论文部分内容阅读
【摘要】数形结合是数学教学中常常采用的一种教学方法，应用这种方法可以提高学生对题目的理解深度，帮助学生在有限的线索中找到解题思路，所以教师在数学教学中应当加强对数形结合方法的运用，不断提高学生的数学解题能力.而且数学知识的学习离不开学生的数学思维，因此教师在数学教学中应要求学生在解题中针对一道数学题采取多种解题方法，以此来拓展学生的数学思维.本文主要对一道正方形几何证明解法进行探究，希望可以为教师教学提供帮助.
【关键词】正方形;构造法;数形结合
引言：学好数学离不开做题，但笔者并不赞成题海战术，那么，如何在数学课上拓展学生思维，提升学生的数学能力呢？一题多解是一种很好的教学方法，能够培养学生的发散性思维，从多种角度和方向思考问题，学生的思维变得更加流畅、创新、变通.而数形结合作为一种重要的解题方法，将复杂抽象的几何知识与形象的图形相结合，从不同角度去解答几何证明问题，可以得到事半功倍的效果.
题目：如图1，正方形ABCD中，E是BC的中点，EF⊥AE交∠DCE外角的平分线于点F，求证：AE=EF.
从题目中我们可以发现，此题的结构较为规整，正方形ABCD条件的给出为证明提供了很大的便利，尤其是运用构建平面直角坐标系的方法，以B点为原点，AB为y轴、BC为x轴建立平面直角坐标系是一种很直观的解题方法.如果想要采取其他的方法，那么必然要进行添加辅助线的操作，由于所需证明的两边AE，EF在现有的结构中并没有很直接的联系，因此在实际的解题过程中，通过添加辅助线使两条直线“遥相呼应”，就可以很好的解决问题，从直观上来看，本题EF在△ECF中，而AE在△ABE中，而通过辅助线的添加可以构建两个包含AE，EF的新三角形，证明三角形全等，从而实现AE=EF，下文就是对本题的详细解答.
一、构造钝角三角形法
采用构造钝角三角形的方法对此问题进行解答时，可以采取如下的两种方式进行三角形的构造，在构造时一定要注意构造的三角形与AE，EF的关系，虽然是对钝角三角形进行构造，但是本质上来说，还是运用数形结合的思想构建两个包含AE，EF的三角形，再通过三角形的性质来对两三角形进行全等证明，通过证明两个三角形全等的方式来对两边相等进行证明.而需要注意的是对三角形的构造并不是一成不变的，对钝角三角形来说包含EF的△ECF是典型的钝角三角形，而包含AE的钝角三角形却有很多，接下来的解法1和解法2会针对不同的三角形进行证明.以添加辅助线的方式来进行钝角三角形的构造，对此种解题方法来说，起到了抛砖引玉的作用，为证明三角形全等做了充分的准备工作，多种解法的运用对学生思维的发散有积极作用.
解法1：如图2，取AB的中点H，连接EH.
因为四边形ABCD是正方形，所以根据正方形的性质：四条边相等，四个角都是90°，可得到∠B=∠BCD=90°，AB=BC.
因为AE⊥EF，所以∠BAE ∠AEB=90°，∠FEC ∠AEB=90°，根据同角的余角相等，可得∠BAE=∠FEC.
又因为点H、点E分别是AB，BC的中点，根据中点的定义可得BH=BE，所以∠BHE=45°.
由CF是∠DCE外角的平分线，根据角平分线的性质可以得到∠DCF=45°，根据等式的性质得∠ECF=∠DCF ∠BCD=135°，从而∠AHE=∠ECF=135°.
而AH=CE，于是△AHE≌△ECF（ASA），根据全等三角形对应边相等，可得AE=EF.
解法2：如图3，连接AC，BD交于点O，再连接OE.
根据正方形对角线相等、垂直且互相平分可以得到△BOC，△AOB是等腰直角三角形.
