论文部分内容阅读
【摘要】《数学分析》是应用数学和信息与计算科学专业的一门基础必修课，是后续课程的理论基础。本文就《数学分析》知识在《概率论与数理统计》，《数值分析》和《常微分方程》中的应用做了汇总。
【关键词】数学分析 概率论与数理统计 数值分析
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）07-0155-01
数学是研究自然科学的基础工具之一，对科技领域和现代生产实践产生了巨大的推动作用。而《数学分析》作为信息与计算科学专业一门主要的专业基础必修课，其教学的成败对信息与计算科学专业的学生的数学素质的培养起着关键的作用。它是后续课程《常微分方程》，《概率论》，《数理统计》，《数值分析》等的基础。《数学分析》中的有些知识点在这些课程中得到了直接的应用，需要在《数学分析》教学中加以强调及重视。以下就本人的所知总结如下：
一、归结原则在《概率论》中的应用
定理1 若存在单调增（减）数列a■，满足
（i）■an=x■，
（ii）数列■f(an)=A，
则有■f(x)=A（■f(x)=A）。
这个定理在《概率论》中证明分布函数F(x)的右连续性时起到了关键的作用。在《数学分析》中强调这个定理，将为学生理解分布函数F(x)的右连续性奠定基础。
二、傅里叶变换的应用
《概率论》中分布的特征函数是研究随机变量分布的一个重要内容。连续分布的特征函数和其概率密度是一一对应的。第一，特征函數在求随机变量和中简化了计算过程。第二，有些多元随机变量的密度函数无法表示出来，但其特征函数是唯一确定的，例如多元正态分布，如果其方差矩阵非正定，其概率密度将无法写出，但是其特征函数是唯一确定的。因此特征函数在研究多元随机变量的分布中起到不可忽视的作业。而特征函数正是概率密度的傅里叶变换，在《数学分析》中强调傅里叶变换的定义，性质，对学生理解和运用特征函数奠定基础。
利用傅里叶积分变换的性质求线性微分方程和线性微分方程组的解也是一个重要内容。
三、多元函数极点存在必要性的应用
1.最大似然估计是《数理统计》的一个重要内容，而求似然函数的最大值点的依据就是多元函数极点存在的必要性。
2.线性回归分析中确定系数的最小二乘法的理论依据就是多元函数极点存在的充要条件。
3.条件极值是《数值分析》中求最优化解的主要方法,而拉格朗日函数正是求条件最优解的常用方法，在教学中可以联系《数值分析》，有针对性的加以讲解。
四、含参变量积分的应用
1.《概率论》中求边际概率密度及求分布的特征函数的依据是含参变量的积分和含参变量反常积分性质。
2.《概率论》中伽玛分布和贝塔分布是含参变量反常积分B函数和 函数的应用。B函数和г函数的定义，定义域，性质， B函数和г函数的关系在研究伽玛分布和贝塔分布中起到了很重要的作用。如《数学分析》中的如下例题：
例：计算积分■e■dx
解：令t=x■，则■e■dx=■■e■t■dt=■г（■），
利用B函数和г函数的关系得到
B(■,■)=■г(■)■，
再利用B函数的另一表达式，得到
B(■,■)=2■dθ=π，
所以得到结论г(■)=■,■e■dx=■■e■t■dt=■г（■）=■。证毕。
在这个问题的证明过程中用到了B函数和г函数的关系，B函数的性质，而结论
г(■)=■, ■e■dx=■
更是《概率论》研究正态分布，伽玛分布和贝塔分布数的关键。这个例子的证明及结论有针对性加以强调，对后续的《概率论》有重要的作用。
五、黎曼积分的应用
黎曼积分在物理和工程上有重要的应用，其定义和计算方法是《数学分析》的重要内容。在《概率论》，《数值分析》，《常微分方程》，《泛函分析》等后续课程中，黎曼积分的计算和性质是学生面对的一个难点.在《数学分析》教学中，可将后续课程的内容，有针对性加以强调。
六、《数值分析》的几个知识点
误差估计和近似计算是《数值分析》的两个主要教学内容。
微分中值定理是误差估计的主要理论依据。
函数项级数是近似计算的主要依据。
例如：计算■cost■dt。
解：因为cost■=■■其收敛域为t∈R。由幂级数性质，可知
■cost■dt=■■■dt=■■■t■dt=■■。
当k充分大是，可得到■cost■dt的近似值，而且可以估计近似值的误差。
梯度方向是函数变化率最大的方向，在近似计算中可以加速近似计算的收敛速度,降低计算量。
了解后续课程的教学内容，在《数学分析》中有针对性的加以强调，或将后续课程的内容作为例题来讲，可以激发学生的求知欲和好奇心，为后续课程的教学奠定基础。
本人学识有限，关于《数学分析》在后续课程中的应用，还有待相关任课教师进一步完善。
参考文献：
[1]《数学分析》（第三版），复旦大学数学系，欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋编，高等教育出版社
[2]《概率论与数理统计教程》（第二版），茆诗松，程依明，濮晓龙编，高等教育出版社
[3]《数值分析》（第四版），李庆扬，王能超，易大义编，清华大学出版社
