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在小学生的认知结构中，数和形是两个紧密联系、互相依赖、互相促进的部分。一方面小学生的抽象思维还不够发达，学习抽象的数学知识时还必须有形象的支持;另一方面，形象化的实例很容易引起学生的兴趣，快乐的情感更容易引发学生的有意注意，才能激发学生学习的积极性。
一、对《两位数乘两位数笔算乘法（不进位）》教与学的概述
“两位数乘两位数的笔算乘法（不进位）”是人教版《数学》三年级下册的内容。这部分内容是在多位数乘一位数的基础上进行教学的。两位数乘两位数的笔算不仅是本单元的教学重点，也是全册教材的一个重点，在小学阶段“数与代数”的学习中有着举足轻重的作用。
对于小学三年级学生来说，他们的年龄特征和心理特点决定了他们的形象思维仍占主要地位，因此，学习素材的选取与呈现以及学习活动的安排都要注重数学在学习和生活中的应用，注重知识的逻辑基础和学生的现实基础，让他们在合作交流中体验解决问题策略的多样化，在合作交流的过程中解决笔算中遇到的新问题，探讨计算方法。学生掌握两位数乘两位数笔算方法的关键是：（1）理解算理，理解用第二个乘数十位上的数乘第一个乘数是多少个“十”，乘得的数的末位要和乘数的十位对齐。（2）掌握乘的计算过程。
依据教材的编排和学生的实际，笔者认为，在两位数乘两位数笔算乘法教学中采用数形结合的方法，引导学生既从“数”的方面用分析的方法进行抽象思维，又从“形”的方面进行整体思考，通过类比、联想和想象进行形象思维。发挥两种思维的优势，可以引导学生更好地理解两位数乘两位数每一步的算理和算法，提高学生的运算能力。
二、教学的思考与实践
1.在丰富感知中内化对点子图的需求
小学生的思维以形象为主并逐步向抽象思维过渡。表象是由感知到概念间的阶梯，具有直觉性和概括性。两位数乘两位数笔算（不进位）这一内容抽象性强，学生在解决问题的过程中，如果单凭想象和思考较难找到解决问题的突破口。教师应当以直观形象的方式方法作为主要教学手段，在多次的铺垫与联系中深刻体会点子图的作用，唤醒、激活学生数形结合的意识，从而成功实现数与形的完美结合。
课堂伊始，借用点子图来分析13×2=26和13×10=130两道算式在点子图中所表示的意义。教学中提供给学生直观的点子图作为研究素材，引导学生的思维轨迹在点子图上留下印迹，引导学生用丰富多彩的学习成果予以证明。學生的计算方法不完全相同，但都是采用“先分后合”的思路，这一点恰恰就是乘法竖式计算的基本思路。较第一次试教中点子图的唐突出现，这节课点子图开始成为部分学生的必需。通过在点子图中圈一圈，学生较容易理解分步口算算式的意义。
2.在数形结合中探究算理及算法
（1）在点子图上刻画思维轨迹。在课堂中呈现点子图来辅助教学。“我们除了用竖式计算和用计算器计算以外，同学们还有很多计算方法，如13×2×6=156，13×3×4=156，13×2+13×10=156，13×9+13×3=156，这样计算有道理吗？”学生开始疑惑和茫然，此时，教师提供点子图建议学生在图中找答案（每行有13个点，有这样的12行）。
借用点子图，引导学生把自己的思路真实地展示在图中。点子图的表现形式直观简单，便于学生理解乘法的意义和算理;在探究算法时，它方便学生动手操作，在拆分、圈画中还能清晰简洁地反映学生不同的算法。
（2）在点子图中把抽象的算理和外显的算法进行勾连。算理是数学学习的重要内容，利用点子图生动、直观的特性探索并感悟笔算算理的形成过程，有助于对知识本质的把握。学生在操作中从“形”的方面进行具体思考并渐渐过渡到“数”的方面进行思维，不仅可以较为深刻地理解算理，同时促进了形象思维和逻辑思维的协调发展。在点子图中寻找竖式计算的足迹，帮助学生还原最简单、最直观的道理和方法，使算法和算理融为一体。教学中最大的收获是学生对点子图的理解与运用，借用对点子图的操作，进而用表内乘法和加法算出结果，把新知识转化为旧知识进行解答。
“竖式计算中用到的口诀（二三得六，一二得二，一三得三，一一得一）计算的是哪部分？为什么第二层的积要错位？”“能在点子图上找到竖式计算的过程并说明道理吗？”提出问题引发学生思考，学生开始在点子图上寻觅竖式计算的步骤。
（3）借用点子图激活思维，让课堂充满挑战。学生的学习是建立在已有知识与生活经验的基础之上的。课前检测中学生的现状是会算但不能清楚地表达如何算。因此，教师以此为基础，将教学重点放在引领学生探究计算方法和理解算理上。教学过程中，学生利用点子图来圈一圈、算一算，探索了多种计算方法。