因为E是BC的中点，由三线合一得OE⊥BC且∠BOE=∠COE=45°，
所以OE=CE=BE，
∠AOE=∠AOB ∠BOE=90° 45°=135°.
由CF是∠BCD外角的平分线，可得∠DCF=45°，
所以∠ECF=∠BCD ∠DCF=135°.
所以∠AOE=∠ECF.
因为AE⊥EF，根据垂线的定义得∠AEO ∠OEF=90°.
又因为∠CEF ∠OEF=90°，根据同角的余角相等得∠AEO=∠CEF.
所以△AOE≌△FCE（ASA），根据全等三角形对应边相等，可得AE=EF.
解法1中先运用正方形的性质得四条边相等，然后利用余角相等的定理得出∠BAE=∠FEC，而后根据中点的定义可得BH=BE，∠BHE=45°，最后由角平分线及全等三角形得出两边相等.解法2充分利用了正方形对角线相等、垂直且互相平分的性质来得出等腰三角形，而后根据各个角之间的关系得出∠AOE=∠ECF=135°，然后根据余角定理得出∠AEO=∠CEF，最后再利用全等三角形的定义得出两边相等.两种解法可以说有异曲同工之妙，都是先证明三角形全等，而后得出对应边相等的结论.
二、构造直角三角形法
构造直角三角形是常考考点，在本题中，通过构造直角三角形的方式可以顺利借助证明三角形全等的途径进行解题，从而提高学生的解题效率.对此，由于线段AE本身就处于直角三角形ABE中，所以只需要构建一个包含线段EF的直角三角形，然后证明两者全等即可.显然过点F作BC的垂线段即可实现直角三角形的构建，具体解法如下：
解法3：如图4，过点F作FH⊥BC交BC的延长线于点H.
根据正方形的性质可得∠B=∠BCD=90°，所以∠FHE=∠B=90°.
因为∠BAE ∠AEB=∠FEH ∠AEB=90°，根据同角的余角相等，可得∠BAE=∠FEH.
从而△ABE～△EHF，所以BEAB=FHEH.因為点E是BC的中点，所以BE=CE. 因为CF是∠BCD外角的平分线，所以∠DCF=∠FCH=45°，所以CH=FH.
设CH=FH=x，AB=BC=2a，则由BEAB=FHEH=a2a=xx a，可解得x=a，即EC=CH=FH=BE，AB=EH.
所以△ABE≌△EHF，所以AE=EF.
解法3也采用了构造法，在这里是构造直角三角形，对学生来说，有两个角缺边的方法要用到相似来求得FH=CH=BE，教师在引导学生解题的时候要特别注意总结归纳证边和角相等的方法，让学生学会除了全等、等腰（直角）三角形、平行四边形及特殊的平行四边形可以得到边和角相等之外，还要学会转化成相似三角形也可以得到角相等，从而突破盲点，顺利解除障碍.
三、构造平面直角坐标系法
在解决这道题目时，为了培养学生数形结合的解题能力，应该借助平面直角坐标系进行计算.为了符合平面直角坐标系构建的便利性原则，应该使得所有图形均位于平面直角坐标系的第一象限，从而有利于坐标的计算.对此，应该以整个图形左下角的B点为原点，以线段BC所在直线为x轴，以线段BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，通过设定单位长度的方式，对于每点的坐标进行确定，借助相应的数学计算，分别写出线段AE和线段EF的长度表达式，从而进行两者相等的证明，具体解法如下：
解法4：如图5，以点B为原点建立平面直角坐标系，则BA在y轴上，BC在x轴上，设正方形的边长为2a（a>0），于是点A的坐标为（0，2a），点C的坐标为（2a，0），点D的坐标为（2a，2a），由点E是线段BC的中点，得点E的坐标为（a，0）.
设直线AE的函数解析式为y=kx b（k≠0），将点A、点E的坐标分别代入得2a=b，0=ak b，解得k=-2，b=2a，因为AE⊥EF，所以kAE·kEF=-1，得kEF=12.
于是，设直线EF的函数解析式为y=12x c，把点E的坐标代入可得c=-12a.
