会遇到以其焦点和曲线上的点为顶点的三角形，一般定义为焦点三角形，该三角形中的边角关系是必须掌握的重点知识，也是高考的热点内容之一，尤其是近几年的出题频率呈上升趋势。焦点三角形虽然不是教材中明确的授课内容，但它是考察基础知识、基本技能、基本方法和三者综合运用能力的重要载体，它是对曲线定义更深层次的考察。焦点三角形问题实质是圆锥曲线定义的深化，所以系统的研究有关椭圆焦点三角形问题是很有必要的。
二、问题探究
设椭圆的标准方程为+=1（a>b>o），左右焦点分别为F1（-c，o）F2（c，o）其中a2=b2+c2。设椭圆上任意一点P（x0，y0）记|PF1|=m，|PF2|=n，∠F1PF2=θ
问题一 三角形PF1F2的周长是定值吗？
由于△F1PF2的周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|
=2a+2c
即△F1PF2的周长是定值。
问题二 |PF1|与|PF2|有最小值吗？
当P与A1重合时，|PF1|min=a-c
当P与A2重合时，|PF2|min=a-c
问题三 m•n有最大值和最小值吗？
∵m+n=2a ∴n=2a-m
∴m•n=-m2+2am
∴m•n=-（m-a）2+a2
∴a-c≤m≤a+c
∴b2≤m•n≤a2
即m•n有最大值为a2 m•n的最小值为b2
问题四 三角形PF1F2 的面积有没有最大值？
S△FPF=|F1F2|•h
S△FPF=•2c•y0
S△FPF=c•y0
∴当P在Y轴上时|y0|max=b
此时三角形PF1F2 面积的最大值=b•c
问题五 ∠F1PF2=θ有最大值吗？
当点P在Y轴上时，θ有最大值
问题六 若∠F1PF2=θ，三角形PF1F2面积为定值吗？
∵m+n=2a ∴m2+n2+2mn=4a2
又∵m2+n2-2mncosθ=4c2
∴m•n=
∴ =m•nsinθ=
当θ为定值时，S△FPF也为定值
问题七 延长PF2交圆锥曲线于M点，连结F1M，三角形F1PM的周长是否为定值？
∵ =PF1+PF2+MF1+MF2=4a
∴三角形F1PM的周长为定值
问题八 当PF2⊥x轴时，弦长|PM|的值为多少？
当PF2⊥x轴时，P点的坐标为（c，）
∴|PM|=
三、课堂测试
1.已知F1、F2是椭圆C：+=1（a>b>0）的两个焦点，p为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2。若△PF1F2的面积为9，则b=____________。
2.如果一个椭圆短轴上的一个顶点与两个焦点构成一个正三角形，求椭圆的离心率。
问题驱动式教学的流程设计在数学教学中，学生正是通过一个一个的数学问题的提出和解决，从而认识到数学定理的发现、形成和发展过程，学会数学的思维、数学的交流、数学的推理和数学问题的解决。通过这个综合过程，激发了学生学习的兴趣，培养了学生良好的数学思想。
（作者单位：江西省宁都中学）
【关键词】问题驱动；焦点三角形；椭圆
由于在高中数学《新的课程标准》的课程理念中提出高中数学教学过程中要充分的关注学生的学习过程，引导学生去探索求知。而学习过程还是一个不断发现问题和解决问题的过程，因此在问题驱动下的教学模式便成为当下教育教学研究的热点。所谓问题驱动式教学即是由教师创设合理的学习情境，巧设问题，营造适合学生心理体验的氛围，将学生自主学习和探究过程置于一个特定的情境中。以问题制造困惑，在问题的驱动下激发思考，引发学生探究的欲望和兴趣，以目标导引解决困惑。本文就通过对《有关椭圆焦点三角形问题》的教学设计探讨一下驱动式教学模式下学生的学习过程。
一、课题引入
我们在学习椭圆时经常会遇到以其焦点和曲线上的点为顶点的三角形，一般定义为焦点三角形，该三角形中的边角关系是必须掌握的重点知识，也是高考的热点内容之一，尤其是近几年的出题频率呈上升趋势。焦点三角形虽然不是教材中明确的授课内容，但它是考察基础知识、基本技能、基本方法和三者综合运用能力的重要载体，它是对曲线定义更深层次的考察。焦点三角形问题实质是圆锥曲线定义的深化，所以系统的研究有关椭圆焦点三角形问题是很有必要的。
二、问题探究
设椭圆的标准方程为+=1（a>b>o），左右焦点分别为F1（-c，o）F2（c，o）其中a2=b2+c2。设椭圆上任意一点P（x0，y0）记|PF1|=m，|PF2|=n，∠F1PF2=θ
问题一 三角形PF1F2的周长是定值吗？
由于△F1PF2的周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|
=2a+2c
即△F1PF2的周长是定值。
问题二 |PF1|与|PF2|有最小值吗？
当P与A1重合时，|PF1|min=a-c
当P与A2重合时，|PF2|min=a-c
问题三 m•n有最大值和最小值吗？
∵m+n=2a ∴n=2a-m
∴m•n=-m2+2am
∴m•n=-（m-a）2+a2
∴a-c≤m≤a+c
∴b2≤m•n≤a2
即m•n有最大值为a2 m•n的最小值为b2
问题四 三角形PF1F2 的面积有没有最大值？
S△FPF=|F1F2|•h
S△FPF=•2c•y0
S△FPF=c•y0
∴当P在Y轴上时|y0|max=b
此时三角形PF1F2 面积的最大值=b•c
问题五 ∠F1PF2=θ有最大值吗？
当点P在Y轴上时，θ有最大值
问题六 若∠F1PF2=θ，三角形PF1F2面积为定值吗？
∵m+n=2a ∴m2+n2+2mn=4a2
又∵m2+n2-2mncosθ=4c2
∴m•n=
∴ =m•nsinθ=
当θ为定值时，S△FPF也为定值
问题七 延长PF2交圆锥曲线于M点，连结F1M，三角形F1PM的周长是否为定值？
∵ =PF1+PF2+MF1+MF2=4a
∴三角形F1PM的周长为定值
问题八 当PF2⊥x轴时，弦长|PM|的值为多少？
当PF2⊥x轴时，P点的坐标为（c，）
∴|PM|=
三、课堂测试
1.已知F1、F2是椭圆C：+=1（a>b>0）的两个焦点，p为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2。若△PF1F2的面积为9，则b=____________。
2.如果一个椭圆短轴上的一个顶点与两个焦点构成一个正三角形，求椭圆的离心率。
问题驱动式教学的流程设计在数学教学中，学生正是通过一个一个的数学问题的提出和解决，从而认识到数学定理的发现、形成和发展过程，学会数学的思维、数学的交流、数学的推理和数学问题的解决。通过这个综合过程，激发了学生学习的兴趣，培养了学生良好的数学思想。
（作者单位：江西省宁都中学）