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“数列”知识，一直是高考考查的重点、热点、难点.因为其丰富深刻的数学内涵、灵活多变的解题技巧，而成为高中数学教学的一个难点.在处理数列问题时，学生的思路之所以混乱，往往是因为学生尚未触及其本质；解题之所以困难，时常是因为没能把握住关键.那么，如何在数列教学过程中引导学生探求本质、把握关键呢？为此，笔者在数列教学过程中进行了一些尝试.
一、以本为纲，挖掘本质
1.执果索因，由表及里
例如，等差数列的通项an=a1 （n-1）d.众所周知，它是由累加法推导而得.在教学中，教师往往会注重公式的推导和应用，却忽略了对公式形式加以反思这一环节.内容决定形式，公式是原理的外在表现.通过对公式形式的反思，可以让学生更加深刻地理解其内涵.我们知道，等差数列的定义可以解读为差等于常数d，即an-an-1=d；或者差等于差，即an-an-1=an 1-an.通俗地讲，就是两项关系或是三项关系.而通项中an=a1 （n-1）d，则只涉及an，可将其理解为一项.那么，就其本质而言，等差数列通项的推导方法——累加法，是一种消法，是从等差定义中的两项关系出发消剩an的方法.通项公式中的d便由此而来.也许有人会问，为何不用三项关系？其实道理很简单——两项到一项更近！
又如，等比数列的通项an=a1qn-1.如果忽略形式，那么等比数列的通项与等差数列的通项是一样的：an是目的，q是起源（等比定义中的两项关系），a1是罗列的结果，n-1是因为连乘了n-1项，也是今后诸如anan-1=nn-1等问题处理方法的鼻祖.
累加法和连乘法的本质都是消，只是手段不同而已.由上述两个例子我们可以看到，其实公式的形式中已经体现了方法和原理，由因导果固然是教学中常用的方式，但执果索因也是发现规律的重要思路.
2.追本溯源，体会经典
能解决问题的是人才，能提出问题的是天才，发现问题并能解决问题的是大师.追随他们的脚步，哪怕是一步、两步，对于提升学生的数学素养，培养学生学习数学的兴趣都有着积极的意义.数学几千年的发展史，注定了它不仅是一门自然科学，也是一门人文科学.
3.联想类比，触类旁通
例如，等比求和公式Sn=a1（1-qn）1-q.它所采用的推导方法是错位相减法.有趣的是，它的方法原理与化学中的“萃取法”过程惊人的相似：若两种液体混杂（相当于等差数列an乘以等比数列bn），我们可滴入萃取液（即乘以等比数列的公比q），然后摇一摇使其充分混合（错位，相减），接下去静置分层（利用等比求和公式），最后问题得到解决（消去省略号，化无限为有限）.经典的方法都并不复杂，曹冲称象，司马光砸缸，不用千斤顶，四两照样拨千斤！
二、注重归纳，化圆为方
1.从结论入手，加以归纳
例如，已知{an}、{bn}为等差数列，Sn、Tn是前n项的和.若SnTn=2n 13n 2，（1）求a5b5；（2）求.此题两问条件相同，方法却有所不同.在这里Sn是题眼所在，公式选择上的差异，会导致解题方法的区别.对此，我们可以通过对几种求和公式的比较来试着找到问题的关键.等差数列的求和公式一般可以认为有三个：①Sn=a1 n（n-1）2d，②Sn=n（a1 an）2，Sn=An2 Bn.由于公式①中带有基本量a1，d更适用于联立方程求解时采用，前提是必须条件充足，所以姑且称其为计算公式；公式②中的a1 an往往可以根据等差性质加以转化.由于转化的特例是变成相同两项，就本质而言就是消元（这往往在条件不足时会起到“柳暗花明又一村”的效果），我们称之为技巧公式；公式③Sn=An2 Bn是由公式①a1 n（n-1）2d整合而得到，由于突出了变量n，强化了函数特质，故称之为函数公式.从基本量分析，本题涉及两个等差数列{an}、{bn}，将带有四个参数，运用公式①显然不太适合.若选用公式②只需令n=9即可.而在第二问求a5b6中，由于底标不同，仍旧选用公式Sn=n（a1 an）2则会出现n1=9、n2=11，显然又不合适.于是，我们可以试试公式③Sn=An2 Bn，Tn=Cn2 Dn，SnTn=An2 BnCn2 Dn=2n 13n 2，易知Sn=kn（2n 1），Tn=kn（3n 2），通过a5=S5-S4，b6=T6-T5即可.在相同的条件下，不同的解法有时只是源于公式的选择不同.把握同一背景下的公式之间的细微差别，才能把握同一条件下的不同问题解法上的差别.