教学中把“书”变成点子，学生理解得很快，而且把计算的落脚点放在了“有多少本书”，学生解决问题的注意力无形之中从计算13×12转移到了点子图所表示的“一共有多少本书”，从而利用点子图直观地解决问题。这时点子图自然发挥了辅助作用，学生借助点子图，既呈现了多样的算法，又理解了算理，掌握了算法。可以说把之前执教过程中的几处矛盾都巧妙地“化解”了。
在探索两位数乘两位数（不进位）笔算乘法的算理时，首先，要让学生尝试用已有的知识解决新问题，并要求学生用点子图把自己的方法表示出来，让学生经历用图示表征解释算法的过程。然后，交流展示多种解决问题的方法，并通过学生的汇报使学生明确如何划分点子图、算式表征了哪种计算方法，沟通图形表征、算式表征与计算方法之间的联系。最后，在理解竖式计算的算理时，可以让学生再次利用点子图，表示出竖式计算中每一步的结果，进而更好地理解其含义，掌握好算法。借助点子图，在加深学生对计算方法理解的同时，使学生逐步学会借助几何直观去解决问题，去表达和交流，有效地促进学生的全面发展。
3.在“纵横思辨”练习中，深化数形结合观念
课堂结束后，笔者认为学生已经掌握了两位数乘两位数的笔算方法，继而顺势出示四道练习题，让学生独立练习。通过作业的批改和访谈，发现有20%的学生对于算法和算理还是没有真正理解。虽然学生出现的问题不同，但是归根结底是没有理清楚算理，只是机械性地模仿笔算方法。
对于学生来说，两位数乘两位数是计算学习过程中的一次新“跨越”。计算教学的练习对于整节课的学习效果来说至关重要。首先要对算法进行巩固，还要在不同情境中进一步理解算理的同时注重练习的趣味性，避免计算练习的枯燥和机械。
“数”与“形”是数学研究的两个基本对象。利用数形结合方法能使“数”和“形”统一起来，借助于“形”的直观来理解抽象的“数”，运用“数”与“式”来细致入微地刻画“形”的特征，直观与抽象相互配合、取长补短，从而顺利、有效地解决问题。数学是一门严谨的学科，计算教学中算理和算法必须并重。小学阶段学生的思维处于从直观到抽象的发展过程中，教师除了要全盘考虑知识体系外，更重要的是要“蹲下来”，站在学生的思维角度去思考问题，从学生的需要出发，善于运用直观的手段，才会有更好的教学效果。
（作者单位：浙江省温州市龙湾区第二小学）
（责任编辑 晓寒）
一、对《两位数乘两位数笔算乘法（不进位）》教与学的概述
“两位数乘两位数的笔算乘法（不进位）”是人教版《数学》三年级下册的内容。这部分内容是在多位数乘一位数的基础上进行教学的。两位数乘两位数的笔算不仅是本单元的教学重点，也是全册教材的一个重点，在小学阶段“数与代数”的学习中有着举足轻重的作用。
对于小学三年级学生来说，他们的年龄特征和心理特点决定了他们的形象思维仍占主要地位，因此，学习素材的选取与呈现以及学习活动的安排都要注重数学在学习和生活中的应用，注重知识的逻辑基础和学生的现实基础，让他们在合作交流中体验解决问题策略的多样化，在合作交流的过程中解决笔算中遇到的新问题，探讨计算方法。学生掌握两位数乘两位数笔算方法的关键是：（1）理解算理，理解用第二个乘数十位上的数乘第一个乘数是多少个“十”，乘得的数的末位要和乘数的十位对齐。（2）掌握乘的计算过程。
依据教材的编排和学生的实际，笔者认为，在两位数乘两位数笔算乘法教学中采用数形结合的方法，引导学生既从“数”的方面用分析的方法进行抽象思维，又从“形”的方面进行整体思考，通过类比、联想和想象进行形象思维。发挥两种思维的优势，可以引导学生更好地理解两位数乘两位数每一步的算理和算法，提高学生的运算能力。
二、教学的思考与实践
1.在丰富感知中内化对点子图的需求
小学生的思维以形象为主并逐步向抽象思维过渡。表象是由感知到概念间的阶梯，具有直觉性和概括性。两位数乘两位数笔算（不进位）这一内容抽象性强，学生在解决问题的过程中，如果单凭想象和思考较难找到解决问题的突破口。教师应当以直观形象的方式方法作为主要教学手段，在多次的铺垫与联系中深刻体会点子图的作用，唤醒、激活学生数形结合的意识，从而成功实现数与形的完美结合。
