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[摘 要]本节复习课首先通过一题多解创建出框架图，梳理知识体系.然后由新定义问题及课本改编问题入手，经过充分变式，夯实学生四基，发展学生四能.复习课教学一定要跳出“题海”挖“题井”，抓住本质促升华，让学生体会到俯瞰大地、一览众山小的感觉，从而喜欢上复习课.
复习教学的目的是建构知识体系，深化知识的理解与应用，实现数学思维与能力的提升.如何在复习中建构知识体系 如何通过复习内化知识，实现数学思维与能力的提升 在海曙区教研活动中，笔者展示了《圆的基本性质》复习观摩课，进行了一次复习教学探索.现将课堂教学实录及对教学设计的思考整理如下.
一、教学目标
1.经历问题一的解决过程，建构圆的基本性质知识体系;
2.运用圆的基本性质解决相关问题，掌握圆的基本性质;
3.经历问题二及变式的探究，提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，感悟数学思想，积累活动经验.
二、教学过程
1.演绎思维：利用圆的特殊性质引入
教师出示一个圆形纸片，让学生找出圆心.
生1：两次对折后，交点即为圆心.
教师：为什么呢
生1：圆是轴对称图形.两条对称轴的交点就是圆形.
教师：两条折痕夹角所对的弧相等，说明了圆的旋转不变性，这就是上课的主要内容.（板书：圆的基本性质——轴对称性、旋转不变性）
2.发散思维：方法多样性和结论确定，复习图的基本性质
图1 问题一：如图1，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，D为BC 上的一点，且OD∥AC.求证：CD=BD.
生2：连接OC，∵AC∥OD，∴∠A=∠BOD，∠ACO=∠COD. ∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠COD=∠DOB，∴CD=BD.
教师：这个做法用到了本章中哪些知识点
生2：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等.（教师板书：圆心角相等、弦相等）
教师：很好，要证明弦相等，可以转化为证明这两条弦所对的圆心角相等.还有其他方法吗
图2 生3：如图2，连接AD，AC∥OD，OA=OD，∴∠CAD=∠ODA=∠OAD，∴CD=BD，∴CD=BD.我运用了“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等;在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等”.（教师板书：圆周角相等、弧相等）
图3 生4：如图3，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°. ∵AC∥OD，∴BC⊥OD.由垂径定理可以得到 CD =BD，∴CD=BD.我所用的知识点：直径所对的圆周角为90°;垂直于弦的直径平分弦所对的弧，相等的弧所对的弦相等.（教师板书：直径垂直弦、直径平分弧、直径平分非直径弦）
图4 生5：如图4，延长DO交⊙O于点E，连接AE. ∵AC∥OD，∴AE=CD，∴AE=CD，∵∠AOE=∠BOD， ∴AE=BD，∴CD=BD.我所用的知识点为“在同圆或等圆中， 平行线所夹的弧相等，相等的圆心角所对弧相等，相等的弧 所对的弦相等”.
图5 教师：大家太棒了！刚才你们运用的这些定理，它们的逆命题是否成立 还可以得到哪些结论来引导完善以下框架图 （学生先独立思考，然后小组共同分享）
教师：好了，我们从圆的弦、弧、圆心角、圆周角入手梳理了圆的相关知识，同时对解决问题的方法也有了进一步的体验.下面让我们继续探究.
3.合理联想：实现问题的转化
问题二：如果圆的两条弦相交且弦心距相等，我们把这两条弦叫做和谐弦.如图6，如果AB、CD为和谐弦且相交于E点，你能得到哪些结论，请说明理由.
图6 生（众）：AB=CD，AE=ED，CE=EB.
教师：O在∠AED的角平分线上，你们有什么发现
生6（马上举手）：AC=BD，其实刚才的结论，都是因为这个图形是以直线OE为对称轴的轴对称图形.
教师：生6利用了圆的轴对称性快速地得到了结论，我们平时在考虑圆的问题时可以多从它的轴对称性和旋转不变性出发.
4.拓展思维：提升问题的层次
图7
图8 教师：如图7，已知M点坐标（1，1），半径为10，⊙M与坐标轴交于A、B、C、D点.线段AC、BD是和谐弦吗
生7：是的，点M到AC、BD的距离都等于1.
变式：如图8，已知M点坐标（1，1），半径为10，⊙M与坐标轴交于A、B、C、D点.
（1）若E、G是BAD上的两点，F、H是x轴上两点，且四边形 EFGH为正方形，求它的边长.
教师巡视，发现很多学生遇到了困难.
教师：正方形中哪条边最特殊
生（众）：EG，它是⊙M的弦.
教师：很好！求弦长常用的基本图形是什么呢
生8：弦、弦心距、半径、弓形高，知其二，必能求另两个量，或知其一，就可以设未知数建立方程.
大部分学生恍然大悟，开始奋笔疾书.
教师请生8板演，过程如下.
解：过M作MN⊥EG于N，连结MG.设EF=x，则NM=x-1，根据垂径定理易得NG=0.5x，∵MG2=MN2 NG2，∴10=（x-1）2 （0.5x）2，解得x1=-2（舍去），x2=3.6，∴边长为3.6.