2.从条件入手，加以归纳
例如，由于等差求和的函数公式Sn=An2 Bn是一元二次函数的形式，顺理成章地经常会考查最值问题.这类问题如何让学生牢牢地把握解题的方向呢？一元二次函数最值的关键在于对称轴，而函数公式又是由Sn=a1 n（n-1）2d
整合而来.那么，若条件可转化为两个等式的问题，往往可以从解基本量入手，从而直接求得对称轴.若只有一个等式，则考虑能否通过观察得到对称轴.如，已知S4=S9，那么对称轴在6.5处，易知最值在6或7处.上述是含有等量条件的问题，若没有等式，则可以考虑通过相邻两项的符号变化来判定最值情况.我们可以通过条件形式——两个等式、一个等式、没有等式（即有不等式）来把握Sn=An2 Bn的最值问题的解法.在这里，同一问题的不同解法是基于条件上的差别.把握同一问题的不同解读，才能穷举可能的条件形式对症下药.
归纳是数学学习中必备的能力和学习习惯.归纳的质量直接影响着对同题异构、异题同构等诸如此类的问题或合并处理或区别对待的能力.通过归纳，我们可以将灵活多变的数列问题关进笼子里，化圆为方.这样，复杂问题相对而言会得到简化.
三、化繁为简，眼光制胜
例如，若an=2an-1 1，证明{an 1}是等比数列.证明等比数列只能从定义出发，这样，留给我们的就是该选择两项还是三项的问题.观察条件an、an-1，一般我们会选择两项.可令bn=an 1，这就是将大象看成苹果的关键一步.迈出这一步，我们将不再受到形式上的束缚.目标bnbn-1=q，第一步代入bn=an 1、bn-1= 1（原因是条件为an、an-1）；第二步代入an=2an-1 1（用条件）.对此，笔者在教学中发现不少学生会写成：an-1=2an-2 1.其实，这是因没能把握本质而犯的常见错误.bn、bn-1是两项，an 1、an-1 1还是两项，而我们的目标是证得常数q——可理解为不带有诸如an、an-1等项，即可理解为0项.所以我们所做的一切是消！若出现2an-1 1和2an-2 1，则又回到了两项，这样自然会陷入僵局.此关一过，一马平川，耐心化简，等待结果（消完）.简而言之，由b到a，由两项变一项，由一项变常数，其中“令bn”是使问题简单化的关键.
又如，数列中的另一类常见问题——求通项问题.其实，我们所要面对的只有一种条件下的通项问题——相邻两项关系，其余的或凭手段（an=Sn-Sn-1，）或凭眼光（如1Sn-1Sn-1=2中，可令bn=1Sn）进行转化.而相邻两项an、an-1到通项an，究其本质是消.只是不同形式下的消法有差别而已.篇幅有限，在这里就不一一展开.特别值得一提的是，在消相邻两项的积或和的时候，我们会发现隔项有规律，换个眼光来看这就是奇数项、偶数项问题，从本质上来说即分段函数.
在相同的方法技巧下，高人一等的眼光，是简化问题、厘清思路的关键.