所以直线EF的函数解析式为y=12x-12a，
过F作FH⊥BC交BC的延长线于H，
因为CF是∠DCB外角的平分线，∠FCH=∠CFH=45°，所以CH=HF.
又因为点F在直线EF上，设点F的坐标为（2a m，m）代入y=12x-12a，解得m=a，从而，点F的坐标为（3a，a）.
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE= AB2 BE2=5a，
同理可得：在Rt△EHF中，由勾股定理得EF= EH2 FH2=5a，
于是得到AE=EF.
解法4是本题解法中的一大亮点，通过使学生自主设立单位长度，借助直线的函数解析式和勾股定理，写出线段AE和EF的长度表达式，从而证明两者相等.这有助于使学生理解“数轴上的点与坐标是一一对应的”这一原理，从而有效提高学生数形结合的解题能力，也让学生更深刻地明白“数缺形时少直观，形少数时难入微”的道理.
结 语
在教学过程中，解题方法和解题思路对于学生来说是非常重要的，在教学过程中，教师应该学会引导学生运用最快捷的解题思路和方法去解决数学问题，但是在初中数学的教学过程中很多的数学问题解题思路是非常复杂的，很多学生经常不能很好地使用所学习的知识和方法去解决问题，这样就会影响到他们的解题速度和解题质量.因此，在初中数学教学中，教师就可以使用数形结合的方法去简化复杂的数学问题，运用数形结合的思想实质上是将代数问题和几何问题进行相互转化，它的应用一方面能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路变得清晰，步骤变得明了.另一方面在学生的学习过程中，可以激发学生学习的興趣和求知欲望，开拓学生的思维，提高学生的实践创新能力，使学生在认识层次上得到极大的提高，进而达到“解一题、会一类、通一片”的效果.
【参考文献】
[1] 孙学闯.“数缺形时少直观，形少数时难入微”：以《反比例函数的图像1》浅谈数形结合在教学中的渗透[J].考试周刊，2018（05）：91.
[2] 陈祥.初中数学教学中数形结合思想应用研究[J].数学学习与研究，2019（21）：51.
[3] 朱华.如何由一题多解看中考数学复习[J].新教育时代（教师版），2020（2）：182，193.
[4] 波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2007.
【关键词】正方形;构造法;数形结合
引言：学好数学离不开做题，但笔者并不赞成题海战术，那么，如何在数学课上拓展学生思维，提升学生的数学能力呢？一题多解是一种很好的教学方法，能够培养学生的发散性思维，从多种角度和方向思考问题，学生的思维变得更加流畅、创新、变通.而数形结合作为一种重要的解题方法，将复杂抽象的几何知识与形象的图形相结合，从不同角度去解答几何证明问题，可以得到事半功倍的效果.
题目：如图1，正方形ABCD中，E是BC的中点，EF⊥AE交∠DCE外角的平分线于点F，求证：AE=EF.
从题目中我们可以发现，此题的结构较为规整，正方形ABCD条件的给出为证明提供了很大的便利，尤其是运用构建平面直角坐标系的方法，以B点为原点，AB为y轴、BC为x轴建立平面直角坐标系是一种很直观的解题方法.如果想要采取其他的方法，那么必然要进行添加辅助线的操作，由于所需证明的两边AE，EF在现有的结构中并没有很直接的联系，因此在实际的解题过程中，通过添加辅助线使两条直线“遥相呼应”，就可以很好的解决问题，从直观上来看，本题EF在△ECF中，而AE在△ABE中，而通过辅助线的添加可以构建两个包含AE，EF的新三角形，证明三角形全等，从而实现AE=EF，下文就是对本题的详细解答.