[4]《复变函数与积分变换》（第二版），苏变萍，陈东立编，高等教育出版社
【关键词】数学分析 概率论与数理统计 数值分析
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）07-0155-01
数学是研究自然科学的基础工具之一，对科技领域和现代生产实践产生了巨大的推动作用。而《数学分析》作为信息与计算科学专业一门主要的专业基础必修课，其教学的成败对信息与计算科学专业的学生的数学素质的培养起着关键的作用。它是后续课程《常微分方程》，《概率论》，《数理统计》，《数值分析》等的基础。《数学分析》中的有些知识点在这些课程中得到了直接的应用，需要在《数学分析》教学中加以强调及重视。以下就本人的所知总结如下：
一、归结原则在《概率论》中的应用
定理1 若存在单调增（减）数列a■，满足
（i）■an=x■，
（ii）数列■f(an)=A，
则有■f(x)=A（■f(x)=A）。
这个定理在《概率论》中证明分布函数F(x)的右连续性时起到了关键的作用。在《数学分析》中强调这个定理，将为学生理解分布函数F(x)的右连续性奠定基础。
二、傅里叶变换的应用
《概率论》中分布的特征函数是研究随机变量分布的一个重要内容。连续分布的特征函数和其概率密度是一一对应的。第一，特征函數在求随机变量和中简化了计算过程。第二，有些多元随机变量的密度函数无法表示出来，但其特征函数是唯一确定的，例如多元正态分布，如果其方差矩阵非正定，其概率密度将无法写出，但是其特征函数是唯一确定的。因此特征函数在研究多元随机变量的分布中起到不可忽视的作业。而特征函数正是概率密度的傅里叶变换，在《数学分析》中强调傅里叶变换的定义，性质，对学生理解和运用特征函数奠定基础。
利用傅里叶积分变换的性质求线性微分方程和线性微分方程组的解也是一个重要内容。
三、多元函数极点存在必要性的应用
1.最大似然估计是《数理统计》的一个重要内容，而求似然函数的最大值点的依据就是多元函数极点存在的必要性。
2.线性回归分析中确定系数的最小二乘法的理论依据就是多元函数极点存在的充要条件。
3.条件极值是《数值分析》中求最优化解的主要方法,而拉格朗日函数正是求条件最优解的常用方法，在教学中可以联系《数值分析》，有针对性的加以讲解。
四、含参变量积分的应用
1.《概率论》中求边际概率密度及求分布的特征函数的依据是含参变量的积分和含参变量反常积分性质。
2.《概率论》中伽玛分布和贝塔分布是含参变量反常积分B函数和 函数的应用。B函数和г函数的定义，定义域，性质， B函数和г函数的关系在研究伽玛分布和贝塔分布中起到了很重要的作用。如《数学分析》中的如下例题：
例：计算积分■e■dx
解：令t=x■，则■e■dx=■■e■t■dt=■г（■），
利用B函数和г函数的关系得到
B(■,■)=■г(■)■，
再利用B函数的另一表达式，得到
B(■,■)=2■dθ=π，
所以得到结论г(■)=■,■e■dx=■■e■t■dt=■г（■）=■。证毕。
在这个问题的证明过程中用到了B函数和г函数的关系，B函数的性质，而结论
г(■)=■, ■e■dx=■
更是《概率论》研究正态分布，伽玛分布和贝塔分布数的关键。这个例子的证明及结论有针对性加以强调，对后续的《概率论》有重要的作用。
五、黎曼积分的应用
黎曼积分在物理和工程上有重要的应用，其定义和计算方法是《数学分析》的重要内容。在《概率论》，《数值分析》，《常微分方程》，《泛函分析》等后续课程中，黎曼积分的计算和性质是学生面对的一个难点.在《数学分析》教学中，可将后续课程的内容，有针对性加以强调。
六、《数值分析》的几个知识点
误差估计和近似计算是《数值分析》的两个主要教学内容。
微分中值定理是误差估计的主要理论依据。
函数项级数是近似计算的主要依据。
例如：计算■cost■dt。
解：因为cost■=■■其收敛域为t∈R。由幂级数性质，可知
■cost■dt=■■■dt=■■■t■dt=■■。
当k充分大是，可得到■cost■dt的近似值，而且可以估计近似值的误差。
梯度方向是函数变化率最大的方向，在近似计算中可以加速近似计算的收敛速度,降低计算量。
了解后续课程的教学内容，在《数学分析》中有针对性的加以强调，或将后续课程的内容作为例题来讲，可以激发学生的求知欲和好奇心，为后续课程的教学奠定基础。
本人学识有限，关于《数学分析》在后续课程中的应用，还有待相关任课教师进一步完善。
参考文献：
[1]《数学分析》（第三版），复旦大学数学系，欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋编，高等教育出版社
[2]《概率论与数理统计教程》（第二版），茆诗松，程依明，濮晓龙编，高等教育出版社
[3]《数值分析》（第四版），李庆扬，王能超，易大义编，清华大学出版社
[4]《复变函数与积分变换》（第二版），苏变萍，陈东立编，高等教育出版社