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1 数学创新能力的界定
数学创新能力,属于一般的数学能力,那么数学创新有什么特点?著名数学教育家张奠宙认为数学创新应包括以下10点:①提出数学问题和质疑的能力,具有能疑、善思、敢想的品质。②建立新的数学模型并应用于实践的能力。③发现数学规律的能力,包括提出定义、定理、公式。④推广现有数字结论的能力,放松条件或加强结论。⑤构作新教学对象(概念、理论、关系)的能力。⑥将不同领域的知识进行数字联结的能力。⑦总结已有数字成果达到新认识水平的能力。⑧巧妙地进行逻辑连接作出严密论证的能力。⑨善于运用计算机技术展现信息时代的数字风貌。⑩知道什么是“好”的教学,什么是“不大好”的教学。
2 如何在数学教学中培养学生的创新能力
2.1 数学教学中“创新能力”培养的载体:好的数学题。
例l:著名的“五石子题”。任意掷五粒石子,试给出判断这五粒石子离散程度的准则。
通常的准则有:①任意两点所连线段中之最长者。②连结各点所成直线形成的面积中之最大者。③各点连线长度之和中之最长者。④含五点的圆的半径之最小者,还可以给出其他的准则来。
这确实是一道好题。它不需要很深奥的理论以及专门知识,既不是简单可以回答的,其答案似乎很多,又很容易得到,但要得到真正好的准则,也不容易。做这道题,不是靠公式定理的记忆,也不必做大量的计算和推导,更无需什么技巧,全凭数学的直觉、数学意识、数学观念去处理问题。这和数学家从事数学研究工作比较接近,并不像通常的考试那般矫揉造作。
2.2 在例习题教学中创新能力培养的几点做法。引导学生逆向思维,培养思维的发散性。在不少数学习题的解决过程中,都需要将公式变形式,将公式、法则逆过来用,而学生往往在解题时缺乏这种自觉性和基本功。
例4:设n∈N,且n≥3,试证:2■>(n+1)!
分析:初看起来,觉得无从下手,但仔细分析要证的结论,发现不等式左边的指数■=1+2+3+…+n,这里就是等差数列求和公式的逆用。再注意到底数2,不难想到组合数公式C■■+C■■+…+C■■=2■,逆用该公式,问题得证。
因为2■=21.22.23…2■=l·2·4·8…2■>l·2·3…n·(n+1)=(n+1)!所以2■>(n+1)!
2.3 建立符合“数学创新”的教学模式。①开放式教学:问题开放,解题开放,教学开放。②建构主义指导下的教学:使学生形成数学知识网络,帮助学生主动建构自己的数学知识系统。③活动式教学:让学生进行适合自己的数学活动,包括模型制作游戏、行动、调查研究等方式,使学生在活动中认识数学,理解数学,热爱数学。④把提问作为课堂教学的常用环节,鼓励学生发问,教师不必也不可能一一作答。⑤探究专题的教学方式,磨刀不误砍柴工,实行少量“发现式”的问题解决教学,像吃“维生素”丸那样,对形成数学整体能力有极大好处。⑥据上海的一项调查,教师在一节课上一般要问近100问题,问题小而碎,学生无须深沉的思考,这种提问没有意义,我们应该给学生更多的思维空间。
2.4 建立创新的课堂文化。①深堂的气氛必须是鼓励创造,反对墨守成规。②不要公开在课堂上排学习成绩的名次,对那种只求考试优胜,而缺乏实际数学能力的学生尤其不要鼓励。③为学生发表意见留下空间:编数学题,勇于设疑,写学习论文。④教师善于发问,提出具有挑战性的新问题,为创新做榜样。⑤课堂上洋溢着远大的理想追求,有强烈的自信、爱国主义和国际合作意识。
3 帮助学生建立数学思维和信息处理的有效模式,发展学生的创新思维和创新能力
3.1 建立和以前所有学过的知识相似的信息单位,即帮助学生总结学生的数学知识,使之形成体系,及时归纳各种问题的类型和相应的思维主,解题技巧。
3.2 帮助学生找到相同的现象,即指导学生能从数学基本原理的角度去观察问题,找出它们的相同特殊。
3.3 把要处埋的问题进行分类,然后寻找能够证实或推翻“结论”的信息。
3.4 利用整个知识体系和整个学科领域的知识、技能来支持对数学基本原理的思考。
3.5 注意对有争议的领域进行反思、讨论等工作。
3.6 简化过程,概括出所求问题的基本形式和本质。
3.7 采用类推的思考方法,象征类推、想象类推等。
4 重视引导学生自主探索,培养学生的创新能力和创新精神
在教学活动中,学生是学习的主体,必须改变“教师讲、学生听”、“教师问,学生答”以及大量演练习题的数学教学模式,教师必须转变角色,充分发挥创造性,依据学生年龄特点和认知特点,设计探索性和开放性的问题,给学生提供自主探索的机会,让学生在观察、实验、猜测、归纳、分析和整理的过程中去理解一个问题是怎样提出来的,一个概念是如何形成的,一个结论是怎样探索和猜测到的,以及这个结论是如何被应用的,通过这样的形式,使学生的创新能力和创新精神的培养得到落实。
在这个过程中,教师要关注学生的个休差异,尊重学生的创造性,对学生在探索过程中遇到的困难和出现的问题,要适时、有效地鼓励和引导,并通过交流、讨论、合作学习加以解决,使所有学生都能在数学学习中获得成功感,树立自信心,增强克服困难的勇气和毅力。