课堂伊始，借用点子图来分析13×2=26和13×10=130两道算式在点子图中所表示的意义。教学中提供给学生直观的点子图作为研究素材，引导学生的思维轨迹在点子图上留下印迹，引导学生用丰富多彩的学习成果予以证明。學生的计算方法不完全相同，但都是采用“先分后合”的思路，这一点恰恰就是乘法竖式计算的基本思路。较第一次试教中点子图的唐突出现，这节课点子图开始成为部分学生的必需。通过在点子图中圈一圈，学生较容易理解分步口算算式的意义。
2.在数形结合中探究算理及算法
（1）在点子图上刻画思维轨迹。在课堂中呈现点子图来辅助教学。“我们除了用竖式计算和用计算器计算以外，同学们还有很多计算方法，如13×2×6=156，13×3×4=156，13×2+13×10=156，13×9+13×3=156，这样计算有道理吗？”学生开始疑惑和茫然，此时，教师提供点子图建议学生在图中找答案（每行有13个点，有这样的12行）。
借用点子图，引导学生把自己的思路真实地展示在图中。点子图的表现形式直观简单，便于学生理解乘法的意义和算理;在探究算法时，它方便学生动手操作，在拆分、圈画中还能清晰简洁地反映学生不同的算法。
（2）在点子图中把抽象的算理和外显的算法进行勾连。算理是数学学习的重要内容，利用点子图生动、直观的特性探索并感悟笔算算理的形成过程，有助于对知识本质的把握。学生在操作中从“形”的方面进行具体思考并渐渐过渡到“数”的方面进行思维，不仅可以较为深刻地理解算理，同时促进了形象思维和逻辑思维的协调发展。在点子图中寻找竖式计算的足迹，帮助学生还原最简单、最直观的道理和方法，使算法和算理融为一体。教学中最大的收获是学生对点子图的理解与运用，借用对点子图的操作，进而用表内乘法和加法算出结果，把新知识转化为旧知识进行解答。
“竖式计算中用到的口诀（二三得六，一二得二，一三得三，一一得一）计算的是哪部分？为什么第二层的积要错位？”“能在点子图上找到竖式计算的过程并说明道理吗？”提出问题引发学生思考，学生开始在点子图上寻觅竖式计算的步骤。
（3）借用点子图激活思维，让课堂充满挑战。学生的学习是建立在已有知识与生活经验的基础之上的。课前检测中学生的现状是会算但不能清楚地表达如何算。因此，教师以此为基础，将教学重点放在引领学生探究计算方法和理解算理上。教学过程中，学生利用点子图来圈一圈、算一算，探索了多种计算方法。
教学中把“书”变成点子，学生理解得很快，而且把计算的落脚点放在了“有多少本书”，学生解决问题的注意力无形之中从计算13×12转移到了点子图所表示的“一共有多少本书”，从而利用点子图直观地解决问题。这时点子图自然发挥了辅助作用，学生借助点子图，既呈现了多样的算法，又理解了算理，掌握了算法。可以说把之前执教过程中的几处矛盾都巧妙地“化解”了。
在探索两位数乘两位数（不进位）笔算乘法的算理时，首先，要让学生尝试用已有的知识解决新问题，并要求学生用点子图把自己的方法表示出来，让学生经历用图示表征解释算法的过程。然后，交流展示多种解决问题的方法，并通过学生的汇报使学生明确如何划分点子图、算式表征了哪种计算方法，沟通图形表征、算式表征与计算方法之间的联系。最后，在理解竖式计算的算理时，可以让学生再次利用点子图，表示出竖式计算中每一步的结果，进而更好地理解其含义，掌握好算法。借助点子图，在加深学生对计算方法理解的同时，使学生逐步学会借助几何直观去解决问题，去表达和交流，有效地促进学生的全面发展。
3.在“纵横思辨”练习中，深化数形结合观念
课堂结束后，笔者认为学生已经掌握了两位数乘两位数的笔算方法，继而顺势出示四道练习题，让学生独立练习。通过作业的批改和访谈，发现有20%的学生对于算法和算理还是没有真正理解。虽然学生出现的问题不同，但是归根结底是没有理清楚算理，只是机械性地模仿笔算方法。
对于学生来说，两位数乘两位数是计算学习过程中的一次新“跨越”。计算教学的练习对于整节课的学习效果来说至关重要。首先要对算法进行巩固，还要在不同情境中进一步理解算理的同时注重练习的趣味性，避免计算练习的枯燥和机械。
“数”与“形”是数学研究的两个基本对象。利用数形结合方法能使“数”和“形”统一起来，借助于“形”的直观来理解抽象的“数”，运用“数”与“式”来细致入微地刻画“形”的特征，直观与抽象相互配合、取长补短，从而顺利、有效地解决问题。数学是一门严谨的学科，计算教学中算理和算法必须并重。小学阶段学生的思维处于从直观到抽象的发展过程中，教师除了要全盘考虑知识体系外，更重要的是要“蹲下来”，站在学生的思维角度去思考问题，从学生的需要出发，善于运用直观的手段，才会有更好的教学效果。
（作者单位：浙江省温州市龙湾区第二小学）
（责任编辑 晓寒）