教师：其实这道题，老师是从书本96页的例题改编而来，原题是求圆内接正方形的边长，经过改编后变成利用方程思想解决圆中半径、半弦、弦心距所构造的直角三角形问题.（板书：设元构建方程模型）
复习教学的目的是建构知识体系，深化知识的理解与应用，实现数学思维与能力的提升.如何在复习中建构知识体系 如何通过复习内化知识，实现数学思维与能力的提升 在海曙区教研活动中，笔者展示了《圆的基本性质》复习观摩课，进行了一次复习教学探索.现将课堂教学实录及对教学设计的思考整理如下.
一、教学目标
1.经历问题一的解决过程，建构圆的基本性质知识体系;
2.运用圆的基本性质解决相关问题，掌握圆的基本性质;
3.经历问题二及变式的探究，提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，感悟数学思想，积累活动经验.
二、教学过程
1.演绎思维：利用圆的特殊性质引入
教师出示一个圆形纸片，让学生找出圆心.
生1：两次对折后，交点即为圆心.
教师：为什么呢
生1：圆是轴对称图形.两条对称轴的交点就是圆形.
教师：两条折痕夹角所对的弧相等，说明了圆的旋转不变性，这就是上课的主要内容.（板书：圆的基本性质——轴对称性、旋转不变性）
2.发散思维：方法多样性和结论确定，复习图的基本性质
图1 问题一：如图1，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，D为BC 上的一点，且OD∥AC.求证：CD=BD.
生2：连接OC，∵AC∥OD，∴∠A=∠BOD，∠ACO=∠COD. ∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠COD=∠DOB，∴CD=BD.
教师：这个做法用到了本章中哪些知识点
生2：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等.（教师板书：圆心角相等、弦相等）
教师：很好，要证明弦相等，可以转化为证明这两条弦所对的圆心角相等.还有其他方法吗
图2 生3：如图2，连接AD，AC∥OD，OA=OD，∴∠CAD=∠ODA=∠OAD，∴CD=BD，∴CD=BD.我运用了“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等;在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等”.（教师板书：圆周角相等、弧相等）
图3 生4：如图3，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°. ∵AC∥OD，∴BC⊥OD.由垂径定理可以得到 CD =BD，∴CD=BD.我所用的知识点：直径所对的圆周角为90°;垂直于弦的直径平分弦所对的弧，相等的弧所对的弦相等.（教师板书：直径垂直弦、直径平分弧、直径平分非直径弦）
图4 生5：如图4，延长DO交⊙O于点E，连接AE. ∵AC∥OD，∴AE=CD，∴AE=CD，∵∠AOE=∠BOD， ∴AE=BD，∴CD=BD.我所用的知识点为“在同圆或等圆中， 平行线所夹的弧相等，相等的圆心角所对弧相等，相等的弧 所对的弦相等”.
图5 教师：大家太棒了！刚才你们运用的这些定理，它们的逆命题是否成立 还可以得到哪些结论来引导完善以下框架图 （学生先独立思考，然后小组共同分享）
教师：好了，我们从圆的弦、弧、圆心角、圆周角入手梳理了圆的相关知识，同时对解决问题的方法也有了进一步的体验.下面让我们继续探究.
3.合理联想：实现问题的转化
问题二：如果圆的两条弦相交且弦心距相等，我们把这两条弦叫做和谐弦.如图6，如果AB、CD为和谐弦且相交于E点，你能得到哪些结论，请说明理由.
图6 生（众）：AB=CD，AE=ED，CE=EB.
教师：O在∠AED的角平分线上，你们有什么发现
生6（马上举手）：AC=BD，其实刚才的结论，都是因为这个图形是以直线OE为对称轴的轴对称图形.
教师：生6利用了圆的轴对称性快速地得到了结论，我们平时在考虑圆的问题时可以多从它的轴对称性和旋转不变性出发.
4.拓展思维：提升问题的层次
图7
图8 教师：如图7，已知M点坐标（1，1），半径为10，⊙M与坐标轴交于A、B、C、D点.线段AC、BD是和谐弦吗
生7：是的，点M到AC、BD的距离都等于1.
变式：如图8，已知M点坐标（1，1），半径为10，⊙M与坐标轴交于A、B、C、D点.
（1）若E、G是BAD上的两点，F、H是x轴上两点，且四边形 EFGH为正方形，求它的边长.
教师巡视，发现很多学生遇到了困难.
教师：正方形中哪条边最特殊
生（众）：EG，它是⊙M的弦.
教师：很好！求弦长常用的基本图形是什么呢
生8：弦、弦心距、半径、弓形高，知其二，必能求另两个量，或知其一，就可以设未知数建立方程.
大部分学生恍然大悟，开始奋笔疾书.
教师请生8板演，过程如下.
解：过M作MN⊥EG于N，连结MG.设EF=x，则NM=x-1，根据垂径定理易得NG=0.5x，∵MG2=MN2 NG2，∴10=（x-1）2 （0.5x）2，解得x1=-2（舍去），x2=3.6，∴边长为3.6.
教师：其实这道题，老师是从书本96页的例题改编而来，原题是求圆内接正方形的边长，经过改编后变成利用方程思想解决圆中半径、半弦、弦心距所构造的直角三角形问题.（板书：设元构建方程模型）