数学创新能力,属于一般的数学能力,那么数学创新有什么特点?著名数学教育家张奠宙认为数学创新应包括以下10点:①提出数学问题和质疑的能力,具有能疑、善思、敢想的品质。②建立新的数学模型并应用于实践的能力。③发现数学规律的能力,包括提出定义、定理、公式。④推广现有数字结论的能力,放松条件或加强结论。⑤构作新教学对象(概念、理论、关系)的能力。⑥将不同领域的知识进行数字联结的能力。⑦总结已有数字成果达到新认识水平的能力。⑧巧妙地进行逻辑连接作出严密论证的能力。⑨善于运用计算机技术展现信息时代的数字风貌。⑩知道什么是“好”的教学,什么是“不大好”的教学。
2 如何在数学教学中培养学生的创新能力
2.1 数学教学中“创新能力”培养的载体:好的数学题。
例l:著名的“五石子题”。任意掷五粒石子,试给出判断这五粒石子离散程度的准则。
通常的准则有:①任意两点所连线段中之最长者。②连结各点所成直线形成的面积中之最大者。③各点连线长度之和中之最长者。④含五点的圆的半径之最小者,还可以给出其他的准则来。
这确实是一道好题。它不需要很深奥的理论以及专门知识,既不是简单可以回答的,其答案似乎很多,又很容易得到,但要得到真正好的准则,也不容易。做这道题,不是靠公式定理的记忆,也不必做大量的计算和推导,更无需什么技巧,全凭数学的直觉、数学意识、数学观念去处理问题。这和数学家从事数学研究工作比较接近,并不像通常的考试那般矫揉造作。
2.2 在例习题教学中创新能力培养的几点做法。引导学生逆向思维,培养思维的发散性。在不少数学习题的解决过程中,都需要将公式变形式,将公式、法则逆过来用,而学生往往在解题时缺乏这种自觉性和基本功。
例4:设n∈N,且n≥3,试证:2■>(n+1)!
分析:初看起来,觉得无从下手,但仔细分析要证的结论,发现不等式左边的指数■=1+2+3+…+n,这里就是等差数列求和公式的逆用。再注意到底数2,不难想到组合数公式C■■+C■■+…+C■■=2■,逆用该公式,问题得证。
因为2■=21.22.23…2■=l·2·4·8…2■>l·2·3…n·(n+1)=(n+1)!所以2■>(n+1)!
2.3 建立符合“数学创新”的教学模式。①开放式教学:问题开放,解题开放,教学开放。②建构主义指导下的教学:使学生形成数学知识网络,帮助学生主动建构自己的数学知识系统。③活动式教学:让学生进行适合自己的数学活动,包括模型制作游戏、行动、调查研究等方式,使学生在活动中认识数学,理解数学,热爱数学。④把提问作为课堂教学的常用环节,鼓励学生发问,教师不必也不可能一一作答。⑤探究专题的教学方式,磨刀不误砍柴工,实行少量“发现式”的问题解决教学,像吃“维生素”丸那样,对形成数学整体能力有极大好处。⑥据上海的一项调查,教师在一节课上一般要问近100问题,问题小而碎,学生无须深沉的思考,这种提问没有意义,我们应该给学生更多的思维空间。
2.4 建立创新的课堂文化。①深堂的气氛必须是鼓励创造,反对墨守成规。②不要公开在课堂上排学习成绩的名次,对那种只求考试优胜,而缺乏实际数学能力的学生尤其不要鼓励。③为学生发表意见留下空间:编数学题,勇于设疑,写学习论文。④教师善于发问,提出具有挑战性的新问题,为创新做榜样。⑤课堂上洋溢着远大的理想追求,有强烈的自信、爱国主义和国际合作意识。
3 帮助学生建立数学思维和信息处理的有效模式,发展学生的创新思维和创新能力
3.1 建立和以前所有学过的知识相似的信息单位,即帮助学生总结学生的数学知识,使之形成体系,及时归纳各种问题的类型和相应的思维主,解题技巧。
3.2 帮助学生找到相同的现象,即指导学生能从数学基本原理的角度去观察问题,找出它们的相同特殊。
3.3 把要处埋的问题进行分类,然后寻找能够证实或推翻“结论”的信息。
3.4 利用整个知识体系和整个学科领域的知识、技能来支持对数学基本原理的思考。
3.5 注意对有争议的领域进行反思、讨论等工作。
3.6 简化过程,概括出所求问题的基本形式和本质。
3.7 采用类推的思考方法,象征类推、想象类推等。
4 重视引导学生自主探索,培养学生的创新能力和创新精神
在教学活动中,学生是学习的主体,必须改变“教师讲、学生听”、“教师问,学生答”以及大量演练习题的数学教学模式,教师必须转变角色,充分发挥创造性,依据学生年龄特点和认知特点,设计探索性和开放性的问题,给学生提供自主探索的机会,让学生在观察、实验、猜测、归纳、分析和整理的过程中去理解一个问题是怎样提出来的,一个概念是如何形成的,一个结论是怎样探索和猜测到的,以及这个结论是如何被应用的,通过这样的形式,使学生的创新能力和创新精神的培养得到落实。
在这个过程中,教师要关注学生的个休差异,尊重学生的创造性,对学生在探索过程中遇到的困难和出现的问题,要适时、有效地鼓励和引导,并通过交流、讨论、合作学习加以解决,使所有学生都能在数学学习中获得成功感,树立自信心,增强克服困难的勇气和毅力。