《线性代数》是理工类、经管类等非数学专业的重要基础课程.其主要任务是夯实数学基础，培养学生的逻辑思维、定量分析、科学计算的数学能力，提高数学素养.
　　矩阵是《线性代数》中最基本也是最重要的概念之一，几乎《线性代数》的所有概念或应用中都可以见到矩阵的身影.作为矩阵的核心，矩阵的初等变换极其重要，本文将对矩阵的初等变换做以简单介绍与总结.
　　一、矩阵初等变换的定义
　　已知任意矩阵Am×n，以下三种变换：
　　1.交换Am×n的任意两行（列）；（记为：rirjorcicj）
　　2.用任意非零常数k数乘Am×n的某一行（列）；（记为：kriorkci）
　　3.将Am×n某一行（列）的k倍加至Am×n的另一行（列）.（记为：kri rjorkci cj）中，对行进行的称为矩阵Am×n的初等行变换，对列进行的称为矩阵Am×n的初等列变换，统称为矩阵Am×n的初等变换.
　　二、矩阵初等变换的应用
　　1.将任意矩阵Am×n化为特殊矩阵：
　　Am×n 初等行（列）变换 阶梯形矩阵B 初等行（列）变换 行最简型矩阵C
　　初等行（列）变换 等价标准型矩阵D= I OO O .
　　2.求任意矩阵Am×n的秩r A
　　步骤：（1）Am×n 初等变换 阶梯形矩阵B；
　　（2）r B =B的非零行数=r；
　　（3）r B =r A =r
　　3.求可逆矩阵An×n的逆矩阵
　　步骤：（1）拼接： AIn
　　（2）初等行变换： AIn 初等行变换 InA-1
　　（3）因为An×n可以经过初等行变换化为n阶单位矩阵In，所以An×n可逆，并且n阶单位矩阵In经过相同的初等变换可变为A-1；否则，即若An×n不可以经过初等行变换化为n阶单位矩阵In，那么，An×n不可逆.
　　注：以上可称为逆矩阵的初等行变换法，同理，可以给出初等列变换求逆矩阵的方法.
　　4.矩阵的初等变换在消元法求解线性方程组Am×nX=b中的应用：
　　（1）线性方程组有解判别定理：Am×nX=b有解r A =r Ab =r；若r=n方程组有唯一解，若r　　（2）消元法求解线性方程组Am×nX=b.
　　5.矩阵初等变换在向量组线性表示与向量组线性相关性中的应用
　　（1）判断向量能由向量组线性表示的定理：
　　列向量β能由列向量组α1，α2，…，αn线性表示由列向量组α1，α2，…，αn拼接的矩阵的秩=由列向量组α1，α2，…，αn与列向量β拼接的矩阵的秩.
　　（2）判断列向量组α1，α2，…，αn线性相关性定理：
　　列向量组α1，α2，…，αn线性相关由列向量组α1，α2，…，αn拼接的矩阵的秩<向量组中的向量个数n.
　　6.利用矩阵的初等变换求向量组的秩与极大线性无关组
　　7.求矩阵的特征值与特征向量
　　8.矩阵的对角化问题
　　9.矩阵的初等变换法化二次型为标准型
　　其实，有的同类教材里，也将类似于矩阵初等变换的行列式中的三个性质，称为“行列式的初等变换”.
　　三、小 结
　　从以上矩阵的初等变换的应用我们看到，它几乎贯穿《线性代数》的始终，掌握矩阵的初等变换的应用，是掌握《线性代数》课程主要运算的方法之一，也是学习这门课程的一个捷径吧！