总之，分析越接近本质，方向才越加明确；善于理清规律，方法才能得到优化；强干弱枝，培养眼光，思路才会清晰.数列内容的学习，对师生而言，不仅是一种挑战，更是一个提升数学思维品质、养成良好分析习惯、开拓眼界的机会.
一、以本为纲，挖掘本质
1.执果索因，由表及里
例如，等差数列的通项an=a1 （n-1）d.众所周知，它是由累加法推导而得.在教学中，教师往往会注重公式的推导和应用，却忽略了对公式形式加以反思这一环节.内容决定形式，公式是原理的外在表现.通过对公式形式的反思，可以让学生更加深刻地理解其内涵.我们知道，等差数列的定义可以解读为差等于常数d，即an-an-1=d；或者差等于差，即an-an-1=an 1-an.通俗地讲，就是两项关系或是三项关系.而通项中an=a1 （n-1）d，则只涉及an，可将其理解为一项.那么，就其本质而言，等差数列通项的推导方法——累加法，是一种消法，是从等差定义中的两项关系出发消剩an的方法.通项公式中的d便由此而来.也许有人会问，为何不用三项关系？其实道理很简单——两项到一项更近！
又如，等比数列的通项an=a1qn-1.如果忽略形式，那么等比数列的通项与等差数列的通项是一样的：an是目的，q是起源（等比定义中的两项关系），a1是罗列的结果，n-1是因为连乘了n-1项，也是今后诸如anan-1=nn-1等问题处理方法的鼻祖.
累加法和连乘法的本质都是消，只是手段不同而已.由上述两个例子我们可以看到，其实公式的形式中已经体现了方法和原理，由因导果固然是教学中常用的方式，但执果索因也是发现规律的重要思路.
2.追本溯源，体会经典
能解决问题的是人才，能提出问题的是天才，发现问题并能解决问题的是大师.追随他们的脚步，哪怕是一步、两步，对于提升学生的数学素养，培养学生学习数学的兴趣都有着积极的意义.数学几千年的发展史，注定了它不仅是一门自然科学，也是一门人文科学.
3.联想类比，触类旁通
例如，等比求和公式Sn=a1（1-qn）1-q.它所采用的推导方法是错位相减法.有趣的是，它的方法原理与化学中的“萃取法”过程惊人的相似：若两种液体混杂（相当于等差数列an乘以等比数列bn），我们可滴入萃取液（即乘以等比数列的公比q），然后摇一摇使其充分混合（错位，相减），接下去静置分层（利用等比求和公式），最后问题得到解决（消去省略号，化无限为有限）.经典的方法都并不复杂，曹冲称象，司马光砸缸，不用千斤顶，四两照样拨千斤！
二、注重归纳，化圆为方
1.从结论入手，加以归纳
例如，已知{an}、{bn}为等差数列，Sn、Tn是前n项的和.若SnTn=2n 13n 2，（1）求a5b5；（2）求.此题两问条件相同，方法却有所不同.在这里Sn是题眼所在，公式选择上的差异，会导致解题方法的区别.对此，我们可以通过对几种求和公式的比较来试着找到问题的关键.等差数列的求和公式一般可以认为有三个：①Sn=a1 n（n-1）2d，②Sn=n（a1 an）2，Sn=An2 Bn.由于公式①中带有基本量a1，d更适用于联立方程求解时采用，前提是必须条件充足，所以姑且称其为计算公式；公式②中的a1 an往往可以根据等差性质加以转化.由于转化的特例是变成相同两项，就本质而言就是消元（这往往在条件不足时会起到“柳暗花明又一村”的效果），我们称之为技巧公式；公式③Sn=An2 Bn是由公式①a1 n（n-1）2d整合而得到，由于突出了变量n，强化了函数特质，故称之为函数公式.从基本量分析，本题涉及两个等差数列{an}、{bn}，将带有四个参数，运用公式①显然不太适合.若选用公式②只需令n=9即可.而在第二问求a5b6中，由于底标不同，仍旧选用公式Sn=n（a1 an）2则会出现n1=9、n2=11，显然又不合适.于是，我们可以试试公式③Sn=An2 Bn，Tn=Cn2 Dn，SnTn=An2 BnCn2 Dn=2n 13n 2，易知Sn=kn（2n 1），Tn=kn（3n 2），通过a5=S5-S4，b6=T6-T5即可.在相同的条件下，不同的解法有时只是源于公式的选择不同.把握同一背景下的公式之间的细微差别，才能把握同一条件下的不同问题解法上的差别.