一、构造钝角三角形法
采用构造钝角三角形的方法对此问题进行解答时，可以采取如下的两种方式进行三角形的构造，在构造时一定要注意构造的三角形与AE，EF的关系，虽然是对钝角三角形进行构造，但是本质上来说，还是运用数形结合的思想构建两个包含AE，EF的三角形，再通过三角形的性质来对两三角形进行全等证明，通过证明两个三角形全等的方式来对两边相等进行证明.而需要注意的是对三角形的构造并不是一成不变的，对钝角三角形来说包含EF的△ECF是典型的钝角三角形，而包含AE的钝角三角形却有很多，接下来的解法1和解法2会针对不同的三角形进行证明.以添加辅助线的方式来进行钝角三角形的构造，对此种解题方法来说，起到了抛砖引玉的作用，为证明三角形全等做了充分的准备工作，多种解法的运用对学生思维的发散有积极作用.
解法1：如图2，取AB的中点H，连接EH.
因为四边形ABCD是正方形，所以根据正方形的性质：四条边相等，四个角都是90°，可得到∠B=∠BCD=90°，AB=BC.
因为AE⊥EF，所以∠BAE ∠AEB=90°，∠FEC ∠AEB=90°，根据同角的余角相等，可得∠BAE=∠FEC.
又因为点H、点E分别是AB，BC的中点，根据中点的定义可得BH=BE，所以∠BHE=45°.
由CF是∠DCE外角的平分线，根据角平分线的性质可以得到∠DCF=45°，根据等式的性质得∠ECF=∠DCF ∠BCD=135°，从而∠AHE=∠ECF=135°.
而AH=CE，于是△AHE≌△ECF（ASA），根据全等三角形对应边相等，可得AE=EF.
解法2：如图3，连接AC，BD交于点O，再连接OE.
根据正方形对角线相等、垂直且互相平分可以得到△BOC，△AOB是等腰直角三角形.
因为E是BC的中点，由三线合一得OE⊥BC且∠BOE=∠COE=45°，
所以OE=CE=BE，
∠AOE=∠AOB ∠BOE=90° 45°=135°.
由CF是∠BCD外角的平分线，可得∠DCF=45°，
所以∠ECF=∠BCD ∠DCF=135°.
所以∠AOE=∠ECF.
因为AE⊥EF，根据垂线的定义得∠AEO ∠OEF=90°.
又因为∠CEF ∠OEF=90°，根据同角的余角相等得∠AEO=∠CEF.
所以△AOE≌△FCE（ASA），根据全等三角形对应边相等，可得AE=EF.
解法1中先运用正方形的性质得四条边相等，然后利用余角相等的定理得出∠BAE=∠FEC，而后根据中点的定义可得BH=BE，∠BHE=45°，最后由角平分线及全等三角形得出两边相等.解法2充分利用了正方形对角线相等、垂直且互相平分的性质来得出等腰三角形，而后根据各个角之间的关系得出∠AOE=∠ECF=135°，然后根据余角定理得出∠AEO=∠CEF，最后再利用全等三角形的定义得出两边相等.两种解法可以说有异曲同工之妙，都是先证明三角形全等，而后得出对应边相等的结论.
二、构造直角三角形法
构造直角三角形是常考考点，在本题中，通过构造直角三角形的方式可以顺利借助证明三角形全等的途径进行解题，从而提高学生的解题效率.对此，由于线段AE本身就处于直角三角形ABE中，所以只需要构建一个包含线段EF的直角三角形，然后证明两者全等即可.显然过点F作BC的垂线段即可实现直角三角形的构建，具体解法如下：
解法3：如图4，过点F作FH⊥BC交BC的延长线于点H.
根据正方形的性质可得∠B=∠BCD=90°，所以∠FHE=∠B=90°.
因为∠BAE ∠AEB=∠FEH ∠AEB=90°，根据同角的余角相等，可得∠BAE=∠FEH.
从而△ABE～△EHF，所以BEAB=FHEH.因為点E是BC的中点，所以BE=CE. 因为CF是∠BCD外角的平分线，所以∠DCF=∠FCH=45°，所以CH=FH.
设CH=FH=x，AB=BC=2a，则由BEAB=FHEH=a2a=xx a，可解得x=a，即EC=CH=FH=BE，AB=EH.
