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导数作为高中新教材的新增内容之一,它给高中数学增添了新的活力,特别是导数广泛的应用性,给高中数学许多问题带来了新的思路,新的方法,导数已经成为这几年高考的热点,下面我根据平时教学经验的积累,简单归纳导数的应用如下:
一、利用导数解决函数问题
1.利用导数解决函数的单调性
函数的单调性是函数的一个重要性质,是研究函数时经常要注意的一个性质。函数的单调性与函数的导数密切相关,运用导数知识来讨论函数单调性时,结合导数的几何意义,只需考虑 的正负即可,当 时, 单调递增;当 时, 单调递减。此方法简单快捷而且适用面广。
(09年文科高考全国卷21)已知函数f(x)=x4-3x2+6,讨论f(x)的单调性。
解:f’(x)=4x3-6x=4x(x+ )(x- ),当x 和x 时, ,当x 和x 时, ,因此,f(x)在区间 和 是减函数,f(x)在区间 和 为增函数。
2.利用导数解决函数图象与直线交点问题
设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a,当a在什么范围内取值时,曲线y= f(x)与x轴仅有一个交点。
解:f’(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),当x 和( 时 f(x)为增函数,当x 时,f(x)为减函数,f(x)与x轴只有一个交点,只需极大值 <0或极小值a-1>0,即a>1或a< 。
3.利用导数求函数的解析式
用解析式表示函数关系,便于研究函数的性质,而利用导数求函数的解析式,函数的一些基本性质就会显得更加的明了。
已知函数f(x)=ax3+bx2-x(a,b为常数),且当x=1和x=2时,函数f(x)取得极值,求函数f(x)的解析式。
解:f’(x)=3ax2+2bx-1,由已知得f’(1)=0,f’(2)=0,
,解得 ,因此f(x)=。
4.利用导数求函数的值域
求函数的值域是中学数学中的重点,也是难点,方法因题而异,不易掌握。但是,如果采用导数来求解,则较为容易,且一般问题都可行。
求函数 的值域。
分析:先确定函数的定义域,然后根据定义域判断 的正负,进而求出函数 的值域。
解:显然, 定义域为 ,由于
因此当 时,f(x)为增函数,当 时,f(x)为减函数,因此当 时,f(x)max= f( )= ,无最小值,值域为 。
5.利用导数求函数的最(极)值
求函数的最(极)值是高中数学的重点,也是难点,是高考经常要考查的内容之一,它涉及到了函数知识的很多方面,用导数解决这类问题可以使解题过程简化,步骤清晰,也容易掌握,从而进一步明确了函数的性态。
一般地,函数 在闭区间 上可导,则 在 上的最值求法:
(1) 求函数 在 上的极值点;
(2) 计算 在极值点和端点的函数值;
(3) 比较 在极值点和端点的函数值,最大的是最大值,最小的是最小值。
求函数 在 上的最大值和最小值。
分析 先求出 的极值点,然后比较极值点与区间端点的函数值,即可得该函数在区间 上的最大值和最小值。
解:由于 ,令f’(x)=0得:x=-2,
f(-3)=3,f(0)=0,f(-2)=8,因此最大值是8,最小值是0。
二、利用导数解决切线问题
1.求过某一点的切线方程
此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况, 的几何意义就是曲线在点 处切线的斜率,过 点的切线方程为 ,但应注意点 在曲线 上,否则易错。
(09年文科高考全国卷21)已知函数f(x)=x4-3x2+6,设点P在曲线y= f(x)上,若该曲线在点P处的切线 通过坐标原点,求 的方程。
分析:此类题型为点不在曲线上求切线方程,应先设出切点坐标,表示出切线方程,把已知点代入方程,求出切点坐标后,再求切线方程。
解:设点P的坐标为(x0,f(x0))由过原点知,的方程为y= f‘(x0)x
因此f(x0)= x0 f‘(x0),即: ,整理得 ,解得 ,因此切线方程为 。
2.求两曲线切线方程
已知抛物线 和 ,如果直线 同时是 和 的切线,称 是 和 的公切线,求公切线 的方程。
分析:本题也可用常规方法求解,但运算量大,过程烦琐,而利用导数知识无疑为解决这类问题提供了新的,简捷的方法,即先分别求出两曲线的切线,利用它们是同一直线来建立关系求解。
解:由 ,得 ,所以曲线 在点 的切线方程是 ,即
(1) 由 ,得 ,所以曲线 在点 的切线方程是 ,即 。