2.从条件入手，加以归纳
例如，由于等差求和的函数公式Sn=An2 Bn是一元二次函数的形式，顺理成章地经常会考查最值问题.这类问题如何让学生牢牢地把握解题的方向呢？一元二次函数最值的关键在于对称轴，而函数公式又是由Sn=a1 n（n-1）2d
整合而来.那么，若条件可转化为两个等式的问题，往往可以从解基本量入手，从而直接求得对称轴.若只有一个等式，则考虑能否通过观察得到对称轴.如，已知S4=S9，那么对称轴在6.5处，易知最值在6或7处.上述是含有等量条件的问题，若没有等式，则可以考虑通过相邻两项的符号变化来判定最值情况.我们可以通过条件形式——两个等式、一个等式、没有等式（即有不等式）来把握Sn=An2 Bn的最值问题的解法.在这里，同一问题的不同解法是基于条件上的差别.把握同一问题的不同解读，才能穷举可能的条件形式对症下药.
归纳是数学学习中必备的能力和学习习惯.归纳的质量直接影响着对同题异构、异题同构等诸如此类的问题或合并处理或区别对待的能力.通过归纳，我们可以将灵活多变的数列问题关进笼子里，化圆为方.这样，复杂问题相对而言会得到简化.
三、化繁为简，眼光制胜
例如，若an=2an-1 1，证明{an 1}是等比数列.证明等比数列只能从定义出发，这样，留给我们的就是该选择两项还是三项的问题.观察条件an、an-1，一般我们会选择两项.可令bn=an 1，这就是将大象看成苹果的关键一步.迈出这一步，我们将不再受到形式上的束缚.目标bnbn-1=q，第一步代入bn=an 1、bn-1= 1（原因是条件为an、an-1）；第二步代入an=2an-1 1（用条件）.对此，笔者在教学中发现不少学生会写成：an-1=2an-2 1.其实，这是因没能把握本质而犯的常见错误.bn、bn-1是两项，an 1、an-1 1还是两项，而我们的目标是证得常数q——可理解为不带有诸如an、an-1等项，即可理解为0项.所以我们所做的一切是消！若出现2an-1 1和2an-2 1，则又回到了两项，这样自然会陷入僵局.此关一过，一马平川，耐心化简，等待结果（消完）.简而言之，由b到a，由两项变一项，由一项变常数，其中“令bn”是使问题简单化的关键.
又如，数列中的另一类常见问题——求通项问题.其实，我们所要面对的只有一种条件下的通项问题——相邻两项关系，其余的或凭手段（an=Sn-Sn-1，）或凭眼光（如1Sn-1Sn-1=2中，可令bn=1Sn）进行转化.而相邻两项an、an-1到通项an，究其本质是消.只是不同形式下的消法有差别而已.篇幅有限，在这里就不一一展开.特别值得一提的是，在消相邻两项的积或和的时候，我们会发现隔项有规律，换个眼光来看这就是奇数项、偶数项问题，从本质上来说即分段函数.
在相同的方法技巧下，高人一等的眼光，是简化问题、厘清思路的关键.
总之，分析越接近本质，方向才越加明确；善于理清规律，方法才能得到优化；强干弱枝，培养眼光，思路才会清晰.数列内容的学习，对师生而言，不仅是一种挑战，更是一个提升数学思维品质、养成良好分析习惯、开拓眼界的机会.