所以△ABE≌△EHF，所以AE=EF.
解法3也采用了构造法，在这里是构造直角三角形，对学生来说，有两个角缺边的方法要用到相似来求得FH=CH=BE，教师在引导学生解题的时候要特别注意总结归纳证边和角相等的方法，让学生学会除了全等、等腰（直角）三角形、平行四边形及特殊的平行四边形可以得到边和角相等之外，还要学会转化成相似三角形也可以得到角相等，从而突破盲点，顺利解除障碍.
三、构造平面直角坐标系法
在解决这道题目时，为了培养学生数形结合的解题能力，应该借助平面直角坐标系进行计算.为了符合平面直角坐标系构建的便利性原则，应该使得所有图形均位于平面直角坐标系的第一象限，从而有利于坐标的计算.对此，应该以整个图形左下角的B点为原点，以线段BC所在直线为x轴，以线段BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，通过设定单位长度的方式，对于每点的坐标进行确定，借助相应的数学计算，分别写出线段AE和线段EF的长度表达式，从而进行两者相等的证明，具体解法如下：
解法4：如图5，以点B为原点建立平面直角坐标系，则BA在y轴上，BC在x轴上，设正方形的边长为2a（a>0），于是点A的坐标为（0，2a），点C的坐标为（2a，0），点D的坐标为（2a，2a），由点E是线段BC的中点，得点E的坐标为（a，0）.
设直线AE的函数解析式为y=kx b（k≠0），将点A、点E的坐标分别代入得2a=b，0=ak b，解得k=-2，b=2a，因为AE⊥EF，所以kAE·kEF=-1，得kEF=12.
于是，设直线EF的函数解析式为y=12x c，把点E的坐标代入可得c=-12a.
所以直线EF的函数解析式为y=12x-12a，
过F作FH⊥BC交BC的延长线于H，
因为CF是∠DCB外角的平分线，∠FCH=∠CFH=45°，所以CH=HF.
又因为点F在直线EF上，设点F的坐标为（2a m，m）代入y=12x-12a，解得m=a，从而，点F的坐标为（3a，a）.
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE= AB2 BE2=5a，
同理可得：在Rt△EHF中，由勾股定理得EF= EH2 FH2=5a，
于是得到AE=EF.
解法4是本题解法中的一大亮点，通过使学生自主设立单位长度，借助直线的函数解析式和勾股定理，写出线段AE和EF的长度表达式，从而证明两者相等.这有助于使学生理解“数轴上的点与坐标是一一对应的”这一原理，从而有效提高学生数形结合的解题能力，也让学生更深刻地明白“数缺形时少直观，形少数时难入微”的道理.
结 语
在教学过程中，解题方法和解题思路对于学生来说是非常重要的，在教学过程中，教师应该学会引导学生运用最快捷的解题思路和方法去解决数学问题，但是在初中数学的教学过程中很多的数学问题解题思路是非常复杂的，很多学生经常不能很好地使用所学习的知识和方法去解决问题，这样就会影响到他们的解题速度和解题质量.因此，在初中数学教学中，教师就可以使用数形结合的方法去简化复杂的数学问题，运用数形结合的思想实质上是将代数问题和几何问题进行相互转化，它的应用一方面能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路变得清晰，步骤变得明了.另一方面在学生的学习过程中，可以激发学生学习的興趣和求知欲望，开拓学生的思维，提高学生的实践创新能力，使学生在认识层次上得到极大的提高，进而达到“解一题、会一类、通一片”的效果.
【参考文献】
[1] 孙学闯.“数缺形时少直观，形少数时难入微”：以《反比例函数的图像1》浅谈数形结合在教学中的渗透[J].考试周刊，2018（05）：91.
[2] 陈祥.初中数学教学中数形结合思想应用研究[J].数学学习与研究，2019（21）：51.
[3] 朱华.如何由一题多解看中考数学复习[J].新教育时代（教师版），2020（2）：182，193.
[4] 波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2007.