(2) 若 是过 与 的公切线,则(1)(2)表示的是同一直线,所以
消去 ,得 ,由题意知 ,所以 ,则 ,即点P与Q重合,此时曲线 和 有且仅有一条公切线,且公切线方程为 。
三、利用导数解决不等式问题
纵观这几年的高考,凡涉及到不等式证明的问题,其综合性强、思维量大,因此历来是高考的难点。利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的联系,直接或间接等价变形后,结合不等式的结构特征,构造相应的函数。通过导数运算判断出函数的单调性,将不等式的证明转化为函数问题。
已知函数f(x)=(a为常数),若存在 ,使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围。
解:由已知得: ≤a+2,令 ,
g(x)在 上为增函数,g(x)min=-1,因此a≥-1。
四、利用导数解决实际问题
利用导数,不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题,而且还可以解决一些实际应用问题。学习的最终目的,是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力。近几年,高考越来越注重对实际问题的考查,比如最优化问题、最低成本问题等,而利用导数解决这些问题非常方便。
导数及其应用是微积分学的重要组成部分,是解决许多问题的有力工具,它全面体现了数学的价值:既给学生提供了一种新的方法,又给学生提供了一种重要的思想。总之,开设导数不仅促进学生全面认识了数学的价值,而且发展了学生的辩证思维能力,也为今后进一步学好微积分打下基础。因此,在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义。
在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积多少?
解:设箱底边长为x,则箱高 ,箱子容积V(x)=, V‘(x)=,令V‘(x)=
得x=0(舍去),x=40,并求得V(40)=16000,因此,当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3。
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收稿日期:2009-06-04
一、利用导数解决函数问题
1.利用导数解决函数的单调性
函数的单调性是函数的一个重要性质,是研究函数时经常要注意的一个性质。函数的单调性与函数的导数密切相关,运用导数知识来讨论函数单调性时,结合导数的几何意义,只需考虑 的正负即可,当 时, 单调递增;当 时, 单调递减。此方法简单快捷而且适用面广。
(09年文科高考全国卷21)已知函数f(x)=x4-3x2+6,讨论f(x)的单调性。
解:f’(x)=4x3-6x=4x(x+ )(x- ),当x 和x 时, ,当x 和x 时, ,因此,f(x)在区间 和 是减函数,f(x)在区间 和 为增函数。
2.利用导数解决函数图象与直线交点问题
设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a,当a在什么范围内取值时,曲线y= f(x)与x轴仅有一个交点。
解:f’(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),当x 和( 时 f(x)为增函数,当x 时,f(x)为减函数,f(x)与x轴只有一个交点,只需极大值 <0或极小值a-1>0,即a>1或a< 。
3.利用导数求函数的解析式
用解析式表示函数关系,便于研究函数的性质,而利用导数求函数的解析式,函数的一些基本性质就会显得更加的明了。
已知函数f(x)=ax3+bx2-x(a,b为常数),且当x=1和x=2时,函数f(x)取得极值,求函数f(x)的解析式。
解:f’(x)=3ax2+2bx-1,由已知得f’(1)=0,f’(2)=0,
,解得 ,因此f(x)=。
4.利用导数求函数的值域
求函数的值域是中学数学中的重点,也是难点,方法因题而异,不易掌握。但是,如果采用导数来求解,则较为容易,且一般问题都可行。
求函数 的值域。
分析:先确定函数的定义域,然后根据定义域判断 的正负,进而求出函数 的值域。
解:显然, 定义域为 ,由于
因此当 时,f(x)为增函数,当 时,f(x)为减函数,因此当 时,f(x)max= f( )= ,无最小值,值域为 。
5.利用导数求函数的最(极)值
求函数的最(极)值是高中数学的重点,也是难点,是高考经常要考查的内容之一,它涉及到了函数知识的很多方面,用导数解决这类问题可以使解题过程简化,步骤清晰,也容易掌握,从而进一步明确了函数的性态。
一般地,函数 在闭区间 上可导,则 在 上的最值求法:
(1) 求函数 在 上的极值点;
(2) 计算 在极值点和端点的函数值;
(3) 比较 在极值点和端点的函数值,最大的是最大值,最小的是最小值。
求函数 在 上的最大值和最小值。
分析 先求出 的极值点,然后比较极值点与区间端点的函数值,即可得该函数在区间 上的最大值和最小值。
解:由于 ,令f’(x)=0得:x=-2,
f(-3)=3,f(0)=0,f(-2)=8,因此最大值是8,最小值是0。
二、利用导数解决切线问题
1.求过某一点的切线方程
此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况, 的几何意义就是曲线在点 处切线的斜率,过 点的切线方程为 ,但应注意点 在曲线 上,否则易错。
(09年文科高考全国卷21)已知函数f(x)=x4-3x2+6,设点P在曲线y= f(x)上,若该曲线在点P处的切线 通过坐标原点,求 的方程。
分析:此类题型为点不在曲线上求切线方程,应先设出切点坐标,表示出切线方程,把已知点代入方程,求出切点坐标后,再求切线方程。
解:设点P的坐标为(x0,f(x0))由过原点知,的方程为y= f‘(x0)x
因此f(x0)= x0 f‘(x0),即: ,整理得 ,解得 ,因此切线方程为 。
2.求两曲线切线方程
已知抛物线 和 ,如果直线 同时是 和 的切线,称 是 和 的公切线,求公切线 的方程。
分析:本题也可用常规方法求解,但运算量大,过程烦琐,而利用导数知识无疑为解决这类问题提供了新的,简捷的方法,即先分别求出两曲线的切线,利用它们是同一直线来建立关系求解。
解:由 ,得 ,所以曲线 在点 的切线方程是 ,即
(1) 由 ,得 ,所以曲线 在点 的切线方程是 ,即 。
(2) 若 是过 与 的公切线,则(1)(2)表示的是同一直线,所以
消去 ,得 ,由题意知 ,所以 ,则 ,即点P与Q重合,此时曲线 和 有且仅有一条公切线,且公切线方程为 。
三、利用导数解决不等式问题
纵观这几年的高考,凡涉及到不等式证明的问题,其综合性强、思维量大,因此历来是高考的难点。利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的联系,直接或间接等价变形后,结合不等式的结构特征,构造相应的函数。通过导数运算判断出函数的单调性,将不等式的证明转化为函数问题。
已知函数f(x)=(a为常数),若存在 ,使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围。
解:由已知得: ≤a+2,令 ,
g(x)在 上为增函数,g(x)min=-1,因此a≥-1。
四、利用导数解决实际问题
利用导数,不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题,而且还可以解决一些实际应用问题。学习的最终目的,是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力。近几年,高考越来越注重对实际问题的考查,比如最优化问题、最低成本问题等,而利用导数解决这些问题非常方便。
导数及其应用是微积分学的重要组成部分,是解决许多问题的有力工具,它全面体现了数学的价值:既给学生提供了一种新的方法,又给学生提供了一种重要的思想。总之,开设导数不仅促进学生全面认识了数学的价值,而且发展了学生的辩证思维能力,也为今后进一步学好微积分打下基础。因此,在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义。
在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积多少?
解:设箱底边长为x,则箱高 ,箱子容积V(x)=, V‘(x)=,令V‘(x)=
得x=0(舍去),x=40,并求得V(40)=16000,因此,当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3。
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收稿日期:2009-06-04